2024-2025学年广东省佛山市S6高质量发展联盟高二下学期期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列中，，，则与的等比中项为( )
A. B. C. D.
2.已知是函数在上的导函数，函数在处取得极小值，则函数的图象可能是．
A. B.
C. D.
3.一场文艺汇演中共有个小品节目个歌唱类节目和个舞蹈类节目，若要求个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
5.若直线为函数且的图象的一条切线，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数在处取得极小值，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.运动会期间，将甲、乙等名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为( )
A. B. C. D.
8.设函数其中为自然对数的底数，若存在实数使得恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有个编号为，，，的盒子和个编号为，，，的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则( )
A. 没有空盒子的方法共有种
B. 可以有空盒子的方法共有种
C. 恰有个盒子不放球的方法共有种
D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种
10.若数列是公比为的等比数列，则下列说法不正确的是( )
A. 若数列是递增数列，则，
B. 若数列是递减数列，则，
C. 若，则
D. 若，则是等比数列
11.已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则( )
A. B.
C. 在上是增函数 D. 存在最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设等差数列满足，，若，则项数的最大值是 ．
13.某校将个足球赛志愿者名额分配到高二年级的四个班级，每班至少一个名额，则不同的分配方法共有 种用数字作答．
14.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，且．
求
求数列的前项和．
17.本小题分
如图所示，一座小岛距离海岸线上的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是，单位：表示他从小岛到城镇所用的时间，单位：表示小船停靠点距点的距离．
将表示为的函数，并注明定义域
此人将船停在海岸线上何处时，所用时间最少
18.本小题分
设数列的前项和为，，且
设，求证数列为等差数列
求
若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数，其中．
Ⅰ若曲线在处的切线与直线平行，求的值；
Ⅱ若函数在定义域内单调递减，求的取值范围；
Ⅲ若不等式对恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：Ⅰ因为，所以，
令，即，解得或，
且当时，，当时，，
所以的单调递增区间为和，递减区间为；
Ⅱ由Ⅰ有在和上单调递增，在上单调递减，
且，，
所以在上的最大值为，
因为关于的不等式在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，即，所以，
所以的取值范围为．
16.解：
当时，
得，整理得：，，
所以，，
因为
所以
．
17.解：由题意可得：，的取值范围是．
由得：，由解得：，
在上递增，
列表如下：
单调递减 极小值 单调递增
所以函数，在处取得极小值，也是最小值，
所以此人将船停在点沿海岸正东处，所用时间最少．
18.解：，
即，
所以数列为首项为，公差为的等差数列；
由可得，即，
可得，
，
，
两式相减，得
，
化简得；
不等式，即，
化为对恒成立，
令，则，
所以时，，即；
时，，即；
时，，即；
所以，
所以的最大值为，
所以．
19.解：，
，，
曲线在处的切线与直线平行，
，解得．
函数在定义域内单调递减，，
，
化为：，令，
，
可得时，函数取得极小值即最小值，，
，
的取值范围是．
Ⅲ不等式对恒成立，
化为：的最大值，．
令，．
，
令，
，
，在上单调递增．
，
在上单调递减，
，，
存在．
使得函数在上单调递增，在上单调递减．
，，
在上恒成立，
因此在上单调递增．
，
，
的取值范围是．
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