专项复习提升（二） 全等三角形
考点一 全等三角形的判定与性质
1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，，过点作，垂足为，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．在的长方形网格中，图中的为格点三角形．在所给的网格图中，画以点P为顶点，且与全等的格点三角形，最多能画出的个数（不含）是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，小亮要测量池塘，两端的距离，他设计了一个测量方案． 先在平地上取可以直接到达点和点的，两点，与相交于点，且，，又测得的周长为，则A，B两端的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，，是四边形的对角线，，，点E在上，连接，若与全等，下列线段长度等于的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，，，，．若点E，B到直线的距离分别为6和3，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．50 B．44 C．38 D．32
7．（23-24七年级下·福建福州·期末）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，C分别是点 A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
轮次 行动者 添加条件
1 甲
2 乙
3 甲
表格记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（ ）
①若第3轮甲添加，则甲必胜；
②若第3轮甲添加， 则甲获胜；
③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜；
④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多四轮必分胜负．
A．①③ B．②④ C．①④ D．③④
8．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，已知，若，，则的度数为 ．
9．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，点E、F在上，，，相交于点G，请添加一个条件 使得．
10．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知 ，若的周长为，则 ．
11．（23-24八年级上·福建厦门·期末）几何学起源于土地测量，据史料记载，古希腊数学家泰勒斯发明了一种用帽子测量河流宽度的方法，具体操作步骤如下：
①如图，人垂直站立在河岸边上，视线与河岸边保持垂直；
②调整帽子，使视线通过帽檐正好落在对面的河岸边上；
③人保持姿势，转过一个角度，这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上；
④测量该点与人站立位置的距离就是河流的宽度．
请用你学过的一个数学定理解释通过以上步骤能测得河流宽度的道理： ．
12．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，四边形中，、、、．若四边形四边形，则 ．
13．（23-24七年级下·福建宁德·期末）如图，，则的度数是 ．
14．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，，，垂足分别为点、． 若，，，则 ．
15．（23-24八年级上·福建泉州·期末）在和中，，，，若，则 （用含的代数式表示）．
16．（23-24八年级上·福建福州·期末）求证：全等三角形对应角的角平分线相等．（要求在给出的两个全等三角形中画出一组对应角的角平分线，并写出已知、求证和证明过程）
17．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，点在一条直线上，为中点，，．求证：．
18．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图，李红同学站在江边的B处，在江的对面（李红的正北方向）的A处有一电线杆，她想知道电线杆离她有多远，于是她向正东方向走了10米到达小树C处，接着再向前走了10米到达D处，然后她右转90°直行，当李红看到电线杆、树与自己现处的位置E在一条直线时，她总共走了50米．
(1)根据题意，画出示意图；
(2)根据你所画的示意图，求点A到点B的距离．
19．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，在四边形中，，若，求的面积．
20．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，，其中点A、E、B、D在一条直线上．
(1)若，求的大小；
(2)若，求的长．
21．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在和中，，，，求证：．
22．（23-24七年级下·福建福州·期末）已知和位置如图所示，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
23．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，阅读下列材料，回答问题．
【任务】如图1，测量车祸现场A、B两点之间的距离．车祸现场因保护需要，测量不能进入场内．
【工具】如图2，一把皮尺（测量长度略小于的两倍）和一个量角器，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；量角器的功能是测量以内的角．除笔纸和上述工具外，再无任何工具可借用．
小明利用皮尺测量，求出了车祸现场A、B两点之间的距离，测量及求解过程如下：
①【测量过程】如图3，在车祸场地外选点C，测量米，取中点O，测量米，并将皮尺延长至D，使米，测量米．
②【求解过程】由测量知，，，
，，（米）．
答：A、B两点之间的距离为c米．
(1)小明求得，用到的几何知识是____________________；
(2)小明仅利用皮尺，通过4次测量，求得．请你同时利用皮尺和量角器，通过测量长度（用字母a、b、c…表示）和角度（用字母、表示），并利用初二年上学期所学知识，求出车祸现场A、B两点之间的距离，并写出你的测量及求解过程．
考点二 角平分线的性质
24．（23-24八年级下·福建宁德·期末）如图，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点．若，则线段的长不可能是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
25．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，平分，于点，是线段的中点，若，，，则的长是（ ）
A． B．4 C． D．5
26．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，于点，为边上中线，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为（ ）
A．30 B．15 C． D．
27．（23-24八年级下·福建三明·期末）如图，在中，，平分，，则点D到边的距离是 ．
28．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，是的角平分线，如果的面积是15，则的长为 ．
29．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，中，是的角平分线，是的中线，若的面积是28，，，则的面积是 ．
30．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，在上取一点，使得．若和的面积分别为24和14，则的面积为 ．
31．（23-24八年级上·福建泉州·期末）阅读作图过程，并解答问题：
①在，上分别截取，，使；
②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，如图所示．
已知点为射线上一点，于点，点在边上，连接． 若，则的最小值为 ．
32．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，中，，平分，交于点D，为边上的点，，垂足为，且．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积；
(3)求证：．
33．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，平分，，垂足为．
(1)若的面积为，，求点到的距离；
(2)点在线段上，，求证：．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查全等三角形的性质．由全等三角形的性质得到，因此，由垂直的定义得到，求出即可得到．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了全等三角形判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定，准确画出图形．根据网格结构分别作出与全等的格点三角形即可得解．
【详解】解：如下图：画以点P为顶点，且与全等的格点三角形，
最多能画出的个数（不含）是6个，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据证明，则，由的周长为，可得，即，求出的长，进而可得结果．
【详解】解：∵
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，即，
∵
∴，
∴，
故选：C．
4．A
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目给的条件求出是解题的关键．
根据题目给的条件推出，再根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【详解】解：∵与全等，，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
5．A
【分析】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，根据三角形的内角和求出相应各个角的度数是解决问题的关键.
根据三角形的内角和求出利用三角形全等求出，再利用外角求出答案.
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选： A.
6．D
【分析】本题主要考查三角形全等的性质与判定，分别过点B、D、E作直线的垂线，垂足分别为F、G、H，证明，求出长，再结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案．
【详解】解：如图所示，分别过点B、D、E作直线的垂线，垂足分别为F、G、H
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
在与，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴
同理可得：，
∴，，
∴，
∴
，
故选：D．
7．D
【分析】本题考查全等三角形的判定、熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．根据全等三角形的判定方法逐个判断即可求解．
【详解】解：①若第3轮甲添加，满足边边角关系，不能判定与全等，则不分胜负，需进行下一轮添加，故①说法错误，不符合题意；
②若第3轮甲添加， 满足角角边关系，能判定与全等，则乙获胜，故②说法错误，不符合题意；
③若第2轮乙添加条件修改为，
若第3轮甲添加一对角相等，满足角角边或角边角关系，能判定与全等，则乙获胜；
若第3轮甲添加一对边相等，满足边角边或斜边直角边关系，能判定与全等，则乙获胜，
故乙必胜，此③说法正确，符合题意；
④若第2轮乙添加条件修改为，第3轮甲只能添加或，满足边边角，不能判定与全等，不分胜负，可进行第4轮；第4轮无论乙添加什么条件，满足边边边或角角边或角边角或边角边，都能判定与全等，则乙必输，此游戏最多四轮必分胜负，故④说法正确，符合题意，
综上，说法正确的是③④，
故选：D．
8．/100度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据“全等三角形对应角相等”可得的度数，然后利用三角形的内角和解题即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用即可求解，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：在和中，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
10．11
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的周长的定义，先根据三角形的周长的定义求出，再根据全等三角形对应边相等可得．准确确定出对应边是解题的关键．
【详解】解：的周长为32，，，
，
，
．
故答案为：11．
11．全等三角形的对应边相等．
【分析】本题考查了全等三角形的应用：构建全等三角形是解决问题的关键；
根据“”可判断人看对面的河岸边上一点所构成的直角三角形与人看自己所在岸的某一点上所构成的直角三角形全等，所以人看自己所在岸的某一点上的距离等于河流的宽度；
【详解】解：人保持姿势，转过一个角度说明看观察点的视线与人的夹角不变，而人的眼睛到地面的距离不变，
人看对面的河岸边上一点所构成的直角三角形与人看自己所在岸的某一点上所构成的直角三角形全等，
人看自己所在岸的某一点上的距离等于河流的宽度；
故答案为：全等三角形对应边相等
12．4
【分析】本题考查全等形的性质，掌握全等形的对应边相等是解题的关键．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
13．70
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握这性质是关键．根据三角形全等的性质，得出，然后求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14．3
【分析】本题考查全等三角性的性质，属于基础题型，根据全等三角形的性质，得到，再根据线段的和差关系，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：3．
15．或
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作于点D，过作于点，
∵，
∴，
当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，
∵，，
∴，
∴；
当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，
∵，，
∴，
∴，即；
综上，的值为或．
故答案为：或．
16．见解析
【分析】本题主要考查了学生对全等三角形的性质及判定的理解及运用能力，注意命题的证明的格式和步骤是正确解题的前提．
作出图形，结合图形写出已知、求证，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，得， ，，由、分别是和的平分线，可得，根据角边角可以判定，即可得出结论．
【详解】已知：如图所示，，、分别是和的平分线．
求证：
证明：∵，
∴， ，，
∵、分别是和的平分线．，
∴，
在和中，
∴()，
∴．
17．证明见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据平行线的性质得出，然后利用证明，最后根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵B为中点，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
18．(1)图见解析；
(2)30米
【分析】本题考查了三角形全等的实际应用问题，根据题意画出示意图，证明三角形全等是解题的关键．
（1）根据题意描述，画出示意图即可；
（2）根据题意画出示意图，可得，，，证明，即可得到．
【详解】（1）解：根据题意，画出示意图如图所示，
（2）解：根据题意可知，，，，
在的正北方向，李红向正东方向行走，以及在右转直行到，
，
又点在同一直线上，
，又，
，
．
答：点A到点B的距离是30米．
19．
【分析】过点作，垂足为， 先证明，进而证明，得出 ，然后根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：过点作，垂足为，
，
， ，
，
即，
在和中，
，
．
20．(1)
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）先根据垂直以及直角三角形两锐角互余求出，再利用全等三角形对应角相等即可得到的大小；
（2）利用全等三角形的性质得到，则，即可得到．
【详解】（1）解：∵
∴，
∵，
∴，
∵
∴
（2）∵，
∴
∴，
∴
21．证明见解析．
【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，先通过得出，从而证明，得到，熟练掌握三角形全等的判定方法和全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，能够正确证明三角形全等是解题的关键．
（1）证明，得出对应边相等即可；
（2）证出，然后证明，得出对应角相等即可．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
．
23．(1)全等三角形判定与性质
(2)米是的距离，过程见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、全等三角形的应用等知识点，理解题意、掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据题意即可得到答案；
（2）通过作图构造全等三角形，将难以测量的转化为易测量的，再运用全等三角形的判定与性质进行推理即可解答．
【详解】（1）解：根据题意可知：小明求得，用到的几何知识是全等三角形判定与性质．
故答案为：全等三角形判定与性质．
（2）解：如图：测量过程：在场外选择点C，用皮尺从点A起到C再到B拉直摆放．
①测量米，
②测量，
然后将量角器沿翻折，将皮尺绕点C旋转至D，
③使（需要测量，由旋转所得，不需要测量）
④最后测量米就是的距离．
求解过程：
在与中，
，
∴中，
米．
24．D
【详解】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，垂线段最短是解题的关键．
如图，作于B，则，由逐一判断，即可．
【解答】解：如图，作于B，
∵平分，，
∴，
∵，
∴线段的长不可能是2，
故选：D．
25．C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理和三角形中线性质，作于，先利用角平分线的性质得到，由三角形中线可知，再根据即可得．
【详解】解：如图，作于，
平分，，
，
是线段的中点，
∴
∴，
∵，
∴
解得，
故选：C．
26．C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理．作于点，根据三角形的角平分线的性质定理求得，利用三角形的面积公式得到，再根据三角形的中线性质即可求解．
【详解】解：作于点，
∵，平分，，
∴，
∵，
∴，
∵为边上中线，
∴，
故选：C．
27．4
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作于点E，根据角平分线的性质定理，即可求解．
【详解】解：过点D作于点E，
∵，平分，，
∴，
即点D到边的距离是4，
故答案为：4．
28．3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积公式等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解题的关键．
如图：过D作，根据角平分线的性质可得，再根据三角形面积公式结合的面积是15求得即可．
【详解】解：如图：过D作，
∵是的角平分线，
∴，
∵的面积是15，，
∴,即，解得：，
∴．
故答案为：．
29．8
【分析】
本题考查了三角形的角平分线、中线，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质和三角形的面积先求出点D到、的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论．
【详解】解：如图过点D作，，垂足分别为、，
∵是角平分线，
∴，
设，
即
∴，
解得，
∴，
∵是中的中线，
∴．
故答案为．
30．5
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判断和性质．过点作交于点，证明，，进而得到，求解即可．解题关键是构造全等三角形．
【详解】解：过点作交于点，
∵是的角平分线，，
∴，，
∵，，
∴，；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：5．
31．
【分析】本题考查了角平分线的性质以及角平分线作图、垂线段最短：根据题意，得是的平分线，再结合角平分线上的点到角的两边距离相等，即可作答．
【详解】解：∵根据题意，得是的平分线，
∴点P到的距离为5，
则的最小值为5，
故答案为：5
32．(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析．
【分析】（）根据角平分线的性质得出，再用证明即可；
（）用证明，则，最后用面积和差即可求解；
（）在上取一点，使得，，再根据性质即可；
此题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质与判定，解题的关键是是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】（1）证明：∵
∴，
∴，
∵平分，， ，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（），
在和中
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
（3）证明：方法：
∵，，
∴，
，
，
，
∵，
∴；
方法：在上取一点，使得，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴．
33．(1)点到的距离为；
(2)证明见解析．
【分析】（）过点作于点，利用角平分线的性质的性质即可求解；
（）证明得到，证明，得到，再根据线段和差及等量代换即可求证；
此题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图，过点作于点，
∵平分，，
∴，
∵的面积为，，
∴，
∴，
∴点到的距离为；
（2）由（）得：，，，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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