郁南县2024届高三上学期9月月考
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2022·全国甲卷]设全集U={-2,-1,0,1,2,3} ,集合， ,则 ( )
A. B. C. D.
2.[2022·新高考Ⅱ卷] ( )
A. B. C. D.
3.在中，为中点，为中点，，则（ ）
A. B.1 C. D.-1
4. [2022·成都模拟]已知函数为上的偶函数，对任意 , ,均有
成立，若 , ,，则 , ,的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.设公差不为零的等差数列的前项和为，则（ ）
A.15 B.1 C.-1 D.-9
6.[2022·全国甲卷]函数在区间的图象大致为( )
A. B. C. D.
7.[2022·浙江卷]（易错题）设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列说法正确的有( )
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线AM与DD1是异面直线
10.在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则( )
A. 二项式系数和为64 B. 各项系数和为64
C. 常数项为 D. 常数项为135
11.（）已知函数的定义域为，对任意都有，且，则下列结论正确的是( )
A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称
C. 的周期为4 D. 为偶函数
12. 如图是函数（，，）的部分图像，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是的函数的一条对称轴
C. 将函数图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数
D. 若函数（）在上有且仅有两个零点，则
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知 ,则的最小值为 .
14.小张 小陈 小胡独立的做一道数学题，小张做出这道题的概率为，小陈做出这道题的概率为，小胡做出这道题的概率为，每个人是否做出这道题相互没有影响，则这道题被做出来的概率为__________.
15.在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点（为自然对数的底数），则点的坐标是 .
16.双曲线的左，右焦点分别为，右支上有一点，满足的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分） [2020·全国Ⅰ卷]设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
18.（本小题满分12分) 在中，角，，所对的边分别为，，，
已知．
（1）若，，求的面积；
（2）若，求周长的取值范围．
19.（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，，点是的中点．
（1）证明：平面．
（2）已知点是边上靠近点的三等分点，
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20.（本小题满分12 分） 2021年5月30日清晨5时01分，天舟二号货运飞船在成功发射约8小时后，中国航天器的“浪漫之吻”再度在太空上演，天舟二号货运飞船与中国空间站天和核心舱顺利实现了快速交会对接.据航天科技集团五院的专家介绍，此次天舟货运飞船携带的物资可以供3名航天员在太空中生活3个月，这将创造中国航天员驻留太空时长新的记录.如果首次执行空间站的任务由3名航天员承担，在3名女性航天员（甲、乙、丙）和4名男性航天员（丁、戊、己、庚）共7名航天员中产生．
（1）求所选的3名航天员既有男航天员又有女航天员的概率；
（2）求所选的3名航天员中女航天员人数的分布列及均值．
21.（本小题满分12分） 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程.
22.（本小题满分12分） 已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）求证：.
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数学
参考答案 提示及评分细则
1.D 因为，所以,所以.故选.
2.D [解析],故选.
3.C .
4.B [解析]［因为对任意，，均有成立，
所以此时函数在区间上单调递减，因为是偶函数，所以当时，单调递增，
又在上单调递增，所以，又，所以，
所以，即．故选.
5.D .
.故选D.
6.A 因为.又因为，且区间关于原点对称,所以为奇函数，故排除，. 又，故排除.故选.
A [解析]［根据解得，，此时.根据解得,，此时.故“”是“”的充分不必要条件，故选.
A [解析]［画出函数的大致图象如图所示.因为函数在上有两个零点，所以在和上各有一个零点.当时，有一个零点，需；当时，有一个零点，需，即.综上，.故选.
9.CD 【解析】因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故A错；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，故B错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确.故选CD.
10.ABD [解析]在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令，得各项系数和为，二项式系数和为，则，得，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故，正确；展开式的通项为，
令，得，因此展开式中的常数项为.故正确．故选.
11.ACD [解析]因为，则的图象关于直线对称，故正确，错误；
因为函数的图象关于直线对称，则，又，
所以，所以，故正确；
因为且为偶函数，故为偶函数，故正确．故选.
12.AD 【详解】由图像可知， ， ，即，故A正确；
，此时，
又 在图像上， ，解得，
，
，， ，
当是函数一条对称轴时，此时不符合题意，故B错误；
将的图象向右平移个单位后得到的图象对应的解析式为：
不为奇函数，故C错误；
令 ，解得 ，
当 时， ，不合题意
时， ；时， ；时， ；
又因为函数在上有且仅有两个零点
，解得 ，故D正确. 故选：AD.
5 [解析]因为,所以,所以.当且仅当，即时取等号.
14. 记“这道题被做出来”为事件.
15. [解析]设，则曲线在点处的切线方程为.
又切线过点，所以有.再由，解得,.
故点的坐标为.
16. 内切圆分别与切于点，则四边形为正方形，故，
17.[解析]设的公比为，
因为为，的等差中项，
所以，，................1分
所以，.............2分
因为，所以．...............3分
（2）[解析]设的前项和为，，由（1）得，................4分
，..........................5分
，②..........6分
得，.............7分
，...............9分
所以，．...............10分
18.[解析]因为，
所以，...................1分
所以，
所以，.............2分
所以，
因为，所以，
又易知，所以，....................3分
因为，所以．...............4分
因为，，，
所以．.................6分
（2）若，求周长的取值范围．
[解析]在中，，，由余弦定理得，................7分
所以，......................8分
即，即，...................9分
所以，当且仅当时等号成立，.............10分
又，所以，..................11分
所以，
故周长的取值范围是．....................12分
19.【详解】（1）证明：∵底面是正方形，∴............1分
又∵平面平面，平面平面，且平面，∴平面...............2分
∵平面，∴. .........3分
由已知，点是的中点，∴，..........4分
又∵，∴平面............5分
（2）易知，，两两垂直.
分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则，，，，，，∴，................7分
设平面的一个法向量为，∵得取，
则，，∴.....................9分
连接，∵，，，
∴平面，即平面的一个法向量为...................10分
设平面与平面所成锐二面角为，
∴，...........................11分
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.......................12分
20.解：（1）设“所选的3名航天员既有男航天员又有女航天员”为事件，
则．.............4分
(2)女航天员人数的所有可能的取值为0，1，2，3， .............5分
所以， ......................6分
， ......................7分
， ......................8分
， ......................9分
所以的分布列为
0 1 2 3
................................10分
．............12分
解：（1）由题意可知
，
所以椭圆的方程为.......................4分
（2）由直线的方程为，则点到直线的距离为，
联立方程组整理可得，
由判别式，解得，
设，则，
可得，
所以
（当且仅当时，等号成立），
所以所求直线的方程为或.
22.（1）解：，
，
设，
在上为单调递增函数，
，当时，，
当时，时，取得最小值，；
（2）证明：，只需证，
即，令，则，
当时，令，则在上单调递增，
即在上为增函数，
又因为，
所以存在，使得，
由，
得，即，即，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
令，
则，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以，
即
