第3课时
知识点1 在数轴上表示无理数
1.如图,边长为1的正方形ABCD,A,B在数轴上,点A在原点,点B对应实数1,以A为圆心,AC长为半径逆时针画弧交数轴于点E,则点E对应的实数是(B)
A.-1- B.- C. D.-2+
2.如图,长方形ABCD的边AD在数轴上,若点A与数轴上表示数-1的点重合,点D与数轴上表示数-4的点重合,AB=1,以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E,则点E表示的数为 -1- .
3.如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的坐标为(-,0),点P的纵坐标为-1,则P点的横坐标为 -4 .
知识点2 网格中的勾股定理
4.如图是单位长度为1的正方形网格,格点上A,B两点间的距离为(C)
A.4 B.4.5 C.5 D.6
5.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,有格点A,B,则线段AB的长度在数轴上对应的点位于数轴上的(D)
A.①段 B.②段 C.③段 D.④段
6.如图,在2×2的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,点A,B,C均为格点,以点A为圆心,AB长为半径作弧,交格线于点D,则CD的长为 2- .
7.(2024·南宁期中)如图是两人某次棋局棋盘上的一部分,若棋盘中每个小正方形的边长为1,则“車”“炮”两棋子所在格点之间的距离为(C)
A. B.3 C. D.4
8.如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,AD为△ABC的高,则AD的长为(D)
A. B. C. D.
9.如图,数轴上点A所表示的数为1,点B,C,D是4×4的正方形网格上的格点,以点A为圆心,AD长为半径画圆交数轴于M,N两点,则M点所表示的数为(C)
A.4.25
B.+1
C.1-
D.-1
10.(2024·东莞期中)小乐是一个善于思考的学生,学习完“二次根式”和“勾股定理”后,他发现可以有多种方法求三角形的面积,以下是他的数学笔记,请认真阅读并完成任务,
题目:已知在△ABC中,AC=,BC=4,AB=,求△ABC的面积, 思路1:可以利用八年级下册课本16页“阅读与思考”中的海伦-秦九韶公式求△ABC的面积, 海伦公式,S=,其中p=(a+b+c), 秦九韶公式,S=, 思路2:可以利用勾股定理在正方形网格中构造三角形,计算△ABC的面积.
(1)请根据思路1的公式,求△ABC的面积;
(2)请你结合思路2,在如图所示的网格中(正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点),完成下列任务,
①画出△ABC,要求三个顶点都在格点上;
②结合图形,写出△ABC面积的计算过程.
【解析】(1)由题意,得
S△ABC=
=
=4.
(2)①如图,△ABC即为所求.(画法不唯一)
②过点A作AD⊥CB于点D,
由题意,得AD=2,
∴S△ABC=CB·AD=×4×2=4.
素养提升攻略
数学史料
勾股定理史话
勾股定理是初等几何中的一个基本定理,是人类最伟大的十个科学发现之一,西方称为毕达哥拉斯定理,20世纪50年代曾开展这个定理命名问题的讨论,最后叫做勾股定理.在中国,相传4000多年前,大禹在治理洪水中利用勾股定理来测量两地的地势差.在3000多年前,中国人已经知道用边长为3,4,5的直角三角形来进行测量.3世纪三国时期的赵爽在他的文献《勾股圆方图注》(《周髀算经》的注文)中运用弦图,巧妙地证明了勾股定理.2002年在北京举行的数学家大会的会徽就采用的此图;同时八年级下册的数学课本的封面也采用了此图.
勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力,千百年来,人们对它的证明颇感兴趣,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.
素养训练5几何直观、模型观念、推理能力
如图1所示是赵爽创制的一幅用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.某业余数学爱好者发现了一个新的证法:把两个全等的Rt△ABC和Rt△DAE按如图2所示的方式放置,∠DAB=∠B=90°,AB=AD=b,BC=AE=a,AC=DE=c,连接CE,CD,用a,b,c分别表示出梯形ABCD,四边形AECD,△EBC的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,从而证明勾股定理.请写出证明过程.
【解析】∵Rt△ABC≌Rt△DAE,
∴∠ACB=∠DEA,∠ABC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠ACB=90°=∠BAC+∠AED,
∴∠AFE=90°,∴AC⊥DE,
∵S梯形ABCD=(BC+AD)·AB=,S四边形AECD=S△AEC+S△ACD=AC·DE=c2,
S△BEC=a(b-a)=ab-a2,
∵S梯形ABCD-S四边形AECD=S△BEC,
∴-c2=ab-a2,化简得:a2+b2=c2.
涨知识了
平面内两点间距离公式
我们知道,求数轴上两点之间的距离,可借助这两个点所表示的数来求.
例如:如图1,数轴上点A表示的数是x1,点B表示的数是x2,则点A,B之间的距离为AB=.
问题:如何求在平面直角坐标系中任意两点之间的距离
探究:
如图2,A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系中任意两点,过A,B两点分别向x轴和y轴作垂线,过A垂直于y轴的直线与过B垂直于x轴的直线相交于点C.在Rt△ABC中,
∵AC=,BC=,AB2=AC2+BC2,
∴AB2=+.
∴AB=.
结论:平面直角坐标系中任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离公式为AB=.
素养训练6推理能力、模型观念、应用意识
求点M(2,-6),N(-1,8)之间的距离.
【解析】根据题意,得MN==.17.1 勾股定理
第1课时
知识点1 勾股定理
1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,若∠B=90°,a=6,b=8,则c的长度是( )
A.10 B.2 C.2 D.14
2.如图,正方形ABCD的面积为15,Rt△BCE的斜边CE的长为8,则BE的长为( )
A.17 B.10 C.6 D.7
3.若直角三角形的一个锐角是60°,斜边长为1,则此直角三角形周长是 .
4.如图,在△ABC中,AB=13,AC=15,BC边上的高AD=12,求BC的长.
知识点2 利用勾股定理求面积
5.下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的.每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积,其中S的值恰好等于5的是( )
6.如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,分别以AC,CB为边向两侧作正方形.若图中两个正方形的面积和S1+S2=36,则AB= .
7.直角三角形的两直角边分别为7和18,把四个相同的直角三角形拼成如图的正方形,求里面小正方形的面积.
8.如果一个直角三角形的两条直角边长分别为 cm和2 cm,则斜边上的高为( )
A. cm B. cm
C. cm D.2 cm
9.如图,在长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠,点D落在点D'处,则重叠部分△AFC的面积为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
10.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,b的面积分别为5和11,则c的面积为 .
11.(易错警示题)直角三角形两边长分别为6和8,则第三边长为 .
12.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=6,CD=4,求AB的长.
13.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,M为BC的中点,MN⊥AC于点N,求MN的长.
14.问题情境
对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式.例如:图1可以得到完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,这样的方法称为“面积法”.
问题解决
(1)图2利用上述“面积法”,可以得到数学等式 .
(2)根据整式乘法的运算法则,通过计算验证(1)中的数学等式.
应用迁移
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,P为底边BC(不含端点)上的动点,过点P作PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E,F,求PE+PF的值.17.1 勾股定理
第1课时
知识点1 勾股定理
1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,若∠B=90°,a=6,b=8,则c的长度是(B)
A.10 B.2 C.2 D.14
2.如图,正方形ABCD的面积为15,Rt△BCE的斜边CE的长为8,则BE的长为(D)
A.17 B.10 C.6 D.7
3.若直角三角形的一个锐角是60°,斜边长为1,则此直角三角形周长是 .
4.如图,在△ABC中,AB=13,AC=15,BC边上的高AD=12,求BC的长.
【解析】∵AD⊥BC,
∴∠ADC=∠ADB=90°,
在Rt△ACD中,AC=15,AD=12,
∴CD===9,
在Rt△ABD中,AB=13,AD=12,
∴BD===5,
∴BC=CD+BD=9+5=14.
知识点2 利用勾股定理求面积
5.下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的.每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积,其中S的值恰好等于5的是(B)
6.如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,分别以AC,CB为边向两侧作正方形.若图中两个正方形的面积和S1+S2=36,则AB= 6 .
7.直角三角形的两直角边分别为7和18,把四个相同的直角三角形拼成如图的正方形,求里面小正方形的面积.
【解析】设直角三角形中斜边长为c,则小正方形面积为c2,由勾股定理:c2=72+182,
故里面小正方形的面积为182+72=373.
8.如果一个直角三角形的两条直角边长分别为 cm和2 cm,则斜边上的高为(C)
A. cm B. cm
C. cm D.2 cm
9.如图,在长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠,点D落在点D'处,则重叠部分△AFC的面积为(C)
A.6 B.8 C.10 D.12
10.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,b的面积分别为5和11,则c的面积为 6 .
11.(易错警示题)直角三角形两边长分别为6和8,则第三边长为 10或2 .
12.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=6,CD=4,求AB的长.
【解析】延长AD,BC交于点E,在Rt△ABE中,∠A=60°,
∴∠E=30°,在Rt△CDE中,CD=4,
∴CE=2CD=8,BE=BC+CE=6+8=14,
设AB=x,则有AE=2x,
根据勾股定理得:x2+142=(2x)2,
解得x=,即AB=.
13.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,M为BC的中点,MN⊥AC于点N,求MN的长.
【解析】如图,连接AM,
∵AB=AC,点M为BC中点,
∴AM⊥CB(三线合一),BM=CM,
∵AB=AC=5,BC=6,∴BM=CM=3,
在Rt△ABM中,AB=5,BM=3,根据勾股定理得:AM===4,
∵S△AMC=MN·AC=AM·MC,
∴MN==.
14.问题情境
对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式.例如:图1可以得到完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,这样的方法称为“面积法”.
问题解决
(1)图2利用上述“面积法”,可以得到数学等式 .
(2)根据整式乘法的运算法则,通过计算验证(1)中的数学等式.
应用迁移
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,P为底边BC(不含端点)上的动点,过点P作PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E,F,求PE+PF的值.
【解析】(1)∵大矩形面积为(a+b)(a+2b),
大矩形面积等于6个矩形面积之和,则大矩形面积为ab+b2+b2+a2+ab+ab=a2+2b2+3ab,
∴(a+b)(a+2b)=a2+2b2+3ab.
答案:(a+b)(a+2b)=a2+2b2+3ab
(2)(a+b)(a+2b)=a2+2ab+ab+2b2=a2+3ab+2b2;
(3)如图,连接AP,过点A作AM⊥BC,垂足为M.
∵AB=AC,∴BM=BC=4.在Rt△ABM中,由勾股定理得AM===3.
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP,∴BC·AM=AB·PE+AC·PF,即×8×3=×5·PE+×5·PF,
∴PE+PF=.第3课时
知识点1 在数轴上表示无理数
1.如图,边长为1的正方形ABCD,A,B在数轴上,点A在原点,点B对应实数1,以A为圆心,AC长为半径逆时针画弧交数轴于点E,则点E对应的实数是( )
A.-1- B.- C. D.-2+
2.如图,长方形ABCD的边AD在数轴上,若点A与数轴上表示数-1的点重合,点D与数轴上表示数-4的点重合,AB=1,以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E,则点E表示的数为 .
3.如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的坐标为(-,0),点P的纵坐标为-1,则P点的横坐标为 .
知识点2 网格中的勾股定理
4.如图是单位长度为1的正方形网格,格点上A,B两点间的距离为( )
A.4 B.4.5 C.5 D.6
5.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,有格点A,B,则线段AB的长度在数轴上对应的点位于数轴上的( )
A.①段 B.②段 C.③段 D.④段
6.如图,在2×2的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,点A,B,C均为格点,以点A为圆心,AB长为半径作弧,交格线于点D,则CD的长为 .
7.(2024·南宁期中)如图是两人某次棋局棋盘上的一部分,若棋盘中每个小正方形的边长为1,则“車”“炮”两棋子所在格点之间的距离为( )
A. B.3 C. D.4
8.如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,AD为△ABC的高,则AD的长为( )
A. B. C. D.
9.如图,数轴上点A所表示的数为1,点B,C,D是4×4的正方形网格上的格点,以点A为圆心,AD长为半径画圆交数轴于M,N两点,则M点所表示的数为( )
A.4.25
B.+1
C.1-
D.-1
10.(2024·东莞期中)小乐是一个善于思考的学生,学习完“二次根式”和“勾股定理”后,他发现可以有多种方法求三角形的面积,以下是他的数学笔记,请认真阅读并完成任务,
题目:已知在△ABC中,AC=,BC=4,AB=,求△ABC的面积, 思路1:可以利用八年级下册课本16页“阅读与思考”中的海伦-秦九韶公式求△ABC的面积, 海伦公式,S=,其中p=(a+b+c), 秦九韶公式,S=, 思路2:可以利用勾股定理在正方形网格中构造三角形,计算△ABC的面积.
(1)请根据思路1的公式,求△ABC的面积;
(2)请你结合思路2,在如图所示的网格中(正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点),完成下列任务,
①画出△ABC,要求三个顶点都在格点上;
②结合图形,写出△ABC面积的计算过程.
素养提升攻略
数学史料
勾股定理史话
勾股定理是初等几何中的一个基本定理,是人类最伟大的十个科学发现之一,西方称为毕达哥拉斯定理,20世纪50年代曾开展这个定理命名问题的讨论,最后叫做勾股定理.在中国,相传4000多年前,大禹在治理洪水中利用勾股定理来测量两地的地势差.在3000多年前,中国人已经知道用边长为3,4,5的直角三角形来进行测量.3世纪三国时期的赵爽在他的文献《勾股圆方图注》(《周髀算经》的注文)中运用弦图,巧妙地证明了勾股定理.2002年在北京举行的数学家大会的会徽就采用的此图;同时八年级下册的数学课本的封面也采用了此图.
勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力,千百年来,人们对它的证明颇感兴趣,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.
素养训练5几何直观、模型观念、推理能力
如图1所示是赵爽创制的一幅用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.某业余数学爱好者发现了一个新的证法:把两个全等的Rt△ABC和Rt△DAE按如图2所示的方式放置,∠DAB=∠B=90°,AB=AD=b,BC=AE=a,AC=DE=c,连接CE,CD,用a,b,c分别表示出梯形ABCD,四边形AECD,△EBC的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,从而证明勾股定理.请写出证明过程.
涨知识了
平面内两点间距离公式
我们知道,求数轴上两点之间的距离,可借助这两个点所表示的数来求.
例如:如图1,数轴上点A表示的数是x1,点B表示的数是x2,则点A,B之间的距离为AB=.
问题:如何求在平面直角坐标系中任意两点之间的距离
探究:
如图2,A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系中任意两点,过A,B两点分别向x轴和y轴作垂线,过A垂直于y轴的直线与过B垂直于x轴的直线相交于点C.在Rt△ABC中,
∵AC=,BC=,AB2=AC2+BC2,
∴AB2=+.
∴AB=.
结论:平面直角坐标系中任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离公式为AB=.
素养训练6推理能力、模型观念、应用意识
求点M(2,-6),N(-1,8)之间的距离.第2课时
知识点1 勾股定理在实际问题中的应用
1.一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口1.5小时后,则两船相距(B)
A.25海里 B.30海里
C.35海里 D.40海里
2.(2024·吉林中考)图①中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图②,其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺,B'C=2尺.设AC的长度为x尺,可列方程为x2+22=(x+0.5)2.
知识点2 利用勾股定理解决立体图形中的最短路线问题
3.如图,长方体木箱的长、宽、高分别为12 m,4 m,3 m,则能放进木箱中的直木棒最长为(C)
A.11 m B.12 m C.13 m D.24 m
4.如图,圆柱形玻璃容器高21 cm,底面周长为48 cm,在容器外侧距下底1 cm的点A处有一只蚂蚁,在蚂蚁正对面距容器上底2 cm的点B处有一滴蜂蜜,则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 30 cm.
5.如图,在一个长AB为6 m,宽AD为4 m的矩形草地上放着一根长方体木块,已知该木块的较长边和场地宽AD平行,横截面是边长为1 m的正方形,一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是 4 m.
6.(2024·重庆期中)如图,有一只喜鹊在一棵2 m高的小树AB上觅食,它的巢筑在与该树水平距离(BD)为8 m的一棵9 m高的大树DM上,喜鹊的巢位于树顶下方1 m的C处,当它听到巢中幼鸟的叫声,立即飞过去,如果它飞行的速度为2 m/s,那么它要飞回巢中所需的时间至少是(A)
A.5 s B.4 s C.3 s D.2 s
7.如图,小红家购置了一台圆形自动扫地机,放置在屋子角落(书柜、衣柜与地面均无缝隙).在没有障碍物阻挡的前提下,扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面.若这台扫地机能从角落自由进出,则图中的x至少为 74 (精确到个位,参考数据:≈4.58).
8.如图,一个长为10米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米.如果梯子的顶端下滑2米,那么梯子的底端向外滑动 2 米.
9.如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向与灯塔P的距离为80海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离.(结果保留根号)
【解析】作PC⊥AB于点C,如图,
由题意可得,∠APC=30°,∠BPC=45°,AP=80海里,在Rt△APC中,AC=PA=40海里,PC==40海里,
在Rt△PCB中,BC=PC=40海里,
∴PB==40海里.
10.(2024·盐城中考)发现问题
小明买菠萝时发现,通常情况下,销售员都是先削去菠萝的皮,再斜着铲去菠萝的籽.
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽,除了方便操作,是否还蕴含着什么数学道理呢
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体,若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度,那么籽在侧面展开图上可以看成点,每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列,每行有n个籽,每列有k个籽,行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d(n,k均为正整数,n>k≥3,d>0),如图1所示.
小明设计了如下三种铲籽方案.
方案1:图2是横向铲籽示意图,每行铲的路径长为 ,
共铲 行,则铲除全部籽的路径总长为 ;
方案2:图3是纵向铲籽示意图,则铲除全部籽的路径总长为 ;
方案3:图4是销售员斜着铲籽示意图,写出该方案铲除全部籽的路径总长.
解决问题
在三个方案中,哪种方案铲籽路径总长最短 请写出比较过程,并对销售员的操作方法进行评价.
【解析】方案1:根据题意每行有n个籽,行上相邻两籽的间距为d,∴每行铲的路径长为(n-1)d,
∵每列有k个籽,呈交错规律排列,∴相当于有2k行,
∴铲除全部籽的路径总长为2(n-1)dk,
答案:(n-1)d 2k 2(n-1)dk
方案2:根据题意每列有k个籽,列上相邻两籽的间距为d,
∴每列铲的路径长为(k-1)d,
∵每行有n个籽,呈交错规律排列,∴相当于有2n列,
∴铲除全部籽的路径总长为2(k-1)dn;
答案:2(k-1)dn
方案3:由题图得斜着铲每两个点之间的距离为=,根据题意得一共有2n列,2k行,斜着铲相当于有n条线段长,同时有(2k-1)个d,
∴铲除全部籽的路径总长为×(2k-1)nd;
解决问题
由上得,2(n-1)dk-2(k-1)dn=2ndk-2dk-2ndk+2dn=2d(n-k)>0,∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长;
2(k-1)dn-×(2k-1)dn=[(2-)k-2+]dn,
∵n>k≥3,
当k=3时,(2-)×3-2+=4->0,
2(k-1)dn-×(2k-1)dn>0,
∴方案3铲籽路径总长最短,销售员的操作方法是选择最短的路径,减少对菠萝的损耗.第2课时
知识点1 勾股定理在实际问题中的应用
1.一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口1.5小时后,则两船相距( )
A.25海里 B.30海里
C.35海里 D.40海里
2.(2024·吉林中考)图①中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图②,其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺,B'C=2尺.设AC的长度为x尺,可列方程为 .
知识点2 利用勾股定理解决立体图形中的最短路线问题
3.如图,长方体木箱的长、宽、高分别为12 m,4 m,3 m,则能放进木箱中的直木棒最长为( )
A.11 m B.12 m C.13 m D.24 m
4.如图,圆柱形玻璃容器高21 cm,底面周长为48 cm,在容器外侧距下底1 cm的点A处有一只蚂蚁,在蚂蚁正对面距容器上底2 cm的点B处有一滴蜂蜜,则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 cm.
5.如图,在一个长AB为6 m,宽AD为4 m的矩形草地上放着一根长方体木块,已知该木块的较长边和场地宽AD平行,横截面是边长为1 m的正方形,一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是 m.
6.(2024·重庆期中)如图,有一只喜鹊在一棵2 m高的小树AB上觅食,它的巢筑在与该树水平距离(BD)为8 m的一棵9 m高的大树DM上,喜鹊的巢位于树顶下方1 m的C处,当它听到巢中幼鸟的叫声,立即飞过去,如果它飞行的速度为2 m/s,那么它要飞回巢中所需的时间至少是( )
A.5 s B.4 s C.3 s D.2 s
7.如图,小红家购置了一台圆形自动扫地机,放置在屋子角落(书柜、衣柜与地面均无缝隙).在没有障碍物阻挡的前提下,扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面.若这台扫地机能从角落自由进出,则图中的x至少为 (精确到个位,参考数据:≈4.58).
8.如图,一个长为10米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米.如果梯子的顶端下滑2米,那么梯子的底端向外滑动 米.
9.如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向与灯塔P的距离为80海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离.(结果保留根号)
10.(2024·盐城中考)发现问题
小明买菠萝时发现,通常情况下,销售员都是先削去菠萝的皮,再斜着铲去菠萝的籽.
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽,除了方便操作,是否还蕴含着什么数学道理呢
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体,若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度,那么籽在侧面展开图上可以看成点,每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列,每行有n个籽,每列有k个籽,行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d(n,k均为正整数,n>k≥3,d>0),如图1所示.
小明设计了如下三种铲籽方案.
方案1:图2是横向铲籽示意图,每行铲的路径长为 ,
共铲 行,则铲除全部籽的路径总长为 ;
方案2:图3是纵向铲籽示意图,则铲除全部籽的路径总长为 ;
方案3:图4是销售员斜着铲籽示意图,写出该方案铲除全部籽的路径总长.
解决问题
在三个方案中,哪种方案铲籽路径总长最短 请写出比较过程,并对销售员的操作方法进行评价.
