3平行线的性质（培优）
一、单选题
1．如图，∥，∠1是∠2的3倍，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将一张长方形纸片沿对折，使落在的位置，再将纸片沿对折，使得落在的位置；若，的度数为，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．一幅三角板和如图所示放置．，点在边上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．直尺和直角三角板如图摆放，若，则的大小为( )
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，将一条两边互相平行的纸带折叠．
（1）若，则的度数是 ．
（2）若，则的度数是 ．
7．如图所示，直线，，，则的大小是 ．
8．如图，在三角形中，，为上一点且，连接，若平分，，，则的度数为 ．
9．如图，分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么 ．
10．把一张长方形纸片（对边是平行的）沿折叠后与的交点为，点，点分别在，的位置上，如图所示，若，则 ．
11．将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，若，则 ．
三、解答题
12．补全下面推理过程：
生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，平行于地面，求的度数．
解：如图，过点作，
∵（________）
∴（________）（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴（________），（________）
∵，∴（________），（________）
∵（辅助线作法），∴（________），
∴
∴（________）．
四、计算题
13．（1）化简：．
（2）如图，，，，求的度数．
14．如图，直线分别交直线于点G，H，射线分别在和的内部，且．
（1）若和互补．
①求的度数；
②当，且时，求的度数；
（2）设，．若，求m，n满足的等量关系．
15．如图，在中，，交于点D，已知，平分，求的度数．
五、作图题
16．如图，点E，F分别在，上，于点O，，．试说明：．
下面是某同学的说理过程，请阅读并补全说理过程．
解：因为，所以．
又因为，
根据“_______________________________”，
所以____________________________．
根据“_______________________________”，
所以．
所以___________．
又因为，
所以___________．
又因为，
根据“_______________________________”，
所以．
根据“_______________________________”，
所以．
六、综合题
17．已知：如图，直线与分别相交于点E，F．
（1）如图1，若，，和的位置关系为 ；
（2）在（1）的情兄下，若点P是平面内的一个动点，连接，探索三个角之间的关系；
①当点P在图2的位置时，可得；
请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）：
解：如图2、过点P作，
则（ ）．
∵（已知），（作图），
∴（ ）．
∴．
∴（ ）．
即；
②当点P在图3的位置时，求三个角之间有何数量关系；
③当点P在图4的位置时，请三个角之间的关系．
18．已知：如图，．
（1）如图1，，判断直线和的位置关系，并给予证明；
（2）如图2，，，请判断与的数量关系，并证明．
19．图1是自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中都与地面平行，．当的度数为多少时，能够使得与平行？
七、实践探究题
20．综合与探究：如图，一副三角板，其中，，．
（1）若这副三角板如图摆放，，求的度数．
（2）将一副三角板如图1所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，求所有满足条件的t的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行线的性质；邻补角；同位角的概念
2．【答案】D
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
3．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理
4．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质
6．【答案】；
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
7．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
8．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质
9．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；同旁内角的概念
10．【答案】
【知识点】平行线的性质
11．【答案】
【知识点】平行线的性质
12．【答案】已知；；；两直线平行，同旁内角互补；；垂直的定义；；
【知识点】平行线的判定与性质
13．【答案】（1）（2）
【知识点】多项式乘多项式；平行线的性质
14．【答案】（1）解：①和互补，
．
，
，
；
②由①得，
，
，
又，
，
．
，
，
；
（2）解：，
．
设，
，，
，
，
又，
，
，
，
即m，n满足的等量关系为．
【知识点】角的运算；平行线的性质；邻补角
15．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质
16．【答案】同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同位角相等；90；90；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定；平行线的判定与性质；同位角的概念
17．【答案】（1）平行
（2）解：①解：如图2、过点P作，
则（两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），（作图），
∴（平行于同一条直线的两直线平行）．
∴．
∴（等式的性质）．
即；
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；等式的性质；
②解：；
如图3，过点P作，
则．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴；
③解：，
如图4，过点P作，
则．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；作图-平行线
18．【答案】（1）解：
证明如下：
，，
，
，
延长EF交CD于，如图，
，
，
，
，
．
（2）解：，
证明：由（1）得，作，，如图，
，，
，
，
∵，，
，
，，
，
，，
，，
，即．
【知识点】平行线的判定与性质
19．【答案】当时，
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
20．【答案】（1）
（2）所有满足条件的t的值为15或60
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
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