第1章一元二次方程全章复习攻略与检测卷
【目录】
倍速学习五种方法
【1个概念】
一元二次方程定义
【1个解法】
一元二次方程的解法
【2个关系】
1.一元二次方程的根的判别式
2.一元二次方程的根与系数的关系
【1个应用】
一元二次方程应用
【3种思想】
1.整体思想
2.转化思想
3.分类讨论思想
【检测卷】
【倍速学习五种方法】
【1个概念】
一元二次方程定义
（2022秋 沭阳县期中）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 大丰区期末）
2．如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠0 B．m≠3 C．m＝0 D．m＝3
（2021秋 镇江月考）
3．若关于的方程是一元二次方程．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【1个解法】
一元二次方程的解法
（2022秋 大丰区期末）
4．解下列方程
(1)x2-6x-16=0（配方法）；
(2)（公式法）．
（2022秋 海安市期末）
5．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
（2023 武进区校级模拟）
6．按要求解方程：
(1)直接开平方法：；
(2)配方法：；
(3)公式法：；
(4)因式分解法：；
【2个关系】
1.一元二次方程的根的判别式
（2022秋 泰兴市期末）
7．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)取一个合适的的值，使得方程的解为负整数并求出此时方程的解．
（2023 工业园区一模）
8．已知关于的一元二次方程．
(1)若该方程有一个根是，求的值；
(2)求证：无论取什么值，该方程总有两个实数根．
（2023春 盐都区月考）
9．关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，求出此时方程的根．
（2022秋 邗江区校级期末）
10．关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于2，求k的取值范围．
（2022秋 海门市期末）
11．关于的一元二次方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当取最小整数时，求的值．
2.一元二次方程的根与系数的关系
（2022秋 京口区校级期末）
12．已知关于x的方程．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若x=2是方程的一个根，求a的值及该方程的另一根．
（2023春 无锡月考）
13．已知关于的一元二次方程有两个实数根，分别记为，．
(1)求的取值范围；
(2)若．求的值．
（2023 武进区校级模拟）
14．已知关于x的二次方程x2-（2k+1）x+k-2＝0．
(1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根满足，求k的值．
（2023 广陵区校级一模）
15．已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
(2)若等腰的三边a，b，c中a=3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值．
【1个应用】
一元二次方程应用
（2022秋 徐州期末）
16．如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，设矩形垂直于墙的一边，即的长为．若矩形养殖场的面积为，求此时的的值．
（2023春 大丰区月考）
17．2023年3月12日，大丰区飞达路初级中学开展“为校园增添一点绿色”为主题的植树活动，组织七年级、八年级、九年级分别在12日、13日、14日进行植树活动，七年级学生在12日种植了25棵树苗，学生们在种植的过程中听老师讲解植树绿化的意义，热情高涨，每天的植树增长率相同，九年级学生在14日种植了49棵树苗．
(1)求平均每天植树的增长率？
(2)求此次活动三个年级种植树苗的总棵数？
（2022秋 江阴市期末）
18．某校为表彰“学生节”中表现优异的学生，计划购买古典诗词和散文两类图书作为奖品．已知古典诗词类图书每本60元，散文类图书每本40元．为弘扬中国传统文化，商家决定对古典诗词类图书推出销售优惠活动，但是散文类图书售价不变．若购买古典诗词类图书不超过40本时，均按每本60元价格销售；超过40本时，每增加2本，单价降低1元．
(1)如果购买古典诗词类图书46本，则每本古典诗词类图书的单价是______元；
(2)如果该校共购进图书100本，用去购书款4750元．求该校购进古典诗词类图书多少本？
（2022秋 高邮市校级期末）
19．学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）．
(1)如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）；
(2)若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长．
（2022秋 洪泽区期中）
20．如图所示，中，，点P从点A开始沿边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒P、Q之间距离等于cm？
（2022秋 连云港期末）
21．一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？
（2023春 兴化市月考）
22．如图，有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃一边的长为x米，面积为y平方米．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)如果要围成面积为63平方米的花圃，的长是多少？
（2023春 江阴市期中）
23．【阅读材料】初一上学期我们已学过：
由知，，∴．
这不禁让人赞叹：精美的包装（数学模型），总可以给人满意的答案．
初一下学期：利用完全平方式对上述式子进行变形：
由知，，
即．
反之，若，则有，
即，
∴，∴．
精心挑选，合理搭配，让结果精彩纷呈．
【知识应用】
(1)若，求的值；
(2)若的三边为a、b、c，且满足，求最长边c的取值范围．
【3种思想】
1.整理思想
（2023春 玄武区期中）
24．若m是方程的一个根，则代数式的值为 ．
（2023春 沭阳县月考）
25．已知m是方程的一个根，则代数式的值为
（2023春 兴化市月考）
26．已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
2.转化思想
（2023 沭阳县模拟）
27．若是关于的一元二次方程的解，则的值为 ．
（2022秋 丹徒区期末）
28．已知是方程的一个根，则的值等于 ．
（2023 鼓楼区二模）
29．解方程：．
3.分类讨论思想
（2022秋 阜宁县期中）
30．如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿以的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停．
(1)运动几秒时，能将矩形ABCD的面积分成两部分？
(2)运动几秒时，P，Q两点之间的距离是？
【检测卷】
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
31．下列叙述正确的是（ ）
A．形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程
B．方程4x2+3x=6不含有常数项
C．(2－x)2=0是一元二次方程
D．一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为0
32．一元二次方程的一次项的系数是（ ）
A．4 B．-4 C．1 D．5
33．下列方程中，有一个根为的方程是（ ）
A． B． C． D．
34．已知关于的方程的一个根为，则实数的值为
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
35．方程的两个根为（ ）
A． B． C． D．
36．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0时，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝1 B．（x﹣3）2＝10 C．（x＋3）2＝1 D．（x＋3）2＝10
37．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
38．用求根公式法解得某方程的两个根互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．
39．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
40．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（ ）秒．
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
41．已知是方程的一个根，则方程的另一个根是 ．
42．已知三个连续奇数的平方和是371，设第二个奇数为，则依题意可得到的方程是 ．
43．已知：且，，那么的值等于 ．
44．已知实数x、y满足（x2＋y2＋1）（x2＋y2﹣3）＝0，则x2＋y2＝ ．
45．关于x的一元二次方程2x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
46．若(2m＋n)2＋2(2m＋n)＋1＝0，则2m＋n的值是 ．
47．若ac＜0，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是 ．
48．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 ．
49．请你写出一个关于的一元二次方程，使得方程的两根互为相反数，你所写的方程是 ．
50．实数x和y满足，则 ．
三．解答题（共6小题，满分60分，每小题10分）
51．已知关于的一元二次方程，请你选取一个适当的的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程．
(1)你选取的的值是 ；
(2)解这个方程．
52．已知关于x的一元二次方程
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若是上述方程的两个实数根，且满足，请求出k的值及相应的实数根．
53．某村2020年的人均收入为40000元，2022年的人均收入为48400元．求2020年到2022年该村人均收入的年平均增长率．
54．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A 沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，有一点到终点运动即停止．问几秒后的面积等于？
55．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元，其每天的销售量就减少20件.
（1）当售价定为12元时，每天可售出________件；
（2）要使每天利润达到640元，则每件售价应定为多少元？
56．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
试卷第8页，共9页
试卷第1页，共9页
参考答案：
1．B
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．选项：是一元一次方程，故A错误．
B．选项：是一元二次方程，故B正确．
C．选项：是二元二次方程，故C错误．
D．选项：是分式方程，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答本题的关键．
2．B
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】∵（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程
∴m﹣3≠0
∴m≠3
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，形如ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的方程叫做一元二次方程，注意a≠0这个条件．解题的关键是熟记一元二次方程的定义．
3．D
【分析】根据一元二次方程的概念得出关于的方程，进而得出结果．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程
∴，且，
∴
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，理解一元二次方程的概念是解题的关键．
4．(1)
(2)
【分析】（1）原方程先将常数项移到等号右边，方程两边同加上一次项系数一半的平方，配方后运用直接开平方法求解即可；
（2）方程运用求根公式求解即可．
【详解】（1）解：
，
，即，
∴，
∴；
（2）解：，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
或，
，．
（2），
，，，
，
，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有：直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法等等．
6．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】(1)先把方程两边开方得到，然后解两个一次方程即可；
(2)利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
(3)先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
(4)先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【详解】（1），
，
即或，
所以；
（2），
，
，
，
，
解得；
（3），
，
∵，
∴，
∴，
∴；
（4），
，
，
或，
∴．
【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握解一元二次方程的多种方法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法是解此题的关键．
7．(1)
(2)，，
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系得到，解不等式即可解答；
（2）可取或，代入原方程中，利用因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：可取或，
若时，方程为，解得，．
若时，方程为，解得．
（或写一种情况即可）
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
8．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）直接把代入到原方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，
∴；
（2）证明：由题意得，，
∴无论取什么值，该方程总有两个实数根．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
9．(1)且
(2)，
【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；
（2）由（1）的结论，结合m为正整数，可得出m的值，再其代入原方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：且，
∴m的取值范围为且；
（2）∵且，且m为正整数，
∴，
∴原方程为，
即，
解得：，．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于m的一元一次不等式组；（2）代入m的值，求出方程的解．
10．(1)见解析
(2)
【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；
（2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）证明：关于x的一元二次方程，
∴
∵
，
∴此方程总有两个实数根；
（2）∵
∵
∴
解得:，
∵方程有一个根小于2，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
11．(1)且
(2)，
【分析】（1）由得到关于的不等式，解之得到的范围，根据一元二次方程的定义求得答案；
（2）由（1）知，还原方程，利用因式分解法求解可得．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：且；
（2）由（1）知，最小整数为，
此时方程为：，
解得：，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．
12．（1）详见解析；（2）a=1，方程的另一根为﹣1．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（a-2）2+8＞0，由此即可证出：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将x=2代入原方程可求出a值，再利用根与系数的关系结合方程的一个根为2即可求出方程的另一根．
【详解】（1）△=
=．
∵≥0，
∴＞0，即△＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将x=2代入原方程，解得：a=1．
原方程为，解得：x1=﹣1，
∴方程的另一根为﹣1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=2求出a值．
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程由两个实数根， 得出，解不等式即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入，进而解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴
解得：；
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，分别记为，
∴，
∵，
∴
解得：
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，综合运用以上知识是解题的关键．
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先计算，再证明 从而可得结论；
（2）由，可得再把整体代入建立方程，再解方程即可.
【详解】（1）解：∵
又∵
∴
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵，
∴
∵
∴
解得：
【点睛】本题考查的是利用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程根与系数的关系，掌握“ 则一元二次方程有两个不相等的实数根”是解本题的关键.
15．(1)见解析
(2)3或4
【分析】（1）求出根的判别式，然后根据根的判别式的大小可以得到解答；
（2）分b=c、b=a或c=a两种情况讨论．
【详解】（1）解：∵
=
=
=≥0，
∴无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）解：分几种情况讨论：
当b=c时，由（1）可得=0，即k=3；
当b=a或c=a时，可知原方程有一个根为3，所以有：
，
解之可得：k=4；
∴k=3或4 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根判别式的应用、一元二次方程根的意义、等腰三角形的性质及分类讨论的思想方法是解题关键．
16．的值为
【分析】根据各边之间的关系，可得出的长为，根据矩形养殖场的面积为，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：∵栅栏总长度为，的长为，
∴的长为．
根据题意得：，整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
∴此时的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．(1)
(2)棵
【分析】（1）设平均每天植树的增长率为，利用九年级学生在14日植树的棵数七年级学生在12日植树的棵数平均每天植树的增长率，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）将三个年级植树棵数相加，即可求出结论．
【详解】（1）解：设平均每天植树的增长率为x，
根据题意得：，
解得：， (不符合题意，舍去)．
答：平均每天植树的增长率为；
（2）解：根据题意得：
(棵)．
答：此次活动三个年级种植树苗的总棵数为棵．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．(1)57
(2)该校购进古典诗词类图书50本
【分析】（1）根据“超过40本时，每增加2本，单价降低1元”即可求解；
（2）该校购进古典诗词类图书x本，则购买散文类图书本，分和两种情况分别列方程，即可求解．
【详解】（1）解：由题意知， 购买古典诗词类图书46本，则每本古典诗词类图书的单价是：（元），
故答案为：57；
（2）解：该校购进古典诗词类图书x本，则购买散文类图书本．
若，则，
化简得，
解得或（舍去）；
若，则，
解得（舍去）；
综上可知，该校购进古典诗词类图书50本．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键，注意第二问需分情况讨论．
19．(1)BC=（21-3x）米；
(2)AB的长为2米或5米．
【分析】（1）用总长减去三条垂直于墙的边长即可求得BC的长；
（2）根据矩形的面积公式列式求解即可．
【详解】（1）设AB边长为x米，则EF=DC=AB=x米，
所以BC=（21-3x）米；
（2）根据题意得：x（21-3x）=30，
解得：x=2或x=5，
答：AB的长为2米或5米．
【点睛】考查了一元二次方程的应用的知识，解题的关键是能够正确的表示出BC的长．
20．经过秒或2秒P、Q之间距离等于cm
【分析】设经过x秒钟，P、Q之间距离等于cm，根据点P从A点开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，表示出和的长可列方程求解．
【详解】解：设经过x秒P、Q之间距离等于cm，
可得：，
整理得，
解得：，．
答：经过秒或2秒P、Q之间距离等于cm
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语得出等量关系是解决问题的关键．
21．这个两位数是36或25.
【分析】设个位数字为x，那么十位数字是（x-3），这个两位数是[10（x-3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解．
【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x-3)，
由题意，得x2=10(x-3)+x.
解得x1=6，x2=5.
当x=6时，x-3=3；当x=5时，x-3=2.
答：这个两位数是36或25.
22．(1)
(2)7米
【分析】（1）根据各边之间的关系，可得出的长为米，利用矩形的面积计算公式，可用含的代数式表示，再结合边的长大于0且长度不超过米，即可得出的取值范围；
（2）根据围成花圃的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）解：的长为米，且篱笆的总长度为米，
的长为米．
花圃的面积，
∵墙的长度为，
∴，
，
∴；
（2）解：依题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），．
答：的长是米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．(1)
(2)
【分析】（1）已知等式变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出的值；
（2）由，得，结合非负数的性质求得a，b的值，然后利用三角形的三边关系求得c的取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由题意知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴最长边c的取值范围为．
【点睛】此题考查了配方法的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，解题的关键是对方程的左边进行配方，难度不大．
24．2022
【分析】根据m是方程的一个根，得到，进而得到，代入代数式计算即可得解．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2022．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
25．
【分析】由方程根的定义得到，整体代入即可得到答案．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．
26．2
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到即可求解．
【详解】∵m为一元二次方程的一个根．
∴，
∴，
即，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
27．
【分析】将代入原方程得，然后运用整体代入的思想即可得出答案．
【详解】解：将代入原方程得：，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及代数式求值，运用整体代入的思想解题是本题的关键．
28．12
【分析】根据a是原方程的解，求得，得到，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵a是方程的一个根，代入得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，通过已知方程转变为代数式内式子相等关系的式子是解题的关键．
29．
【分析】先移项，然后利用因式分解法可进行求解．
【详解】解：
解得：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
30．(1)2秒
(2)秒
【分析】（1）根据题意，设运动时间为t秒，将用t表示出来，跟为梯形的面积占2份和5份两种情况进行讨论即可；
（2）过P点作，垂足为M点，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：设运动时间为t秒，
依题意得：∵，
∴．
∴，．
∴，
，解得
，解得（舍），
∴运动2秒时，能将矩形ABCD的面积分成两部分．
（2）如图，过P点作，垂足为M点，
∴，，
∴，
∴，即
∴或（舍去），
∴时，P、Q两点之间的距离是．
【点睛】本题主要考查矩形的动点问题，勾股定理和用平方根的定义解方程，解题的关键是根据题意做出合适的辅助线，利用勾股定理解答是关键．
31．C
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
【详解】A. 形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程叫一元二次方程，故此选项错误；
B. 方程4x2+3x=6可变形为4x2+3x 6=0含有常数项，故此选项错误；
C. （2 x)2=0是一元二次方程，故此选项正确；
D. 一元二次方程中，二次项系数不能为0，故此选项错误；
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的定义.
32．A
【分析】方程整理为一般形式，求出一次项系数即可．
【详解】方程整理得：x2+4x+5=0，则一次项系数为4．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
33．C
【分析】分别利用因式分解法解方程，进而判断得出答案．
【详解】解：A、
，
解得：，故此选项错误；
B、
，
解得：，故此选项错误；
C、
，
解得：，故此选项正确；
D、
，
解得：，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握因式分解法解方程是解题关键．
34．A
【分析】利用方程解的定义就可以得到关于的方程，从而求得的值．
【详解】解：关于的方程的一个根为，
，
解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义．解题的关键是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
35．D
【分析】将原方程的常数项移项到方程右边，利用平方根的定义开方即可求出方程的解．
【详解】解：方程，
移项得：，
开方得：，
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣直接开方法，利用此方法解方程时，首先将方程左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解．
36．B
【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
【详解】方程移项得：x2－6x＝1，
配方得：x2－6x＋9＝10，即（x－3）2＝10，
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
37．B
【分析】把方程化为一元二次方程的一般形式，用一元二次方程的求根公式求出方程的根．
【详解】解：方程整理得：
x2+3x-14=0
a=1，b=3，c=-14，
△=9+56=65
．
故选B．
【点睛】本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程，先把方程化为一元二次方程的一般形式，计算判别式的值，再用求根公式求出方程的根．
38．A
【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根，由题意得，可求出．
【详解】方程有两根，
且．
求根公式得到方程的根为，两根互为相反数，
所以，即，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．
39．A
【分析】先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
【详解】因为，
所以，
所以方程有两个不相等的两个实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键．
40．D
【分析】求滑行10米时用时，即有了距离求时间，则必须知道速度．这里的速度是从刹车到停止期间的平均速度，因此必须求出从刹车到停止用了多长时间以及每秒减速多少．这二者解决后，便可解答．
【详解】解：时速108千米30米/秒，
设紧急刹车后又滑行30米需要时间为秒，由平均速度时间路程得：
，解得秒，
平均每秒减速米/秒；
设刹车后汽车滑行10米时用了秒，
依题意列方程：，即，解方程得，（舍去），
秒，
故选：D．
【点睛】本题是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程．注意速度单位的转化和题目的问题相符．
41．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：设另外一个根为x，
由根与系数的关系可知：，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．若是一元二次方程的两根时，．
42．
【分析】设这三个奇数为根据题意列方程求解．
【详解】解：设第二个奇数是，则第一个为，第三个为，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是利用连续奇数的特点列出方程．
43．或2
【分析】先把已知条件化为，再利用因式分解法得到或，然后把或分别代入中计算即可．
【详解】解：∵，即，
∴，
∴或，
当时，即；
当时，即，
∴的值等于或2．
故答案为：或2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
44．3
【分析】设x2+y2＝a，则原方程变形为（a+1）（a﹣3）＝0，运用因式分解法求得即可．
【详解】解：设x2+y2＝a，
则（a+1）（a﹣3）＝0，
解得a＝﹣1或a＝3，
当a＝﹣1时，x2+y2＝﹣1，不合题意，舍去；
故x2+y2＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
45．
【分析】根据一元二次方程根的判别式及方程有两个相等的实数根，即可求得．
【详解】解：关于x的一元二次方程2x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键．
46．－1
【详解】把2m＋n看作整体，因式分解得（2m+n+1）2=0，
所以2m＋n=-1.
47．有两个不相等的实数根
【分析】先判断出△的符号，再根据一元二次方程的根与△的关系即可得出结论．
【详解】解：∵△＝b2 4ac，ac＜0，
∴ 4ac＞0，
∴△＝b2 4ac＞0，
∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．
故答案为有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根是解答此题的关键．
48．
【分析】时为一元一次方程，有实根；
时为一元二次方程，根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】解：依题意得：时，即，方程为：，是一元一次方程，有实根，
时，一元二次方程有实数根，，
解得．
综上所述：，
故答案是：．
【点睛】本题考查了根的判别式及一元一次方程的解，对学生的思维缜密性有一定要求，体现了分类讨论的数学思想．
49．（答案不唯一）
【分析】先设所求方程式，根据根与系数的关系、结合两根互为相反数，可求以及满足条件，从而可求方程的解析式．
【详解】解：设所求方程式，
∵是方程的两个根，且互为相反数，
∴，
∴所求方程是，
故可取（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系，设所求方程二次项系数等于1是解决问题的关键．
50．
【分析】将已知等式左边第三项拆项后，重新结合利用完全平方公式变形后，利用两非负数之和为0，得到两非负数分别为0，求出x与y的值，代入所求式子中计算，即可求出值．
【详解】解：∵，
∴且，
解得：，，
则，
故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
51．(1)12（答案不唯一）
(2)
【分析】（1）由于方程左边可化为，能用直接开平方求解，只要给出的值使的值不大于16即可，答案不唯一；
（2）将这个一元二次方程利用开方法进行解答即可得解．
【详解】（1）解：，
，
若关于的一元二次方程能用直接开平方法求解，
，解得，
可令，答案不唯一，
故答案为：12（答案不唯一）；
（2）解：若，则，
，即，
直接开平方得，
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键掌握直接开平方法解方程．
52．(1)见解析
(2)当时，或，当时，或
【分析】（1）计算其判别式，判断其为正数，即可证得结论；
（2）由根与系数的关系可求得和的值，代入已知等式可得到关于k的方程，可求得k的值，再代入方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵是上述方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，即，解得或，
当时，方程为，解得或，
当时，方程为，解得或．
【点睛】本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式，利用根与系数的关系表示出两根积与两根和是解题的关键．
53．2020年到2022年该村人均收入的年平均增长率为10%．
【分析】设2020年到2022年该村人均收入的年平均增长率为x，根据该村2020年到2022年的人均收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设2020年到2022年该村人均收入的年平均增长率为x，
依题意得：40000（1+x）2=48400，
解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去）．
答：2020年到2022年该村人均收入的年平均增长率为10%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
54．2秒或4秒
【分析】可先设出未知数，△PDQ的面积可由矩形与几个小三角形的面积之差表示，所以求出几个小三角形的面积，进而即可求解结论．
【详解】解：存在，t=2s或4s．理由如下：
可设t秒后其面积为28cm2，
即S矩形ABCD-S△ADP-S△BPQ-S△DCQ=12×6-×12t-（6-t）·2t-×6×（12-2t）=28，
解得t1=2，t2=4，
当其运动2秒或4秒时均符合题意，
所以2秒或4秒时面积为28cm2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是利用“分割法”来求△PDQ的面积的．
55．（1）160；（2）要使每天利润达到640元，则每件售价应定为16或12元.
【分析】（1）由原来的销量-减少的销量就可以得出现在的销量，从而得出答案；
（2）利润=每件利润×销售数量建立方程求出其解即可.
【详解】（1）由题意，得
.
故答案为160.
（2）设每件售价定为元，由题意，得
，
解得，.
答：要使每天利润达到640元，则每件售价应定为16或12元.
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，求出函数解析式是解题的关键.
56．(1)x（90－x）元
(2)50度
【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解；
（2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解．
【详解】（1）解：∵规定用电x度，
∴用电90度超过了规定度数（90－x）度，
∵超过部分按每度元交电费，
∴超过部分应交的电费为x（90－x）元．
（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得
x（80－x）＝25－10．
整理得x2－80x＋1500＝0．
解这个方程得x1＝30，x2＝50．
根据题意得：3月份用电45度只交电费10元，
∴电厂规定的x≥45，
∴x1＝30不合题意，舍去．
∴x＝50．
答：电厂规定的x度为50度．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
答案第26页，共27页
答案第27页，共27页
