2024人教版八年级上学期单元测试卷
期中综合测评卷
时间:100分钟 满分:120分
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.北京是首批国家历史文化名城,也是拥有世界文化遗产数最多的城市,三千多年的历史孕育了众多名胜古迹,让每一个中国人为之骄傲.下列选项是一些北京名胜古迹的标志,其中不属于轴对称图形的是 ( )
A.天坛 B.圆明园 C.颐和园 D.天安门
2.如果一个三角形的三边长分别为5,8,a,那么a的值可能是 ( )
A.2 B.9 C.13 D.15
3.如图是由4个相同的正方形组成的网格,则∠1与∠2的和为 ( )
A.45° B.60° C.90° D.100°
(第3题) (第4题) (第5题)
4.如图,已知∠AOB,在射线OA,OB上分别截取OD=OE,分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,在∠AOB内两弧交于点C,作射线OC,则OC就是∠AOB的平分线.作图依据是( )
A.SAS B.ASA C.HL D.SSS
5.如图,在△ABC中,∠A∶∠B=1∶2,D是BC延长线上一点,过点D作DE⊥AB于点E,若∠FCD=75°,则∠D= ( )
A.40° B.30° C.45° D.50°
6.如图,在五边形ABCDE中,若∠A+∠B+∠E=320°,DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,则∠P的度数是 ( )
A.70° B.65° C.60° D.55°
7.如图(1),某温室屋顶结构外框为△ABC,立柱AD垂直平分横梁BC,∠B=30°,斜梁AC=4 m.为增大向阳面的面积,将立柱增高并改变位置,使屋顶结构外框变为△EBC(点E在BA的延长线上),立柱EF⊥BC,如图(2)所示,若EF=3 m,则斜梁增加的部分AE的长为 ( )
图(1) 图(2)
A.0.5 m B.1 m C.1.5 m D.2 m
8.如图,AD是△ABC的中线,∠1=2∠2,CE⊥AD于点E,BF⊥AD交AD的延长线于点F,EF=6 cm,则BC的长为 ( )
A.6 cm B.12 cm C.18 cm D.24 cm
(第8题) (第9题)
9.如图,在4×4的正方形网格中,E,F在网格格点上,若格点三角形DEF为等腰三角形,则符合条件的格点D有 ( )
A.4个 B.9个 C.6个 D.10个
10.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=115°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别找一个点M,N,使△AMN的周长最小,则∠AMN+∠ANM= ( )
A.110° B.120° C.130° D.100°
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.如果一个多边形的每个外角都等于36°,那么这个多边形的边数为 .
12.学了全等三角形的判定后,小明编了这样一个题目:“已知:如图,AD=AC,BC=BD,
∠CAB=∠DAB,求证:△ABD≌△ABC.”老师说他的已知条件给多了,那么去掉的一个已知条件可以是 .
(第12题) (第13题)
如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,若△ABC的面积为70,AB=16,
BC=12,则DE的长为 .
14.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC内两点,连接BE,ED,延长ED交BC于点M,连接AD并延长交BC于点N.若AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,BE=6,DE=2,则BC的长是 .
(第14题) (第15题)
15.如图,在△ABC中,AB=AC=16 cm,∠B=∠C,BC=10 cm,点D为AB的中点,如果点P在线段BC上以2 cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.当△BPD与△CQP全等时,点Q的运动速度可能为 cm/s.
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
填空 11. 12. 13.
14. 15.
三、解答题(共8小题,共75分)
16.(7分)如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上.
(1)作出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1.
(2)点A关于x轴的对称点A1的坐标为 ,关于y轴的对称点A2的坐标为 ,观察A1,A2的坐标,你有什么发现 (写出一条即可)
17.(8分)如图,点P是∠MON内部一点,PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,连接AB,∠PAB=∠PBA.求证:OP平分∠MON.
18.(8分)如图,AB=AC,AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接CD.
(1)若∠A=40°,求∠BCD的度数;
(2)若△ABC与△BCD的周长之差为10,求AE的长.
19.(8分)“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题.经过无数人探索,现在已经确信,仅用圆规和直尺是不可能作出的.有人曾利用如图所示的图形进行探索,其中四边形ABCD是长方形,F是DA延长线上一点,连接AC,CF,CF与AB相交于点E,G是CF上一点,∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠F.试证明:∠ACB=3∠ECB.
20.(9分)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,且AD=BD,点E是线段AD上一点,连接BE,BE=AC.
(1)求证:△ACD≌△BED;
(2)若∠C=78°,求∠ABE的度数.
21.(10分)定义:如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,则∠B= .
(2)如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
①若AD是∠BAC的平分线,则△ABD是“准互余三角形”吗 并说明理由.
②若点E是边BC上一点,△ABE是“准互余三角形”,∠B=24°,求∠EAC的度数.
22.(12分)△ABC是边长为5 cm的等边三角形,点P,Q分别从顶点A,B同时出发,沿线段AB,BC运动,且它们的速度都为1 cm/s.当点P到达点B时,P,Q两点停止运动,设点P的运动时间为t s.
(1)如图(1),当t为何值时,△PBQ是直角三角形
(2)如图(2),连接AQ,CP交于点M,则点P,Q在运动的过程中,∠CMQ的度数会发生变化吗 若发生变化,请说明理由;若不变,请求出它的度数.
图(1) 图(2)
23.(13分)如图(1),在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为直角边,点A为直角顶点,在AD左侧作等腰直角三角形ADF,连接CF.
(1)若AB=AC,∠BAC=90°.
①当点D在线段BC上时(不与点B重合),试探究CF和BD的数量关系与位置关系;
②当点D在线段BC的延长线上时,①中的结论是否仍然成立 请在图(2)中画出相应的图形,并说明理由.
(2)如图(3),若AB≠AC,∠BAC≠90°,∠BCA=45°,点D在线段BC上运动(不与点B重合),试探究CF与BC的位置关系.
图(1) 图(2)
图(3)
八年级上学期期中综合测评卷
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B C D A A D B B C
11.10 12.BC=BD(或∠CAB=∠DAB)
13.5 14.8 15.2或3.2
1.B
2.B 根据三角形的三边关系,得3
∴△ABC≌△FDE(SAS),∴∠1=∠BAC.∵∠BAC+∠2=90°,∴∠1+∠2=90°.
D 如图,连接CD,CE.在△OCD和△OCE中,∴△OCD≌△OCE(SSS),∴∠COD=∠COE,∴OC是∠AOB的平分线,
∴作图依据是SSS.
A ∵∠FCD=75°,∴∠A+∠B=75°.∵∠A∶∠B=1∶2,∴∠A=×75°=25°.
∵DE⊥AB,∴∠AFE=90°-∠A=90°-25°=65°,∴∠CFD=∠AFE=65°.
∵∠FCD=75°,∴∠D=180°-∠CFD-∠FCD=180°-65°-75°=40°.
一题多解
∵∠FCD=75°,∴∠A+∠B=75°.∵∠A∶∠B=1∶2,∴∠B=×75°=50°.
∵∠DEB=90°,∴∠D=90°-50°=40°.
A ∵五边形的内角和等于540°,∠A+∠B+∠E=320°,
∴∠BCD+∠CDE=540°-320°=220°.∵∠BCD,∠CDE的平分线相交于点P,
∴∠PCD+∠PDC=(∠BCD+∠CDE)=110°,∴∠P=180°-110°=70°.
D ∵立柱AD垂直平分横梁BC,AC=4 m,∴AB=AC=4 m.∵∠B=30°,EF⊥BC,EF=
3 m,∴BE=6 m,∴AE=BE-AB=6-4=2(m).
B ∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.∵CE⊥AD,BF⊥AD交AD的延长线于点F,∴∠CED=∠F=90°.在△CDE和△BDF中,∴△CDE≌△BDF(AAS),∴DE=DF=EF=3 cm.
∵∠1=2∠2,∠1+∠2=180°,∴∠2=60°,∴∠DCE=30°,∴CD=2DE=6 cm,
∴BC=2CD=12 cm.
9.B
图示速解 格点D的位置如图所示,故符合条件的格点D有9个.
C 如图,作点A关于BC和CD的对称点A',A″,连接A'A″,交BC于点M,交CD于点N,则A'A″即为△AMN的周长的最小值.
∵∠DAB=115°,∴∠A'+∠A″=180°-∠BAD=180°-115°=65°.∵∠A'=∠MAA',∠NAD=∠A″,且∠A'+∠MAA'=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,
∴∠AMN+∠ANM=∠A'+∠MAA'+∠NAD+∠A″=2(∠A'+∠A″)=2×65°=130°.
11.10 ∵多边形的外角和等于360°,∴这个多边形的边数为360°÷36°=10.
12.BC=BD(或∠CAB=∠DAB) ∵AD=AC,BD=BC,AB=AB,∴△ABD≌△ABC(SSS).或者∵AD=AC,∠DAB=∠CAB,AB=AB,∴△ABD≌△ABC(SAS).综上所述,去掉的一个已知条件可以是BC=BD或∠CAB=∠DAB.
13.5 过点D作DF⊥BC于点F,∵BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DF=DE,∴×AB×DE+×BC×DF=70,∴×16×DE+×12×DF=70,∴DE=DF=5.
14.8 ∵∠EBC=∠E=60°,BE=6,∴△BEM为等边三角形,
∴∠EMB=60°,BM=EM=BE=6.又DE=2,∴DM=4.∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AN⊥BC,BN=CN,∴∠NDM=30°,∴NM=DM=2,∴BN=BM-NM=4,∴BC=2BN=8.
15.2或3.2 (分类讨论思想)∵AB=16 cm,BC=10 cm,点D为AB的中点,
∴BD=×16=8(cm).设点P,Q的运动时间为t s,则BP=2t cm,PC=(10-2t)cm.①当△BDP≌△CPQ时,BD=CP,即10-2t=8,解得t=1,∴BP=CQ=2 cm,故点Q的运动速度为2÷1=2(cm/s).②当△BPD≌△CPQ时,BP=PC,BD=CQ.∵BC=10 cm,∴BP=PC=5 cm,
∴t=5÷2=2.5,故点Q的运动速度为8÷2.5=3.2(cm/s).
16.【参考答案】(1)如图,△A1B1C1即为所作.
(3分)
(2)(-2,-3) (2,3)
发现:点A1和点A2的横坐标互为相反数.(答案不唯一) (7分)
17.【参考答案】证明:∵∠PAB=∠PBA,
∴PA=PB. (4分)
∵PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,
∴点P在∠MON的平分线上,
∴OP平分∠MON. (8分)
一题多解 证明:∵∠PAB=∠PBA,
∴PA=PB.
∵PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,
∴∠PAO=∠PBO=90°.
∵OP=OP,
∴Rt△POA≌Rt△POB(HL), (6分)
∴∠POA=∠POB,
∴OP平分∠MON. (8分)
18.思路导图
(1)
【参考答案】(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB=(180°-∠A)=70°.
∵DE垂直平分AC,
∴AD=CD,
∴∠ACD=∠A=40°,
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=70°-40°=30°. (4分)
(2)∵DE是AC的垂直平分线,
∴AD=DC,AE=AC.
∵△ABC的周长=AB+BC+AC,△BCD的周长=BC+CD+BD=AB+BC,周长之差为10,
∴△ABC的周长-△BCD的周长=AC=10,
∴AE=5. (8分)
19.【参考答案】证明:∵∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠F,∠AGC=∠F+∠GAF,
∴∠ACG=2∠F. (3分)
由题意得AD∥BC,
∴∠ECB=∠F.
∴∠ACB=∠ACG+∠ECB=2∠F+∠ECB=3∠ECB. (8分)
20.【参考答案】(1)证明:∵AD⊥BC,
∴∠ADC=∠BDE=90°. (2分)
∵AD=BD,AC=BE,
∴Rt△ACD≌Rt△BED(HL). (4分)
(2)由(1)知,△ACD≌△BED,
∴∠BED=∠C=78°. (6分)
∵AD=BD,AD⊥BC,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴∠BAD=45°,
∴∠ABE=∠BED-∠BAD=78°-45°=33°. (9分)
21.【参考答案】(1)15° (2分)
解法提示:∵△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,
∴∠A+2∠B=90°,
∴∠B=15°.
(2)①△ABD是“准互余三角形”. (3分)
理由:如图,∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAC=2∠BAD.
∵∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠B=90°,
∴2∠BAD+∠B=90°,
∴△ABD是“准互余三角形”. (6分)
②由题意得∠AEB>90°.
∵△ABE是“准互余三角形”,
∴分两种情况讨论.
当∠B+2∠BAE=90°时,
∵∠B=24°,
∴∠BAE=33°,
∴∠EAC=90°-∠B-∠BAE=33°. (8分)
当2∠B+∠BAE=90°时,
∵∠B=24°,
∴∠BAE=42°,
∴∠EAC=90°-∠B-∠BAE=24°.
综上所述,∠EAC的度数为33°或24°. (10分)
22.【参考答案】(1)结合题意,得AP=BQ=t cm,PB=(5-t)cm.
①当∠PQB=90°时,
∵∠B=60°,
∴∠BPQ=30°,
∴PB=2BQ,即5-t=2t,
解得t=. (3分)
②当∠BPQ=90°时,
∵∠B=60°,
∴∠PQB=30°,
∴BQ=2BP,即t=2(5-t),
解得t=.
∵0
(2)∠CMQ的度数不变,∠CMQ=60°. (8分)
在△ABQ与△CAP中,
∴△ABQ≌△CAP(SAS),
∴∠BAQ=∠ACP,
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°. (12分)
23.【解题思路】(1)①根据条件证明△FAC≌△DAB,得到CF=BD,∠FCA=∠DBA,进而可得∠FCD=90°,从而可得结论;②同①可得结论.(2)过点A作AB'⊥AC交BC于点B',可得△CAB'是等腰直角三角形,结合(1)①可得FC⊥CB',进而可得结论.
【参考答案】(1)①∵∠FAD=∠CAB=90°,∠FAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD,
∴∠FAC=∠DAB.
又FA=DA,CA=BA,
∴△FAC≌△DAB, (2分)
∴CF=BD,∠FCA=∠DBA,
∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=∠DBA+∠ACD=90°,
即FC⊥CB,
∴CF=BD,且CF⊥BD. (5分)
② ①中的结论仍然成立. (6分)
如图(1).
理由:∵∠FAD=∠CAB=90°,∠FAD+∠DAC=∠CAB+∠DAC,
∴∠FAC=∠DAB. (7分)
又FA=DA,CA=BA,
∴△FAC≌△DAB,
∴CF=BD,∠FCA=∠DBA,
∴∠FCB=∠FCA+∠ACB=∠DBA+∠ACB=90°,
即FC⊥CB,
∴CF=BD,且CF⊥BD. (10分)
图(1)
(2)如图(2),过点A作AB'⊥AC交BC于点B'.
图(2)
∵∠BCA=45°,
∴△CAB'为等腰直角三角形. (12分)
由(1)中①得,FC⊥CB',
∴FC⊥BC. (13分)
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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