2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点中学高三（上）第二次验收数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知的终边上有一点，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知命题：，命题：，，若命题，都是真命题，实数的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D.
5.已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别，，则( )
A. B. C. D.
6.小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据：
月份
元
请从模型，模型中选择一个合适的函数模型，并预测小学生零花钱首次超过元的月份为参考数据：，( )
A. B. C. D.
7.函数的部分图像大致为( )
A. B.
C. D.
8.角的度量除了我们学过的角度制，弧度制，还有密位制和新度制等度量方法密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为份，每一份叫做密位的角在角的密位制中单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如密位写成“”；新度制亦称百分制，它是以直角的作为角的度量单位的量角制在新度制中，角的度量单位称为百分度，百分度记为在下列各角中正弦值最大的是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的定义域为 B. 为奇函数
C. 在定义域上是增函数 D. 的值域为
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 若，则是增函数
B. 若，则函数有两个零点
C. 若，则的值域为
D. 若有最大值，则实数的取值范围是
11.已知函数为偶函数，在时，单调递减，且若，，，则下列正确的有( )
A. B. C. D.
12.函数的定义域为，，且为奇函数，当时，，则下列说法正确的是( )
A. 在上单调递增
B.
C. 若关于的方程在区间上的所有实数根之和为，则
D. 函数有个零点
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知幂函数在上单调递增，则 ______ ．
14.函数与的图象交点为若，，则 ______ ．
15.明清时期，浙江、苏州、四川等地盛产折扇，题字作画亦兴于此这一精湛的技艺从明代开始传入欧洲，风行世界如图是折扇的示意图，其中，为的中点，则扇面图中扇环部分的面积是______ ．
16.若存在常数，使得对函数的定义域内的任意，，都有成立，则称函数是在其定义域上是“利普希兹函数”若函数是“利普希兹函数”，则的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知，是关于的一元二次方程的两根．
求的值；
若，求的值．
18.本小题分
已知，．
当，时，求函数的值域；
若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知，，其中，．
求的值；
求的值．
20.本小题分
苍苍黑土，漭漭龙江北国骊珠，普育名庠年月日，哈三中将迎来建校百年庆典某公司为哈三中百年校庆设计了文创产品，并批量生产进行售卖经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，产品销售周可增加千个，其中，每千个的销售价格为万元，另外每生产千个吉祥物还需要投入其他成本万元．
写出该公司本季度增加的利润与单位：万元之间的函数关系；
当为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？
21.本小题分
已知函数为偶函数．
求实数的值；
判断的单调性，并解不等式；
设，若方程有解，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数，，．
当时，求函数在点处的切线方程；
若函数有两个零点，，求实数的取值范围；
在的条件下，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，集合，
所以．
故选：．
化简集合、，根据集合间的关系判断即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为的终边上有一点，
所以，
可得．
故选：．
根据三角函数的定义及诱导公式计算．
本题考查了任意角的三角函数的定义及诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
所以，
所以．
故选：．
先由对数公式把，化简，然后代入即可求解．
本题考查对数的换底公式和运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：命题：，为真命题，
，
又，，当且仅当，即时，等号成立，
，
命题：，为真命题，
，
或，
命题，都是真命题，
或，
故选：．
若命题为真命题，利用基本不等式求出的最小值即可得到的取值范围，若命题为真命题，则由即可求出的取值范围，再取两者的交集即可．
本题主要考查了基本不等式的应用，考查了一元二次方程根的个数的判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：作出函数和的图象以及直线的图象，如图，
由函数和的图象与直线交点，的横坐标分别为，，
由题意知，，也即，，
由于函数和互为反函数，
二者图像关于直线对称，
而，为和的图象与直线的交点，
故A，关于对称，
故，
．
故选：．
作出函数和的图象以及直线的图象，利用反函数的性质即可判断．
本题主要考查对数函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：根据表格提供的数据，画出散点图，并画出函数及的图象，如图：
观察发现，这些点基本上是落在函数图象上或附近，因此用这一函数模型，
当时，有，即，
由且，可得的最小值为．
故选：．
利用给出函数的表格法确定自变量与函数值之间的关系，选择出合适的模型之后利用解不等式求出自变量的范围．
本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数运算，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
且，
则函数为奇函数，
故其图像关于原点对称，排除选项A、；
又，
则排除选项D．
故选：．
根据函数奇偶性排除选项AC，根据，排除选项D，由此可得答案．
本题考查函数图像，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
，
由密位制的概念可知转化弧度制为，，
由新度制的概念知转化为弧度制为，，
因．
故选：．
选项直接求角的正弦值，选项利用诱导公式求角的正弦值，选项先根据密位制和新度制的概念，将转化为弧度制，再求正弦，进而可得．
本题主要考查弧度制，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，由，解得，
即的定义域为，所以A正确；
对于，，即为奇函数，所以B正确；
对于，，
在上为单调递减，根据复合函数的单调性可知在定义域上是减函数，所以不正确；
对于，因为的定义域为，所以，即，所以不正确．
故选：．
根据对数函数的定义域，奇函数的定义，复合函数的单调性，利用函数的单调性求值域依次判断即可．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，函数定义域和值域的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由，可得，
单调递增，由复合函数的单调性可知也是单调递增的，
又，所以函数是增函数，故A正确；
对于，时，，由，
则，解得：舍去；
，解得：舍去，故B错误；
对于，时，，
单调递增，即，
由复合函数的单调性可知是单调递减的，所以，
故的值域为，故C正确；
对于，当时，则在上单调递增，在上单调递减，
即有可能存在最大值，
当时，易知，
当时，单调递减，所以，
即有，且，解得，
当时，则在上单调递增，在上单调递增，
此时无最大值，不符合题意，故D正确．
故选：．
根据指数函数与对数函数的单调性，结合分段函数的性质，以及指数与对数运算逐项判断即可．
本题考查分段函数，考查指对数函数的性质，考查函数的单调性及函数与方程的综合问题，属难题．
11.【答案】
【解析】解：首先有，
又注意到函数为偶函数，在时，单调递减，且，
所以函数在时，单调递增，且，
所以；
对于：因为，所以，即，故A符合题意；
对于：因为，所以，故B不符合题意；
对于：因为，所以，所以，故C符合题意；
对于：因为，所以，故D符合题意．
故选：．
首先有，再结合已知条件可知，最终注意判断每一选项即可．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，函数值大小的比较，考查逻辑推理能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由为奇函数，所以，
又，所以，
所以，
由可知函数关于轴对称，
因为时，单调递增，所以，单调递减，
由周期可知，在上单调递减，故A错误；
因为，，
，
由为奇函数知，，所以，故B正确；
由可得，又，
所以，即为奇函数，设，则，
所以，即，根据函数的周期性及对称性，作函数图象，如图，
当时，实根之和为交点横坐标之和为，不符合题意，
当时，设最右边交点横坐标为，则实根之和为交点横坐标之和为，则，不符合题意，
当时，实根之和为交点横坐标之和为，不符合题意，
当时，实根之和为交点横坐标之和为，不符合题意，
当时，实根之和为交点横坐标之和为，不符合题意，综上C错误；
作函数与的图象，如图，
由图象可知，两个函数有个交点，所以函数有个零点，故D正确．
故选：．
根据函数为奇函数，推理可得出函数周期对称轴，据此结合判断，根据周期及性质判断，利用图象判断．
本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为为幂函数，所以，解得或．
当时，，在上单调递增，满足题意．
当时，，在上单调递减，不合要求，舍去．
故答案为：．
由题意，根据函数为幂函数，得到方程，求出或，再根据函数单调性去掉不合要求的根，得到答案．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：令函数，显然函数在上单调递增，
由函数与的图象交点为，得函数的零点为，
而，，由零点存在定理可知，
存在唯一，使得，
所以．
故答案为：．
根据给定条件，构造函数并判断单调性，再利用零点存在性定理求解作答．
本题考查函数图象的交点与函数零点的综合应用，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：由题意可得，
根据扇形面积公式可得，
故．
故答案为：．
根据扇形的面积公式计算即可．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，显然在上单调递增，
依题意，，，，不妨令，
有，
令，，则有，，，，
于是函数在上递减，求导得，
则当时，恒有，即成立，
当时，，
当时，函数在上单调递增，当时，，则，
所以的最小值为．
故答案为：．
根据给定的函数及利普希兹函数的定义，构造函数，利用导数结合单调性求解作答．
本题考查不等式恒成立问题，注意将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性，属于中档题．
17.【答案】解：由已知得，，
将两边同时平方得，
则，所以；
，，，
，，，
．
【解析】利用韦达定理以及同角三角函数的平方关系求解即可；
根据已知条件判断出，所以利用即可求解．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：当时，，
令，则，
因为，所以，
所以，即，
所以函数的值域为；
由，得，
所以，
由，得，
所以，
令，则在上恒成立，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，
即实数的取值范围为．
【解析】，则，然后根据二次函数的性质可求出函数的值域，
将问题转化为，令，则再次转化为在上恒成立，然后利用基本不等式可求得结果．
本题考查了指数函数的性质、二次函数的性质及利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．
19.【答案】解：因为，可得，
又因为，则，，可得，
所以．
因为，则，且，可得，
所以，
可得，
又因为，可得，所以．
【解析】根据题意利用倍角公式可得，，再结合两角和差公式运算求解；
根据同角三角关系可得，利用两角和差公式求，并结合角的范围分析求解．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：本季度增加的利润，
当时，，
当时，，
所以该公司本季度增加的利润与单位：万元之间的函数关系为：；
当时，，
，
当且仅当，即时等号成立，此时有最大值；
当时，单调递减，在时，有最大值，
综上可知，为万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为万元．
【解析】由利润的计算公式，结合与的函数关系，分段写出增加的利润与单位：万元之间的函数关系；
利用基本不等式和函数的单调性，求利润最大值．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
21.【答案】解：函数的定义域为，
，
，
因为函数为偶函数，所以，即，
得；
由知，，
设，
，
因为，，，
所以，，
则，且函数是单调递增函数，
所以，
所以函数在上单调递增，再根据函数是偶函数，在区间上单调递减；
不等式，等价于，
解得：或，
不等式的解集为；
，
则方程，等价于，
设，当且仅当，即时，等号成立，
而，
即，整理为，在上有解，
即，在上单调递增，所以，
所以，所以实数的取值范围是．
【解析】根据偶函数的定义，即可求实数的值；
首先判断时函数的单调性，再根据函数是偶函数，判断的单调性，结合函数的性质，即可求解不等式；
由函数化简以及对数方程可得，再根据换元法，以及参变分离可得的取值范围．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：当时，，
可得，
此时，
又，
所以函数在点处的切线方程为，
即；
易知函数的定义域为，
可得，
当时，恒成立，单调递增，
所以函数不可能有个零点；
当时，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，；当时，，
要使函数有个零点，
此时，
即，
整理得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数在定义域上单调递增，
又，
则不等式的解集为，
故实数的取值范围为；
证明：由知，
此时，
要证，
即证，
不妨设，
因为，
所以，
又，且函数在上单调递增，
此时需证，
当，时，
可得，
因为，
极值，
不妨设，函数定义域为，
可得
，
所以函数在单调递增，
此时，
即，
所以，
又函数在上单调递增，
所以，
故．
【解析】由题意，对函数进行求导，根据导数的几何意义进行求解即可；
首先判断函数的单调性以及极值，根据函数的零点个数判断，再通过构造函数，根据函数的单调性以及零点，求解不等式的解集；根据函数的单调性，将问题转化为证明，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可证明．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、分类讨论、转化思想和运算能力．
第1页，共1页
