7．如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探
九年级数学试卷 究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到
如下数据：
（本试卷共 23小题 满分 120分 考试时长 120分钟）
试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 996 1503
第一部分 选择题（共30分）
落在“心形线”内部的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（ ）
1．如图所示几何体的俯视图是（ ）
A．0.47
B．0.50
A． B． C． D．
C．0.55
（第1题图）
2．用配方法解一元二次方程x2-6x＝1，配方后所得的方程是（ ） D．0.61 （第7题图）
A．（x-3）2＝10 B．（x+3）2＝10 C．（x-3）2＝8 D．（x+3）2＝8
8．如图，在平面直角坐标系中，吟ABC与吟A 忆B忆C忆是位似图形，位似中心为点O．若点
3．反比例函数y= kx 的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（ ） A （-3，1）的对应点为A 忆（-6，2），则点B（-2，4）的对应点B忆的坐标为（ ）
A．k＞0 B．k＜0 C．k≥0 D．k≤0 A．（-4，8） B．（8，-4） C．（-8，4） D．（4，-8）
4．如图，四边形ABCD易四边形A 忆B忆C忆D忆，∠A＝80°，∠B＝70°，∠C忆＝90°，则
∠D的度数为（ ）
A．70° B．80° C．110° D．120°
（第8题图） （第9题图） （第10题图）
9．如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，
剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2．设道路的宽为x m，则下面所列方
（第4题图） （第5题图） 程正确的是（ ）
5．如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长
A．（32-x）（20-x）＝32×20-570 B．32x+2×20x＝32×20-570
为（ ）
C．（32-2x）（20-x）＝570 D．32x+2×20x-2x2＝570
A．2 B．3.5 C．7 D．14
10．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD的中
6．若点A （-1，y1），B（1，y）2 ，C（5，y）3 都在反比例函数y= 5x 的图象上，则y1，y2， 点，连接EF，则 S吟OEFS 的值为（ ）
y 吟OBC3的大小关系是（ ）
y y y y y y y y y y y y A． 1 1 2 1A． 1＜ 2＜ 3 B． 3＜ 2＜ 1 C． 2＜ 3＜ 1 D． 1＜ 3＜ 2 2 B． 3 C． 3 D． 4
九年级数学试卷第 1页（共 8页） 九年级数学试卷第 2页（共 8页）
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第二部分 非选择题（共90分） 17．（8分）
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a-1＝0．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
（1）求证：该方程总有两个实数根；
11．若 y = 2 ，则 x-yx 3 x = . （2）若此方程有一个根为2，求a的值．
12．某蓄电池的电压为48 V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R （单位：Ω）
的函数表达式为I= 48R ．当R＝12Ω时，I的值为 A．
13．如图，已知直线a椅b椅c，分别交直线m，n于点A，B，C和D，E F AB 18．（9分）， ， ＝4，
某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进
BC＝6，DE＝3，那么DF的长为 .
行测试，并将20名学生分成甲、乙两组，每组各10人. 对测试成绩进行收集、整理、
描述和分析（测试满分为10分），收集整理的数据制成了如下统计图表：
甲组学生竞赛成绩统计图 乙组学生竞赛成绩统计图
（第13题图） （第14题图）
14．如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线交反比例函数y= kx 图象于A，B两点， 图1 图2
（第18题图）
BC彝y轴于点C，吟ABC的面积为6，则k的值为 ．
平均数 中位数 众数
15．在荀ABCD中，AB=3，BC=6，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折，对应点分别为C忆，
甲组 a 8 8
D忆，若C忆D忆落在直线AB上，且点C忆落在线段AB的三等分点处，则荀ABCD的面积为
乙组 8.3 b c
．
根据以上信息，回答下列问题．
三、解答题（本题共8小题，共75分. 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
（1）填空：a越 ，b越 ，c＝ ；
16．（10分）解下列方程： （2）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计竞赛成绩达到
（1） 2（x+3）2=x（x+3）； （2） 2x2-3x-1=0. 9分及以上的人数；
（3）现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请
用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组
的概率．
九年级数学试卷第 3页（共 8页） 九年级数学试卷第 4页（共 8页）
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19．（8分） 20．（8分）
某校学生开展综合实践活动，测量操场上旗杆的高度，同学们设计了如下两个测量方 为鼓励和推广全民阅读，某品牌图书开展了促销活动．八月份售出图书3000本，十月份
案： 售出图书4320本．
（1）求该品牌图书销量的月平均增长率；
活动目的 测量操场上旗杆的高度
（2）该品牌图书每本成本为20元，当售价为40元/本时，平均每天的销售量为100本．经
活动方案 方案一：利用阳光下的影子 方案二：利用镜子的反射 试销统计发现，如果该品牌图书的售价每降价1元，那么平均每天可多售出10本．
若要使平均每天的利润保持不变，并且让消费者尽可能获得实惠，那么该品牌图书
每本的售价应为多少元？
示意图
①同学站在操场上E点处，测量同 ①在与旗杆底部位于同一水平面的
学的身高DE； C点处，放置一面镜子；
②测量同学在操场上的影长EF； ②测量镜子到旗杆的距离CB； 21．（8分）
③在同一时刻，测量旗杆AB的影 ③观测者调整位置，直至通过镜子 如图1，在Rt吟ABC中，蚁ACB＝90°，点P为AB边上任意一点（不与点A，B重合），过
实施过程 长BC. 刚好看到旗杆顶部A； P分别作PE彝BC于点E，PF彝AC于点F.
④测量观测者到镜子的距离EC；
（1）求证：四边形CEPF是矩形；
⑤测量观测者眼睛距离地面的高度
DE （2）如图2，连接CP，若CP是吟ABC的角平分线，且AC=4，BC=3，求四边形CEPF的面.
积.
测量数据 DE=1.8 m，EF=1.5 m，BC=10 m DE=1.5 m，EC=2 m，CB=16 m
请你从以上两种方案中任选一种，计算操场上旗杆AB的高度．
图1 图2
（第21题图）
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22．（12分） 23．（12分）
【问题探究】 在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端点，则定义该函
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC和CD上的点，连接AE，BF交于点O， 数为矩形ABCD的“友好函数”．例如：如图1，矩形ABCD，经过点A （-1，1） 和点
若AE彝BF．求证：AE越BF； C（3，3）的一次函数y= 12 x+ 32 是矩形ABCD的“友好函数”.
【类比迁移】
（1）如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A （2，1），B（6，1），C（6，3），D（2，3），
（2）如图2，在矩形ABCD中，2AD＝3AB，点E为BC边上一点，点F为对角线AC上一点，
反比例函数y= k （x＞0）经过点B，求反比例函数y= k （x＞0）的函数表达式，并
连接AE，BF交于点O，若AE彝BF，AF=2CF，求 CEBE的值； x x
判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”；
【拓展应用】
（2）矩形ABCD在第一象限，AB椅x轴，AD椅y轴，且点A的坐标为（1，2），正比例函
（3）如图3，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点E为BC边上一点，点F为CD边上一点，若AE
平分蚁 kBAF，且BE越DF＝2，求CF的长． 数y1=ax经过点A，且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数y2= x （x＞0）经过
点B，且是矩形ABCD的“友好函数”.
①如图3，当OC跃OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴
上，求k的值；
②设矩形ABCD的周长为y，求y关于k的函数表达式；
③在②的条件下，当矩形ABCD的周长y=4时，设矩形ABCD的面积为S1；当矩形
图1 图2 图3
ABCD的周长y=8时，设矩形ABCD的面积为S2，请直接写出S2-S1的值.
··
（第22题图）
图1 图2 图3
（第23题图）
九年级数学试卷第 7页（共 8页） 九年级数学试卷第 8页（共 8页）
{#{QQABAYIAoggIAAAAAQgCUQXwCAKQkgGCAQgOBBAAoAAASBNABCA=}#}2024-2025 学年度上学期期中学业水平测试参考答案及评分标准
九年级数学试卷
一、选择题（本题共 10小题，每小题 3 分，共 30 分）
1.C 2.A 3.B 4.D 5.B 6.D 7.B 8.A 9. C 10.D
二、填空题（本题共 5小题，每小题 3分，共 15分）
1 15
11. 12. 4 13. 14.-6 15.12 2或3 35
3 2
三、解答题(本题共 8小题，共 75 分)
16.（1） x1 3，x
3 17 3 17
2 6 （2） x1 ，x4 2
4
17. （1）略 （2）a=-1
18. （1）8.3， 8.5, 7
（2）估计竞赛成绩达到 9分及以上的人数约为 144人
2
（3） 3
19. 操场上旗杆 AB 的高度约为 12 m.
20. （1）该品牌图书销量的月平均增长率为 20%；
（2）该品牌图书每本的定价应为 30元.
21.（1）略 （2 144）
49
7
22.（1）略 （2） （3） 2 2 2
2
23.（1）是矩形 ABCD 的“友好函数”
16 6 3k (0＜k＜2)y 8（2）① ② ③
3 3k 6 (k＞2) 3
以上答案仅供参考，如有其它解法可参照给分
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