人教A版（2019）选择性必修第一册 2.2 直线的方程 同步练习
一、单选题
1．经过点(－，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（ ）
A．y＋(x－2) B．y＋2＝(x－)
C．y－2(x＋) D．y－2＝(x＋)
2．若，则直线可能是（ ）
A． B． C． D．
3．直线恒过定点（ ）
A． B．
C． D．
4．一次函数所表示直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．150° C．120° D．60°
5．已知两点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
6．直线与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么的取值范围是
A． B． C． D．
7．已知过点的直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于A，B两点，当最小时，直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．若直线经过点，且在轴上的截距的取值范围是（3，5），则其斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
11．“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（ ）
A． B．6 C． D．
二、填空题
13．过点，且垂直于向量的直线的点法向式方程是_____________．
14．直线恒过的定点坐标是______.
15．若、两点的坐标分别为、，则线段的垂直平分线的方程为______．
16．已知点，，则线段的垂直平分线方程为__________．
17．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点.若光线经过的重心，则长为___________
三、解答题
18．求满足下列条件的直线方程：
（1）已知、、，求的边上的中线所在的直线方程；
（2）过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程.
19．三角形的三个顶点是，，．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程．
20．求适合下列条件的直线方程：
（1）经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等；
（2）直线经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半；
（3）在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，求直线MN的方程．
21．在三角形ABC中，已知点A(4，0)，B(－3，4)，C(1，2)．
(1)求BC边上中线的方程；
(2)若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C根据k=tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解.
【详解】直线的斜率k=tan30°=，
由直线的点斜式方程可得y－2＝ (x＋)，
故选：C．
2．C将直线转化为斜截式，结合斜率和纵截距的正负可得解.
【详解】由题意知，直线方程可化为,
，
故直线的斜率小于0，在y轴上的截距大于0．
故选:C．
本题主要考查了直线的一般方程转化为斜截式方程判断图像，属于基础题.
3．B由时，可得到定点坐标.
【详解】当，即时，，直线恒过定点.
故选：B.
4．C由直线的斜率可得倾斜角的正切值，进而可求得直线的倾斜角
【详解】设直线的倾斜角为，
由直线的斜率为，可得
又，则，即=120°
故选：C
5．B由已知求出直线方程，得出，代入即可求解.
【详解】解析：可得直线AB的方程为，则可得，，
则，
当时，取得最大值为3.
故选：B.
6．C令，可得；令，可得，可得，，解出即可．
【详解】解：令，可得；令，可得，
，，
解得，且．
故选：．
本题考查了直线的截距意义、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
7．B由题意结合三角函数的知识可得，，结合正弦的二倍角公式可得，求出后即可得直线的斜率，再由点斜式即可得解.
【详解】设，如图：
则，，
所以，
所以当即时，最小，
此时，直线的倾斜角为，斜率，
所以直线l的方程为即.
故选：B.
本题考查了三角函数、三角恒等变换的应用，考查了直线方程的求解，关键是合理转化条件，属于中档题.
8．A直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，
从而得出l的斜率的取值范围,即得解
【详解】设直线过定点，则直线可写成，
令解得直线必过定点．
，．直线与线段相交，
由图象知，或，解得或，
则实数的取值范围是．
故选：A
本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．
9．A先得出直线的点斜式方程，求得直线在x轴上的截距，建立不等式可得选项．
【详解】设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，
令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，则3<1－<5，
解得
所以直线的斜率的取值范围为.
故选：A
10．B先将直线方程变形得到定点的坐标，根据点在直线上确定出所满足的关系，最后根据“”的妙用求解出的最小值.
【详解】已知直线整理得：，
直线恒过定点，即.
点也在直线上，
所以，整理得：，
由于，均为正数，则,
取等号时，即，
故选：B.
方法点睛：已知，求的最小值的方法：
将变形为，将其展开可得，然后利用基本不等式可求最小值，即，取等号时.
11．A直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】因为直线与直线相互垂直，
所以，
所以.
所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；
当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.
所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
12．C直线AB的方程为：，点关于x轴的对称点，根据对称性特征求得点关于直线AB的对称点， 再根据反射对称性可得光线所经过的路程为，即得结果.
【详解】直线AB的方程为：，如图所示，
点关于x轴的对称点，
设点关于直线AB的对称点，如图，
则，且中点在直线上，
即联立解得，即，
所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为：
．
故选：C.
本题考查了直线的方程、点关于直线的对称点的求法、两点之间的距离公式和光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题．
13．由题意结合直线点法向式方程直接求解即可.
【详解】因为直线过点，且垂直于向量，
所以该直线的点法向式方程为.
故答案为：.
本题考查了点法向式方程的应用，关键是对概念的熟练掌握，属于基础题.
14．直线方程可化为，从而可得，解方程组即可.
【详解】直线方程可化为
因为对任意，方程恒成立，所以
解得故直线恒过定点
故答案为：
15．求出线段的中点坐标，并求出线段的垂直平分线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】线段的中点为，直线的斜率为，
则线段的垂直平分线的斜率为，
因此，线段的垂直平分线的方程为，即.
故答案为：.
16．由中点坐标公式和斜率公式可得的中点和直线斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程，化为一般式即可．
【详解】解：由中点坐标公式可得，的中点为，
可得直线的斜率为，
由垂直关系可得其垂直平分线的斜率为，
故可得所求直线的方程为：，
化为一般式可得
故答案为：
17．建立平面直角坐标系，设点P的坐标，可得P1, P2的坐标，和P关于y轴的对称点的坐标，得直线的方程，由于直线过的重心，解得P的坐标，进而可得AP的值．
【详解】建立如图所示的直角坐标系：
可得，故直线BC的方程为，
的重心为，即
设，其中，
则点P关于直线BC的对称点，满足，
解得，即，P关于y轴的对称点，
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，
直线QR的斜率为k，故直线QR的方程为，
由于直线QR过的重心，代入化简可得，
解得，或（舍去），故，故
故答案为：
18．（1）；（2）或.（1）先计算中点的坐标，再利用两点式写出直线方程，即得结果；
（2）分类讨论直线是否过原点两种情况，分别设直线方程，再将点P代入计算，即得结果.
【详解】解：（1）由题意可知，的中点坐标为，又点，
所以的边上的中线所在的直线方程为：，
即；
（2）当直线过原点时，设方程为，
∵过点，∴直线方程为，即；
当直线不过原点时，设方程为，
∵过点，∴，∴直线方程为，即.
故所求直线的方程为或.
19．（1）；（2）．（1）先根据斜率公式得，由于边上的高与所在直线垂直且过，故根据点斜式求解即可；
（2）由题知中点为，故再根据点斜式求解即可.
【详解】（1）边所在直线的斜率
因为所在直线的斜率与BC高线的斜率乘积为，
所以高线的斜率为，又因为高线所在的直线过
所以高线所在的直线方程为，即
（2）设中点为，则中点，又
所以边上的中线所在的直线方程为：，即：
本题考查直线的方程的求解，解题的关键在于利用两直线垂直且斜率存在，则斜率乘积为，考查运算求解能力，是基础题.
20．（1）2x－3y＝0或x＋y－5＝0；（2）x－y＋6＝0；（3）5x－2y－5＝0.（1）设所求直线的斜率k存在且k≠0，分截距为0和截距不为0两种情况讨论，即可求解；
（2）先求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程；
（3）先求出M、N的坐标，利用截距式求出直线方程.
【详解】（1）由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，
设直线方程为y－2＝k(x－3)，
令y＝0，得x＝3－，
令x＝0，得y＝2－3k，
由已知3－＝2－3k，
解得k＝－1或k＝，
∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝ (x－3)，
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
（2）由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为.
又直线过点A(－，3)，所以所求直线方程为y－3＝ (x＋)，即x－y＋6＝0.
（3）设C(x0，y0)，则
M，N
因为点M在y轴上，所以，
所以x0＝－5.
因为点N在x轴上，所以，
所以y0＝－3，即C(－5，－3)，
所以M，N(1，0)，
所以直线MN的方程为，
即5x－2y－5＝0.
21．(1)
(2)或
（1）求得线段BC的中点坐标，再结合点A的坐标，由直线的点斜式写出直线方程；
（2）分两类：①当直线在x轴和y轴上的截距均为0时，可设直线的方程为y＝kx，代入点B（－3，4），求出k的值；②当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为1，代入点B（－3，4），求得m的值，得解.
（1）
∵B（－3，4），C（1，2），
∴线段BC的中点D的坐标为（－1，3），
又BC边上的中线经过点A（4，0），
∴y（x－4），即3x+5y－12＝0，
故BC边上中线的方程.
（2）
当直线在x轴和y轴上的截距均为0时，可设直线的方程为y＝kx，
代入点B（－3，4），则4＝－3k，解得k，
所以所求直线的方程为yx，即4x+3y＝0；
当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为1，
代入点B（－3，4），则，解得m，
所以所求直线的方程为1，即x+2y－5＝0，
综上所述，该直线的一般式方程为4x+3y＝0或x+2y－5＝0．
答案第1页，共2页
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