2023-2024学年福建省福州市高新区实验中学九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、单选题（每题4分，共40分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+y＝1 D．
2．抛物线y＝﹣x2+3的顶点坐标是（ ）
A．（0，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（2，﹣3）
3．将抛物线y＝x2向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2
4．用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝3
5．若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数＝x2+2x+2的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系
是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
6．抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．在同一平面直角坐标系中，a≠0，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能正确的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
8．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
9．如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m．设鸡场垂直于墙的一边为xm，则列方程正确的是（ ）
A．x（69+1﹣2x）＝600 B．x（69﹣1﹣2x）＝600
C．x（69﹣2x）＝600 D．x（35+1﹣2x）＝600
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下面结论：①（b+c）2＞a2；②4a+2b+c＞0；③a+b≥m（am+b）；④若此抛物线经过点C（t，n），则2﹣t一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题4分，共24分）
11．一元二次方程3x2+x+5＝0的常数项是 ．
12．若函数y＝xm﹣1+x﹣3是关于x的二次函数，则m＝ ．
13．某楼盘2018年初房价为每平方米20000元，经过两年连续降价后，2020年初房价为16200元．设该楼盘这两年房价年平均降低的百分率为x，根据题意可列方程为 ．
14．若a是方程3x2+2x﹣1＝0的解，则代数式3a2+2a﹣2019的值为 ．
15．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有225人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人．
16．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 s后，P，Q两点之间相距25cm．
三、解答题（共86分）
17．解一元二次方程：x2﹣6x+2＝0．
18．已知抛物线y＝ax2﹣bx+3经过点A（1，2），B（2，3）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）判断点C（﹣1，5）是否在此抛物线上．
19．已知二次函数y＝﹣x﹣3．
（1）用配方法求函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向；
（2）在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象．
20．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+（m﹣2）＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有实数根；
（2）已知方程有一根大于6，求m的取值范围．
21．求关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+1在﹣1≤x≤1上的最大值（t为常数）．
22．汽车刹车后行驶的距离S（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是S＝at2+bt．当时，S＝6；当t＝1时，S＝9．
（1）求该函数的解析式；
（2）请结合平面直角坐标系中给出的点，画出符合题意的函数图象，并写出汽车刹车后到停下来前进了多远？
23．已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．
24．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系y＝﹣20x+2600．
（1）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（2）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值．若没有，请说明理由．
参考答案
一、单选题（每题4分，共40分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+y＝1 D．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
解：A、2x+1＝0是一元一次方程，不符合题意；
B、x2﹣3x+1＝0是一元二次方程，符合题意；
C、x2+y＝1是二元二次方程，不符合题意；
D、＝1是分式方程，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
2．抛物线y＝﹣x2+3的顶点坐标是（ ）
A．（0，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（2，﹣3）
【分析】根据二次函数的解析式利用二次函数的性质，即可找出抛物线的对称轴及顶点坐标，此题得解．
解：抛物线y＝﹣x2+3的顶点坐标是（0，3），
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式找出抛物线的对称轴及顶点坐标是解题的关键．
3．将抛物线y＝x2向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
解：将抛物线y＝x2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为y＝x2﹣2，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
4．用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝3
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
解：方程x2+4x+1＝0，
整理得：x2+4x＝﹣1，
配方得：（x+2）2＝3．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数＝x2+2x+2的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系
是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】由对称轴为直线x＝﹣1，a＝1＞0可知，距离对称轴越近函数值越小即可．
解：∵对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
且a＝1＞0，
∴A到对称轴直线x＝﹣1的距离为1，
B到对称轴直线x＝﹣1的距离为0，
C到对称轴直线x＝﹣1的距离为3，
∵0＜1＜3，
根据抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小，
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据开口向上，离对称轴越近函数值越小是解决问题的关键．
6．抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，再解方程﹣x2+4x﹣4＝0得抛物线与x轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．
解：当x＝0时，y＝﹣x2+4x﹣4＝﹣4，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣4），
当y＝0时，﹣x2+4x﹣4＝0，解得x1＝x2＝2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），
所以抛物线与坐标轴有2个交点．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
7．在同一平面直角坐标系中，a≠0，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能正确的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】分a＞0和a＜0时，分别判断两函数的图象即可求得答案．
解：当a＞0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而增大，函数y＝ax2开口向上，故①正确，④错误；
当a＜0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而减小，函数y＝ax2开口向下，故③不正确，②正确；
∴两函数图象可能是①②，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象，掌握二次函数和正比例函数的图象的变化趋势是解题的关键，注意分两种情况进行讨论．
8．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得：x（x﹣1）＝55，
整理，得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：参加酒会的人数为11人．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m．设鸡场垂直于墙的一边为xm，则列方程正确的是（ ）
A．x（69+1﹣2x）＝600 B．x（69﹣1﹣2x）＝600
C．x（69﹣2x）＝600 D．x（35+1﹣2x）＝600
【分析】根据各边之间的关系，可得出鸡场平行于墙的一边为（69+1﹣2x）m，根据长方形鸡场的面积为600m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵竹篱笆的总长为69m，鸡场垂直于墙的一边为xm，
∴鸡场平行于墙的一边为（69+1﹣2x）m．
根据题意得：x（69+1﹣2x）＝600．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下面结论：①（b+c）2＞a2；②4a+2b+c＞0；③a+b≥m（am+b）；④若此抛物线经过点C（t，n），则2﹣t一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由已知条件得出：a＜0，c＞0，＝1，a+b+c＞0，利用上述条件进行适当变形，再结合二次函数图象的性质对每个结论进行判断即可．
解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴＝1，即b＝﹣2a，
∴b＞0．
①∵（b+c）2﹣a2＝（b+c+a）（b+c﹣a），
当x＝1时，
y＝a+b+c＞0．
∵a＜0，
∴﹣a＞0，
∵b＞0，c＞0，
∴b+c﹣a＞0，
∴（b+c+a）（b+c﹣a）＞0，即（b+c）2＞a2，
故①正确；
②由二次函数图象的对称性可知，当x＝2时，y＞0，
即4a+2b+c＞0，
故②正确；
③由图象可知，当x＝1时，二次函数取得最大值，
即最大值为a+b+c．
∴当x＝m时，y＝am2+bm+c＝m（am+b）+c≤a+b+c，
即a+b≥m（am+b）．
故③正确；
④由二次函数图象的对称性可知，图象上的点C（t，n）关于对称轴x＝1对称的点的坐标为（2﹣t，n），且点（2﹣t，n）在二次函数图象上，
∴x＝2﹣t是方程ax2+bx+c＝n的一个根．
故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，要熟练掌握二次函数与一元二次方程及不等式的关系．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．一元二次方程3x2+x+5＝0的常数项是 5 ．
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．据此作答．
解：关于x的一元二次方程3x2+x+5＝0的常数项是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
12．若函数y＝xm﹣1+x﹣3是关于x的二次函数，则m＝ 3 ．
【分析】根据二次函数的定义可得m﹣1＝2，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：
m﹣1＝2，
∴m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
13．某楼盘2018年初房价为每平方米20000元，经过两年连续降价后，2020年初房价为16200元．设该楼盘这两年房价年平均降低的百分率为x，根据题意可列方程为 20000（1﹣x）2＝16200 ．
【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程，本题得以解决．
解：由题意可得，
20000（1﹣x）2＝16200，
故答案为：20000（1﹣x）2＝16200．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
14．若a是方程3x2+2x﹣1＝0的解，则代数式3a2+2a﹣2019的值为 ﹣2018 ．
【分析】利用a是方程3x2+2x﹣1＝0的解得到3a2+2a＝1，然后利用整体代入的方法计算3a2+2a﹣2019的值．
解：∵a是方程3x2+2x﹣1＝0的解，
∴3a2+2a﹣1＝0，
∴3a2+2a＝1，
∴3a2+2a﹣2019＝1﹣2019＝﹣2018．
故答案为﹣2018．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有225人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 14 个人．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，根据一人患病经过两轮传染后共有225个人患了“新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，
依题意得：1+x+x（1+x）＝225，
解得：x1＝14，x2＝﹣16（不合题意，舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染了14人，
故答案为：14．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 10 s后，P，Q两点之间相距25cm．
【分析】设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
解：设x秒后P、Q两点相距25cm，
则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm，
由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252，
解得，x1＝10，x2＝0（舍去），
则10秒后P、Q两点相距25cm．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
三、解答题（共86分）
17．解一元二次方程：x2﹣6x+2＝0．
【分析】把常数项移到右边，然后在方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方进行计算即可．
解：x2﹣6x+2＝0，
x2﹣6x+9＝﹣2+9，
（x﹣3）2＝7，
x﹣3＝±，
∴x1＝3+，x2＝3﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，解决本题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤．
18．已知抛物线y＝ax2﹣bx+3经过点A（1，2），B（2，3）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）判断点C（﹣1，5）是否在此抛物线上．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可解决问题；
（2）求出x＝﹣1时的函数值即可判断．
解：（1）将点A（1，2），B（2，3）代入y＝ax2﹣bx+3，
得，
解得，
∴抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x+3，
（2）当x＝﹣1时，y＝1+2+3＝6≠5，
∴点C（﹣1，5）不在此抛物线上．
【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．已知二次函数y＝﹣x﹣3．
（1）用配方法求函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向；
（2）在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象．
【分析】（1）根据配方法可以解答本题；
（2）根据题目中的函数解析式可以求得与x轴的交点和（1）中的顶点坐标，从而可以画出相应的函数解析式．
解：（1）∵y＝﹣x﹣3＝，
∴该函数图象的顶点坐标为（2，﹣4），对称轴是直线x＝2，图象的开口向上；
（2）y＝﹣x﹣3＝（x2﹣4x﹣12）＝，
∴当x＝6时，y＝0，当x＝﹣2时，y＝0，
∴该函数过点（﹣2，0），（6，0），（2，﹣4），
函数图象如图所示．
【点评】本题考查二次函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+（m﹣2）＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有实数根；
（2）已知方程有一根大于6，求m的取值范围．
【分析】（1）先计算判别式的值，再配方得到Δ＝（m﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先利用求根公式得到x1＝1，x2＝m﹣2，则m﹣2＞6，然后解不等式即可．
【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×（m﹣2）
＝m2﹣2m+1﹣4m+8
＝m2﹣6m+9
＝（m﹣3）2≥0，
∴无论m取何值，方程总有实数根；
（2）由求根公式得x＝＝，
∴x1＝1，x2＝m﹣2，
∵方程有一根大于6，
∴m﹣2＞6，解得m＞8．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
21．求关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+1在﹣1≤x≤1上的最大值（t为常数）．
【分析】求出二次函数的对称轴，然后根据t的取值情况讨论最大值的情况．
解：二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝t，
由题意可得，抛物线开口向上，
①t＜﹣1时，当x＝1时，y有最大值为﹣2t+2，
②﹣1≤t＜0时，当x＝1时，y有最大值为﹣2t+2，
③t＝0时，当x＝1或﹣1时，y有最大值为2，
④0＜t≤1时，当x＝﹣1时，y有最大值为2t+2，
⑤t＞1时，当x＝﹣1时，y有最大值为2t+2．
【点评】本题考查了二次函数的最值，难点在于根据对称轴的情况讨论．
22．汽车刹车后行驶的距离S（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是S＝at2+bt．当时，S＝6；当t＝1时，S＝9．
（1）求该函数的解析式；
（2）请结合平面直角坐标系中给出的点，画出符合题意的函数图象，并写出汽车刹车后到停下来前进了多远？
【分析】（1）用待定系数法即可得函数的解析式；
（2）把（1）中解析式化为顶点式即可得汽车刹车后到停下来前进了米，描点连线即可画出函数图象．
解：（1）∵当t＝时，S＝6；当t＝1时，S＝9，
∴，解得，
∴该函数的解析式为S＝﹣6t2+15t；
（2）∵S＝﹣6t2+15t＝﹣6（t﹣）2+，
∴t＝时，S最大为，即汽车刹车后到停下来前进了米，
在S＝﹣6t2+15t中，当t＝0时S＝0，当t＝时S＝，当t＝时，S＝，
描点画出符合题意的函数图象如下：
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数的性质及应用．
23．已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）根据根与系数的关系即可求出答案．
解：（1）Δ＝16﹣4（k+1）＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，
∴k≤3．
（2）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k+1，
∵＝x1x2﹣4，
∴＝x1x2﹣4，
∴，
∴k＝5或k＝﹣3，
由（1）可知：k＝5舍去，
∴k＝﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及根的判别式，本题属于基础题型．
24．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系y＝﹣20x+2600．
（1）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（2）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（2）根据题意列函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，
解得，x1＝70，x2＝110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
（2）由题意可得，w＝（x﹣50）（﹣20x+2600）＝﹣20（x﹣90）2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，
∴50≤x，（x﹣50）÷50≤30%，
解得，50≤x≤65，
∴当x＝65时，w取得最大值，此时w＝19500，
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值．若没有，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A关于对称轴的对称点B，利用待定系数法求出直线BC的解析式，直线BC与对称轴的交点即是所求的点Q；
（3）首先求得BC的坐标，然后设P的横坐标是x，利用x表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质求解．
解：（1）根据题意得：，
解得，
则抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，
∴直线BC与x＝﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，
对于y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，则y＝3，故点C（0，3），
设BC的解析式是y＝mx+n，
则，解得，
则BC的解析式是y＝x+3．
x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2，
∴点Q的坐标是Q（﹣1，2）；
（3）过点P作y轴的平行线交BC于点D，
设P的横坐标是x，则P的坐标是（x，﹣x2﹣2x+3），对称轴与BC的交点D是（x，x+3）．
则PD＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．
则S△PBC＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣x2﹣x＝＝﹣（x+）2+，
∵﹣＜0，故△PBC的面积有最大值是．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，求最值问题一般是转化为函数最值问题求解．
