7.2.3平行线的性质培优训练人教版2024—2025学年七年级下册
一、四大模型
已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°
.
已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．
（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.
（2） 已知 ∠P= ∠CFP -∠AEP ,求证AE //CF .
二、典型例题
例1.如图①，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，l4和l1，l2分别交于C，D两点，点P在线段AB上，设∠ACP＝∠1，∠BDP＝∠2，∠CPD＝∠3．
（1）试找出∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，点A在点B的北偏东40°的方向上，在点C的北偏西45°的方向上．应用（1）中的结论求∠BAC的度数；
（3）如果点P在直线l3上且在线段AB外侧运动（点P和A，B两点不重合），其他条件不变，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系．
例2如图1，直线AB与CD相交于F，钝角∠CDE＝α，∠BFC+α＝180°．
（1）求证：AB∥DE；
（2）若G为直线AB（不与点F重合）上一点，∠FDG与∠DGB的角平分线所在直线交于点P．
①如图2，若α＝120°，点G在F点右边，求∠DPG的度数；
②直接写出∠DPG的度数 （结果用含α的式子表示）．
例3.如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点，∠HAB+∠BCG＝∠ABC．
（1）求证：AD∥CE；
（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F．若α+β＝40°，求∠B+∠F的度数；
（3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝50°，则∠NBM＝ （直接写出结果）
例4.如图，AB∥CD．
（1）如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由；
（2）已知∠A＝16°．
①如图2，若∠F＝100°，求∠C+∠E的度数；
②如图3，若∠AEF和∠DCF的平分线交于点G，请直接写出∠EGC与∠F的数量关系．
三、课后练习
1．如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .
2.如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC等于
3.如图（1），在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（c，c），C（0，c），且满足，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C的坐标是 ；
（2）如图（1）当P，Q分别在线段AO、OC上时，连接PB、QB，使S三角形PAB＝4S三角形QBC，求出点P的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请求出∠OPQ和∠PQB的数量关系．
4．如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .
5.如图，AB∥CD，BE⊥EF，∠B＝150°，若∠D＝2∠F，则∠F的度数为 .
6．如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．
四、能力提升
1．如图1，∠ACB＝90°，MA∥BN．
（1）①如果∠MAC＝30°，求∠CBN的度数；
②设∠MAC＝α，∠CBN＝β，直接写出α、β之间的数量关系： ；
（2）如图2，∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P，当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数；
（3）在（2）的条件下，若∠MAC＝40°，点E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F，连接EP．已知∠FEP＝10°，求∠BPE的度数．
2.已知直线EF与直线AB、CD分别交于E、F两点，∠BEF和∠DFE的角平分线交于点P，且∠BEP+∠DFP＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数；
（3）如图3，若∠BEP＝60°，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得射线FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止．设它们同时开始旋转，当射线EP1∥FP2时，求满足条件的t的值为多少．
3．如图，已知AB∥CD，点P为平面内一点，过点P作射线PM、PN，PM与AB相交于点F，PN与CD相交于点E．
（1）如图1，当点P在直线AB、CD之间区域内时，若∠AFM＝65°，∠PED＝30°，求∠MPN的度数；
（2）分别在∠AFM、∠CEP的内部作射线FG、EG交于点G，使得＝．且n为整数）．
①如图2，当点P在直线AB、CD之间区域内时，EG与AB交于点H，若n＝3，∠G＝50°，求∠P的度数；
②如图3，当点P在直线AB上方时，请直接写出∠P与∠G的数量关系（用含n的式子表示）．
4．（1）已知AB∥CD．
①如图1，求证：∠D＝∠E+∠B；
②如图2，F为AB，CD之间一点，连接EF，DF，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，∠D＝30°，求∠B，∠G之间的数量关系；
（2）如图3，若AB与CD交于点H，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，∠B﹣∠BHD＝20°，∠D＝30°，则∠G＝ °．
5．如图，AB∥CD．
（1）如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由；
（2）已知∠A＝16°．
①如图2，若∠F＝100°，求∠C+∠E的度数；
②如图3，若∠AEF和∠DCF的平分线交于点G，请直接写出∠EGC与∠F的数量关系．
