九年级数学期末考试试卷
6．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0
一、选择题
③2a+b＝0；④m为任意实数，则 a+b≥am2+bm；⑤（a+c）2＞b2．其中正确结论的个数有
1．在下列式子中，是一元二次方程的是（ B ）
2 2 （ C ）A．x +x B．x ﹣5＝﹣x
C．x2﹣6xy+8＝0 D．
2、下列事件为随机事件的是（ C ）
A.海底捞月 B.刻舟求剑 C.守株待兔 D.水滴石穿
3．如图所示，在 3×3正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任
意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（ C ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
7．从﹣1，1，2，3三个数中任取一个，作为二次函数 y＝ax2+bx+c的 a值，则所得二次函数开
3
口向上的概率是 ．
4．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ D ） 4
8．若一元二次方程 x2﹣4x+1＝0的两根分别为 1， 2，则 1+ 2﹣ 1 2的值为 3 ．
9．已知 A（1，﹣2）、B（m，n）两点，若 A、B两点关于原点对称，则 m-n＝ -3 ．
10．在一个不透明的盒子中装有 6 个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD AC D． 从中随机摸出一个球是白球的概率是 ，则黄球的个数为 3个 ．
4
5.若图中反比例函数的表达式均为 y＝ ，则阴影面积为 2的是（ B ） 11．已知圆锥的母线长 5，侧面展开图形扇形的圆心角是 216°，则这个圆锥的高是 4 ．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点 C逆时针旋转，旋转
角为θ（0°＜θ＜360°），得到△A′B′C．设 AC中点为 E，A′B′中点为 P，AC＝3，连
接 EP，（EP长度为整数)可能是 2,3,4 ．
13．选择合适的方法解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0．
A B C D （2）x2﹣3x＝2x﹣6．
解：（1）∵x2﹣4x﹣1＝0， 15.
∴x2﹣4x＝1，
则 x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝±
则 x1＝2+ ，x2＝2﹣ ；...........................3分
（2）∵x（x﹣3）＝2（x﹣3）
∴x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，
（1）如图所示，CD即为所求 ...........................3分
则（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或 x﹣3＝0
解得 x1＝2，x2＝3．...........................6 （2）如图所示，AD即为所求如图所示 ...........................6分分
14 16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，其顶点称为格点，△ABC和△．“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”，南昌是个好地方．某天甲、乙两人来南昌旅游，两
EFD的顶点都在格点上，则△ABC与△EFD相似吗？请说明理由．
人分别从 A，B，C三个景点中随机选择一个景点游览．
由勾股定理可得：
（1）求甲选择 A景点的概率；
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择 C景点的概率． ，
，
（1）甲选择 A景点的概率为 ；...........................2分
，
（2）根据题意画树状图如下：
，
，
， ...........................3分
...........................5分
∵共有 9种等可能的情况，其中甲、乙两人中至少有一人选择 C景点的情况有 5种，
∴ ， ...........................5分
∴甲、乙两人中至少有一人选择 C景点的概率是 ．...........................6分
∴△ABC∽△EFD．...........................6分
17.解：（1）设每件衬衫降价 x元，商场平均每天盈利 y元，则每件盈利（40﹣x）元，每天
可以售出（20+2x）件，依题意得：
y＝（40﹣x）（20+2x）...........................2分
＝800+80x﹣20x﹣2x2
＝﹣2x2+60x+800，
当 y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x），
解得 x1＝10，x2＝20，...........................3分 （3）连接 AA2，B1B2，C1C2，分别作线段 AA2，B1B2，C1C2的垂直平分线，相交于点 P，
则△A2B2C2可看作是由△AB1C1绕点 P顺时针旋转 90°得来，
∵要尽快减少库存，
由图可知，旋转中心 P的坐标为（0，﹣1）．
∴x＝20，...........................4分
故答案为：（0，﹣1）．...........................8分
答：每件衬衫应降价 20元；
（2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，...........................5 19.（1）抽取的户数为 4÷0.08＝50（户），分
∴a＝50×0.40＝20，b＝9÷50＝0.18．
∴当 x＝15时，y的最大值为 1250，...........................6分
故答案为：20；0.18．...........................2分
答：当每件衬衫降价 15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是 1250元．
18. ...........................3 （2）500×（0.08+0.40）＝240（户）．...........................4分（1）如图，△AB1C1即为所求． 分
∴直属机关 300户家庭中月平均用水量小于 5吨的约有 240户．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．...........................6分
（3）画树状图如下：
...........................7分
∴PD＝ （10﹣2t），...........................6分
共有 12种等可能的结果，其中恰好选到甲、乙两户的结果有：甲乙，乙甲，共 2种， 21
∴ AQ PD＝ ，
5
∴恰好选到甲、乙两户的概率为 ＝ ．...........................8分
21
∴ t （10﹣2t）＝ ，
5
20.：在△ABC中，∠C＝90°，
整理得：t2﹣5t+7＝0，
∵BC＝6cm，AC＝8cm，
∴Δ＝25-28＜0，...........................7分
∴AB＝ ＝10（cm），
∴．不存在 t的值...........................8分
设运动时间为 t秒，则 BP＝2t cm，AP＝AB﹣BP＝（10﹣2t）cm，AQ＝t cm，
21.（1）∵反比例函数 y＝﹣ 的图象经过点 A（﹣1，m），B（n，﹣3），
（1）当△APQ∽△ABC时， ＝ ，
∴﹣1×m＝﹣6，﹣3n＝﹣6，
∴ ＝ ，
解得 m＝6，n＝2，...........................2分
解得：t＝ ；...........................2分
∴A（﹣1，6），B（2，﹣3），
当△AQP∽△ABC时， ＝ ，
把 A、B的坐标代入 y＝kx+b得 ，
∴ ＝ ，
解得 ，
解得：t＝ ．...........................4分
∴一次函数的解析式为 y＝﹣3x+3．...........................3分
答： 秒或 秒后，△PAQ与△ABC相似
（2）观察图象，不等式 kx+b≥﹣ 的解集为：x≤﹣1或 0＜x≤2．.........................6分
故答案为： 或 ； （3）连接 OA，OB，由题意 C（0，3），
（2）如图，过点 P作 PD⊥AC于点 D， S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝ ×3×1+ ×3×2＝ ，...........................9分
∴PD∥BC，
22.（1）证明：如图，作 OH⊥FB，垂足为点 H，连接 OE，
∴△APD∽△ABC，
∵∠ACB＝90°，D是 AB的中点，
∴ ＝ ，
∴CD＝BD＝ AB，
∴ ＝ ，
∵∠ADC＝∠CBD+∠BCD＝2∠CBD，
又∵∠FBC＝ ∠ADC， ∴在直线 y＝﹣2x+1上只有一个“纵三倍点”：（ ， ）；
∴∠FBC＝∠CBD，
②由 得： ， ，
即 BC是∠FBA的平分线，...........................2分
∵点 O在 BC上，⊙O与 AB相切于点 E， ∴反比例函数 y＝ 的图象上有两个“纵三倍点”：（﹣ ，﹣3 ），（ ，3 ）；
∴OE⊥AB，且 OE是⊙O的半径，
③由 得： ，
∴OH＝OE，OH是⊙O的半径，...........................3分
∴BF是⊙O的切线；...........................4分
∴二次函数 y＝x2+x+1的图象上只有一个“纵三倍点”：（1，3）；
（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
故答案为：①③；...........................2分
∴AB＝ ＝10，
（2）∵抛物线 y＝2x2+mx+n（m，n均为常数）与直线 y＝x+4只有一个交点，
∵AE，AC是⊙O的切线，
∴方程 2x2+（m﹣1）x+n﹣4＝0有两个相等的实数根，即Δ＝0，
∴AC＝AE＝6，
∴（m﹣1）2﹣8（n﹣4）＝0，①，...........................3分
∴BE＝10﹣6＝4，...........................5分
∵抛物线 y＝2x2+mx+n与直线 y＝x+4交点是“纵三倍点”，
设⊙O的半径为 r，则 OC＝OE＝r，
∴x＝2，y＝6，
在 Rt△OEB中，由勾股定理得：OE2+BE2＝OB2，
∴n＝﹣2m﹣2②，..........................4分
∴16+r2＝（8﹣r）2，...........................7分
联立①②，得：， 1＝ 2＝﹣7， 1＝ 2＝12
∴r＝3．
∴抛物线的解析式为 y＝2x2﹣7x+12；...........................5分
∴⊙O的半径长为 3，
（3）∵抛物线 （a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，
∵DE＝BD﹣BE＝1，..........................8分
∴方程 3x＝ax2+bx+ 有且只有一个实数根，
∴OD＝ ＝ ．...........................9分
∴Δ＝（b﹣3）2﹣4× a＝0，
23.解：（1）①由 得 ，
∴a＝ （b﹣3）2，...........................6分
∴w＝b2﹣2b+6a＝b2﹣2b+（b﹣3）2＝2（b﹣2）2+1，...........................7分
根据题意，当 t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于 t，
①当 t+1≤2，即 t≤1时，当 b＝t+1时，w有最小值，
∴t＝2（t+1﹣2）2+1，
即 2t2﹣5t+3＝0，
解得：t1＝1，t2＝ （舍去），
∴此时存在常数 t＝1，使得当 t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于 t；.......................9分
②当 t≤2≤t+1，即 1≤t≤2时，当 b＝2时的最小值为 1，不符合题意...................10分
③当 t＞2时，t＝2（t﹣2）2+1，
即 2t2﹣9t+9＝0，
解得：t1＝ （舍去），t2＝3，
∴存在常数 t＝3，使得当 t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于 t；...........................12分
综上所述，t的值为 1或 3．九年级数学期末考试试卷 10．在一个不透明的盒子中装有 6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机
6 3 18 摸出一个球是白球的概率是 ，则黄球的个数为 ．一、选择题（本大题 小题，每小题 分，共 分）
1．在下列式子中，是一元二次方程的是（ ） 11．已知圆锥的母线长 5，侧面展开图形扇形的圆心角是 216°，则这个圆锥的高是 ．
A．x2+x B．x2﹣5＝﹣x 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点 C逆时针旋转，旋转角为θ（0°
C．x2﹣6xy+8＝0 D． ＜θ＜360°），得到△A′B′C．设 AC中点为 E，A′B′中点为 P，AC＝3，连接 EP，EP长（EP长
为整数)可能是 ．
2、下列事件为随机事件的是（ ）
三．解答题（本大题 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）
A.海底捞月 B.刻舟求剑 C.守株待兔 D.水滴石穿
3．如图所示，在 3×3 正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一 13．选择合适的方法解方程：
个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（ ） （1）x2﹣4x﹣1＝0．
2
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 （2）x ﹣3x＝2x﹣6．
4.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ） 14．“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”，南昌是个好地方．某天甲、乙两人来南昌旅游，两人分别从 A，
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC B，C三个景点中随机选择一个景点游览．
C．AB2＝AD AC D． （1）求甲选择 A景点的概率；
4 （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择 C景点的概率．
5.若图中反比例函数的表达式均为 y＝ ，则阴影面积为 2的是（ ）
15．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图 1，图 2中画出一条弦，使这
条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图 1，∠BAC＝∠ABC；
（2）如图 2，直线 l与⊙O相切于点 P，且 l∥BC．
A B C D
6．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0 16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，其顶点称为格点，△ABC和△EFD的顶点都
③2a+b＝0；④m为任意实数，则 a+b≥am2+bm；⑤（a+c）2＞b2．其中正确结论的个数有（ ） 在格点上，则△ABC与△EFD相似吗？请说明理由．
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
17．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利 40元，为了扩大销售，增加盈利，尽
二、填空题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1元，商场平均每天
7．从﹣1，1，2，3三个数中任取一个，作为二次函数 y＝ax2+bx+c的 a值，则所得二次函数开口向上的 可多售出 2件，求：
概率是 ．
（1）若商场平均每天要盈利 1200元，每件衬衫应降价多少元？
8．若一元二次方程 x2﹣4x+1＝0的两根分别为 1， 2，则 1+ 2﹣ 1 2的值为 ．
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
9．已知 A（1，﹣2）、B（m，n）两点，若 A、B两点关于原点对称，则 m-n＝ ．
四、解答题（本大题 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 五、解答题（本大题 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）
18．如图所示，△ABC三个顶点坐标分别为 A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣2）、C（﹣3，﹣1），请在所给的正 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx+b与反比例函数 y＝﹣ 的图象交于 A（﹣1，m），B
方形网格中按要求画图和解答下列问题：
（n，﹣3）两点，一次函数 y＝kx+b的图象与 y轴交于点 C．
（1）以 A点为旋转中心，将△ABC绕点 A顺时针旋转 90°得△AB1C1，画出△AB1C1．
（1）求一次函数的解析式；
（2）画出△ABC关于坐标原点 O成中心对称的△A2B2C2．
（2）根据函数的图象，直接写出不等式 kx+b≥﹣ 的解集；
（3）若△A2B2C2可看作是由△AB1C1旋转得来，则旋转中心坐标为 ．
（3）点 P是 x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的 2倍，求点 P的坐标．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点 D是 AB边的中点，点 O在 BC边上，⊙O经过点 C且与 AB
边相切于点 E，若∠FBC＝ ∠ADC．
19．为了倡导“节钓用水，从我做起”，南昌市政府决定对直属机关 500户家庭用水情况进行调查．市政
（1）求证：BF是⊙O的切线；
府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），将调查结果制成了如下尚不完整
（2）若 AC＝6，BC＝8，求⊙O的半径及 OD的长．
的统计表：
月平均用水量（吨） 3 4 5 6 7
六、解答题（本题 12 分）
频数（户数） 4 a 9 10 7
23．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例
频率 0.08 0.40 b 0.20 0.14
如（1，3），（﹣2，﹣6），都是“纵三倍点”．
请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
（1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 ；（填序号）
（1）填空：a＝ ，b＝ ． ①y＝﹣2x+1；
（2）根据样本数据估计，直属机关 500户家庭中月平均用水量小于 5吨的约有多少户？
② ；
（3）市政府决定从用水最为节约的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请
③y＝x2+x+1；
用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、乙两户的概率．
④y＝x2+x﹣3；
20．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点 P从点 B开始沿 BA边
（2）已知抛物线 y＝2x2+mx+n（m，n均为常数）与直线 y＝x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍
向点 A以 2cm/s的速度移动，同时点 Q从点 A开始沿 AC边向点 C以 1cm/s的速度移动．当
点”，求抛物线的解析式；
P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为 t s．
（3）若抛物线 （a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令 w＝b2
（1）当 t＝ 时△PAQ与△ABC相似；
21 ﹣2b+6a，是否存在一个常数 t，使得当 t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于 t，若存在，求出 t的值；
（2）是否存在某一时刻 t的值使得△PAQ的面积等于 ， 若存在，求出 t的值，若不存在，请说
5
若不存在，请说明理由．
明理由
