榆林市2025届高三第二次模拟检测
数学试题
注意事项：
1 .本试题共4页，满分150分，时间120分钟.
2 .答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上.
3 .回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷
上无效.
4 .考试结束后,监考员将答题卡按顺序收回,装袋整理；试题不回收.
第I卷（选择题共58分）
一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1 .已知 R,-a+3i = （6-i）i，则
A. a = 1,6 = 3 B. a = 1,6 = -3 C. a = -l,6 = 3 D. a = -l ,6 = -3
2 .“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得
分数据为：9,12,17,8,17,18,20,17,12,14,则这组数据的
A.第85百分位数为18 B.众数为12
C.中位数为17 D.平均成绩为14
3 .已知集合1={-2,1,斗，则4 G8中的元素个数为
x 2
A.3 B.2 C. 1 D.0
4 .已知某物体在运动过程中，其位移S （单位：m）与时间“单位：s）满足函数关系式
S（O= sin Z-Acos，乜+1,则该物体瞬时速度的最大值为
A. 3 m/s B. 2 m/s C. 75" m/s D. 1 m/s
5 .已知向量a,b满足|a | \b\ =2,且a_L （a+b），则。与寸的夹角为
A色 2tt - D.”A，6 b t c 了 6
6 .已知直线Z：y =加%-4）与曲线C：y = 有两个公共点，则m的取值范围是
a.（T/） b. C. （一/,0] D. （―,o]
7 .育德中学在3D打印社团实践活动中，要将一个正方体放置在一个母线长为2,底面半径为1
的圆锥内(忽略锥面厚度)，使其能自由(任意方向)旋转，则该正方体棱长的最大值为
2
C.4 D. 1
3
8 .已知函数/(%)= ex+3(x<0) ,g(%)= 21n(x+m).若存在 使得/(/)=g(④°),则 m 的取
值范围为
A. ( —00 ,e) B. ( —oo ,e2) C. ( —— ,e2) D. ( —e)
e e
二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对得6分,部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分,有两个正确选项的，每
个选项3分，有选错的得0分.
9 .已知函数/(%) = 4sin(s+0)(4〉O,3>0, 的部分图象如图所示，则
A./(x) = 3sin(3%-^-)
B.函数/(%)的图象关于点(号,0)中心对称
C.函数/⑷在［。,量］上有最小值-学
D.函数/(%)在(0,f)内有3个零点
10 .如图，过点尸(1 ,0)作两条直线％= 1和X = my+］.分别交抛物线y2 =x
于点4,8和点C,。(其中点4,C位于％轴上方)，则下列说法正确
的是
A. C,D两点的纵坐标之积为-1
(第10题图)
B. |PC|的最小值为1
C. A COD面积的最小值为1(。为坐标原点)
D.若点 不重合，且 =。，则
11 .对于％ e [0,1 ],/(%)满足= 1, /(%)=纨点)，且对于任意 0W%2 W 1,恒
有/(孙)与/(相)，则
= B.船义)=101 C./(4)= A- D.4~W/(与4螺-
八 2 2 .=(/ 100 7 58 28 8 1W J4
第n卷(非选择题共92分)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.
12 . (1+%)( l-x))°的展开式中/的系数是.
13 .已知角a的终边在直线y=-2x上，则sin 2a=.
14 .已知数列|册|有30项吗=2,且对任意几e [2,3,…,30],都存在於[1,2,…#-1},使得
an =g,+3.
(l)a4 ;(写出一个可能的取值)
(2 )对于数列{ 中的项应,若存在j e { 1 ,2,"1 }使得q尸%,则称ak具有性质P.若
30
I G,J中恰有4项具有性质产，且这4项的和为20,则
r=6
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 .(本小题满分13分)
在△48C 中，角 A ,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 2sin Ceos 4 = sin 4+2sin B.
(1)求角C的大小；
(2)求生注的取值范围.
cos A
16 .(本小题满分15分)
如图，已知斜三棱柱48C-4与G,平面，平面LAiC,AAl =4,C,
AC = 2,BC=\.
(i)求证:平面平面bcg4；
(2)求平面48G与平面a8C所成角的余弦值.
17 .(本小题满分15分)
已知函数/(%)=4(%>0).
(1)求/(%)的单调区间；
(2)已知直线)二红+/是曲线,=/(%)的切线，且施+加分/(%)对x E. (0,+8 )恒成立，求m的最大值.
18 .(本小题满分17分)
如图,某兴趣小组在坐标纸网格中设计了一款跳棋游戏 规则如下:游戏参与者以。(0,0)为
出发点，每掷一次均匀硬币，若掷出正面，则沿小正方形的对角线向右上方移动一格;若掷出反面,
则沿小正方形的对角线向右下方移动一格.
(1)求甲走完第3步后,到达点4(3,-1)的概率；
(2)若甲向右上方走一步得5分，向右下方走一步得0分，当他
走完第4步后,得分为X,求X的分布列及数学期望；
(3)甲和乙都从。(0,0)出发,走到点8(5,1)的位置，设走完第，
步后，甲位于点瓦(看,叫)，乙位于点”孙，吟，其中1W1W5且QN’.若对任意1MW5且QN
都有人三 %，则认为甲获胜，求甲获胜的概率.
19 .(本小题满分17分)
已知双曲线E：马1=1 (°>0,6>0)的实轴长为2,顶点到渐近线的距离为上
a b 2
(1)求双曲线E的方程；
(2)若直线I与E的右支及渐近线的交点自上而下依次为C,4,凡。，证明：14C |二1801 ；
(3)在数学中,可利用“循环构造法”求方程的整数解.例如:求二元二次方程％2—2/ = 1的正整
x = 3,
数解，由(3-2 也)(3+2")= 32 - 2x22 = 1可先找到该方程的初始解 记此解对应的点为
ly=2,
Pi(3,2),进一步可得点匕(17,12),…,P式八，")，…』eN”.设由“循环构造法”得到方程E的正
整数解对应的点列为0(町，)，。2 ,%),…，。“(西“”)，…,如X,MN*,记乙Q“0Q"+l。"，
试判断市 丽:tan 0 是否为定值？若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
榆林市2025届高三第二次模拟检测
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 .【命题意图】考查复数的概念及运算.
【参考答案】C
［试题解析］-a+3 i = (6-i) i = 1 +bi，故 a = -1 ,6 = 3.
2 .【命题意图】本题重点考查众数、百分位数的定义以及中位数、平均数计算公式，属基础题.从核心素养的角
度来看，本题可以考查学生的数学运算的核心素养.同时体现了数学中的转化与化归的数学思想.
【参考答案】A
［试题解析】将得分数据按升序排列为：8,9,12,12,14,17,17,17,18,20,
对于A ：因为10x0. 85 = 8. 5,所以第85百分位数为第9位数，即为18,故A正确；
对于B：众数为17,故B错误;
对于C：中位数为:妗|旦=15.5,故C错误；
对于 D：平均数久= *(8+9+12+12+14+17+17+17+18+20)= 14. 4,故 D 错误；
故答案为:A.
3 .【命题意图】考查集合的含义与表示、运算.可以列方程计算解决，可以由基本不等式解决，也可以作对勾函
数图象观察解决问题.
【参考答案】B
【试题解析】解法1 ：由基本不等式性质:当4>0时/+」■是2；当“<0时故交集的元素个数为2.
X X
解法2：作对勾函数图象易得，故4GB中的元素个数为2.
解法3：将集合8中元素代入方程验证得,符合条件的为-2,和仔 .故4nB中的元素个数为2.
4 .【命题意图】本题考查瞬时变化率的概念及辨析、导数的运算法则、辅助角公式.从核心素养角度来看，本题
主要考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养.
【参考答案】A
【试题解析】S'(，)= \/ysin i+cos i+1 =2sin(，+:)+1，当 sin(，+；)= 1 时,S'Q)取得最大值 3 ,故选 A.
6 6
5 .【命题意图】本题重点考查了平面向量的基本运算，考生可以直接利用平面向量的基本运算求解，从核心素
养的角度来看，本题可以考查学生的数学运算和逻辑推理的核心素养.
【参考答案】D
【试题解析】解法 1 ：因为 | a |=VJ, \b |=2,a_L(a+B)，所以 a (a+b) = a2+a 5= 3+24cos
因为
6
解法 2：由 a_L (a+b) ,b = (a+b)-a, \a\-43 , |ft| = 2,
可知 | a+b | = 1，令 寇=a+5,贝I］ AB=b,cos = -cos 4 = -^,所以<%〃〉=手.
6 .【命题意图】本题重点考查了直线与半椭圆位置关系,隐含直线过定点问题，从核心素养的角度来看,本题考
查学生的直观想象和数学建模的核心素养.
【参考答案】D
9
【试题解析】解法1：由y= 得 +歹=2(yN0)，所以C为椭圆的上半部分,
直线/：尸〃“％ - 4)过定点：(4,0)
①当zn = O,直线Z：y = O与C有两个公共点；
2
②当 〃zK0,/：y = m(%-4)与曲线全+/=2 联立，由△>(),得 /ne (-^-,0),
综上，加的取值范围是(-右,0].故选D.
解法2：数形结合法
①当加=0,直线Z：y = 0与C有两个公共点；
2 1
②当/：7=欣力-4)与充~+/ = 2(yN0)相切时，由△ = ()得,/〃 = 一万~,
综上，，九的取值范围是(一^-,0].故选D.
解法3：将半圆/+/=8(/0)横坐标不变，纵坐标缩短到原来的上，得到半椭圆
^~+y2 =2(yN0).
当/：y = m(%-4)与d+y2=8()，N0)相切时，由点(0,0)至11/4=/ (“一4)的距离等于
圆的半径得:上^ = 2及■，解得:小=1(舍)或〃片-1,经过伸缩变换后，m==,
，川+ ] 2
综上,zn的取值范围是故选D.
7 .【命题意图】本题重点考查了圆锥、球和正方体外接与内切位置关系，考生可以通过圆锥、球和正方体对称性
的分析，确定球心位置后进行计算求解.从核心素养的角度看，本题可以考查学生直观想象和数学运算的核
心素养.
【参考答案】C
【试题解析】如图1所示,要使得正方体能在圆锥内自由旋转且该正方体的边长得到最大，则该正方体的外
接球为圆锥的内切球，设内切球的半径为R,圆锥的轴截面如图2所示，
△ P/W为正三角形且出=2,此时内切球的截面圆与△P48内切,穴=尸小an《=lx李二孚，设正方体边长为
G,由图 3 得，（2R）2 = 3q2 ,得 G =
A B
图1 图2 图3
8 .【命题意图】考察函数的图象与方程根及函数零点之间的关系，重点考查了学生数形结合、转化与化归的思
想.从核心素养的角度看，本题可以考查学生直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
【参考答案】B
【试题解析】根据题意知/(F )-双")=0在(0,+8 )上有解，因此
e"+3=21n(%+zn)在(0,+8 )上有解,故函数y=e" +3(%>0)与y = 21n(x+m)
的图象在(0,+8 )上有交点，将点(0,4)代入”=21n("m)得,。
e」,令21n(*+m) = 0得/=1-m,由图象可知1—m〉l—e ,解得m
二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对得6分,
部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分，有两个正确选项的，每个选项3分，有选错的得0分.
9 .(命题意图】本题考查三角三角函数图象与性质和数学运算能力.
【参考答案】ABD
【试题解析】解法1：由图知4 = 3,
号名，所以行，
/(%)= 3sin(3%+w)过点(个,3)，即 sin(苧+9)= 1,
所以手+@=~^~+2kMk g Z) ,0 = ―^~+2/cF(k e Z),
因为I W 1
所以函数/(”)的图象关于点(等,0)中心对称,B正确.
由“ w [。,器]得力一子 w [~,y-],
所以当3号号时产噤(黎内吟.吟C错误.
由-0,k)得3寸g (寸中)L的图象在叶,手)上有3个零点,
所以函数/(%)在(0")内有3个零点,D正确.
解法2 ：由函数/(*) = 3sin(3%-千)的图象可确定ABD正确,C错误.
10 .【命题意图】本题重点考查了对抛物线图象的准确理解，利用图象确定面积、距离最值问题,从核心素养的
角度来看,本题考查学生的直观想象和逻辑推理及数学运算的核心素养.
【参考答案】AC
【试题解析】设点C(x,0)，0(42 92 ),
选项A：将直线I的方程” =叼+1代入抛物线方程y2 =x得:/一四=0.则y, = -1.故A正确；
选项B：解法1：由已知的，|OP| = 1, |4P| = 1点C在抛物线上运动，|PC|最小值不是1；
解法 2 ：计算 I PC I = y(%I-D2 +(yl-0)2 = 7(y"-i)2 + (n-0)2 = JG 7+春 N与，可知选项 B 错误；
选项C：由题得SLCOD=^-\OP\\y.-y2\ =2费三1,当且仅当血=0时取等号，故C正确；
选项D：解法1 ：又因为| 21 | = | P8|,但| Q4廿| QB |,所以D错误.
解法2：在△48Q中，当4CQP=48QP时，由三角形内角平分线定理得，例|= 缥；
105 | /n |
又因为|R4|= |尸5|,所以|。4|= /川,与|/|刊。5|矛盾.所以口错误.
11 .【命题意图】本题以抽象函数为载体，考察了抽象函数及其应用，以及对新定义的理解，同时考察学生的数
学运算的能力，通过对复杂关系式赋值的过程考察学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.
【参考答案】ACD
【试题解析】A选项:因为/(%)饮1-久)=1,所以取”《得选项正确；
B选项:令Qf((W岛)+…伏1),则，(粉+…伏0),
两式相加得2片)(0)次1)]+[/(女)已倦)]+…+匕⑴仪。)]'。],解得建乎,B选项错误;
X XZKZ A \J\J J
C选项:因为/(%)=决皆)，所以取X = 0得J(0)=0,由/(%)"( j)= 1,取4 = 0得,/(0)t/U)= 1,解得
/(1)=1,因为/(%)=”6),所以/(右) = &/(%)/( *)//(专)《, /(/)忖,c选项正确；
D选项:因为/(,=；/(/=上,且4加点所以H菽)Wf(盍)w/(5,畤w/(七)q,
D选项正确.因此选:ACD.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 .【命题意图】本题重点考查二项式定理的应用，解题时候要注意结合多项式的乘法来分析.培养学生运用数
学思维和数学方法发现问题、分析问题和解决问题的能力及运算能力，体现了“多想少算”的设计理念，落
实了对应用性和创新性的考察要求.
【参考答案】-9
(试题解析】解法I ：( IF)1°的展开式的通项为c;01'°-\ -%>=(-1 ) C。/,
当r=l时,％的系数是-C：o=-lO,
当r=0时，常数项是C 0 = l,
所以(1+*) ( If)1°的展开式中，久的系数是-10+1 =-9.
解法 2： (1+%) (1-x)10 = (1+x) (1-x) (1 -x)9 = ( 1-x2) (1-x)9 ,
(1-x)9的展开式的通项为CKf)' = (T)'C#,
仅当r=l时,%的系数是-C；=-9,
所以(1+%) (If) 10的展开式中声的系数是-9.
13 .【命题意图】本题考查三角函数的概念与三角恒等变换.
【参考答案】一*
【试题解析】解法1:tan a = -2,sin 2a以cos, j半匕=_=.
sin a+cos a tan a+1 5
解法 2：当 a 终边在第二象限时,sin a = ,cos = ~-y-,sin 2a = 2sin acos a = --
当 a 终边在第四象限时,sin a = >cos a =得,sin 2a = 2sin acos a = "所以 sin 2a = "
14 .【命题意图】本题重点考查数列的相关问题,对学生阅读理解和数学思维有较高的要求，从核心素养的角度
来看，本题也可以很好地考查学生的数学运算、数学抽象和逻辑推理等核心素养和关键能力.
【参考答案】（1）5（或8,或11,计2分）；（2）1025（计3分）
【试题解析】（1）当n = 2时,a2=%+3 = 5,
当 n=3 时=@［ +3 = 5,或 % =“2+3 = 8,
当 n=4 时,+3 = 5,或 % =%+3 = 8,或 a4 =a3+3 时有为=8 或 c/ = 11,
综上所述:包的所有可能取值为：5,8,11.
（2） ｝中恰有4项具有性质P,且这4项的和为20吗=2,
当 n = 5 时,% =% +3 = 5,或 = % +3 = 8,或 & =+3 时有 % = 8 或 % = 11，或% = % +3 时有 % = 8 或 % = 11
或 5 = 14,
a2 =a3 =a4 =a5 =a6 = 5,即 =a4 =a5 =a6 = 5 具有性质 P,
30
则易知从&开始是以5为首项3为公差的等差数列，= 1 025.
r = 6
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.［命题意图］本题考查三角三角恒等变换、解三角形、三角函数的性质.
【参考答案】:⑴爷 （2）（y, 2）
【试题解析】（1）解法1 ：在△/IBC中，由2sin Ceos 4= sin 4+2sin B及正弦定理得,2c cos A=a+2b.......
......................................................................... （2 分）
再由余弦定理，得2c 空二= a+2儿 ..................................................... （3分）
2bc
c2 = a2 +b2 +ab. ............................................................... （4 分）
又因为 = a +/ -2aZ>cos C
所以 cos C=—,............................................................. （5 分）
Cc （0,ir）,所以。=厚 ................................................................... （6 分）
解法 2 ：因为 2sin Ceos 4 =sin 4+2sin/Icos C+2cos 4sin C, .............................. （2 分）
所以（2cos C+l ）sin/! =0 , ...................................................... （3 分）
因为 sin A #0 ,
所以 2cosc+1=0 , ........................................................... （4 分）
所以 cos C="^~ ,............................................................. （5 分）
Ce（0,F）,所以 C=与. ................................................................... （6 分）
（2）因为。=竽，所以 4w（0,/）. ....................................... （7 分）
cos（914） —1 cos sin A r-
所以史丝=— J— 2____ —= y+y lan4"c（0号）.
cos A cos A cos （11 分）A
lan 4 g （0,5）,所以空空 g（：,2）. ............................................. （13 分）
cos A 2
16 .【命题意图】本题重点考查了平面与平面垂直的判定定理和性质定理，平面与平面所成角的计算.考生可以
通过建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解.从核心素养的角度看，本题可以考查学生直观想象、逻辑
推理和数学运算的核心素养.
【参考答案】（1）见解法1,解法2,解法3；（2）平面48a和平面48。所成角的余弦值为日.
［试题解析】（1）解法1 ：因为在斜三棱柱ABC-A,B, G中,M 〃CG，且也C,所以41C_LCG ,.....
.......................................................................... （2 分）
又因为平面4BC_L平面/1CG4 ,平面平面4CG4 =4C,且4c_L8C,所以8C_L平面44CG ,BC_L41C,
.......................................................................... （4 分）
又因为。。1d8。=。,，6、8。0平面8。G山，所以4。_1_平面8，。第1, ................... （6分）
又因为&CU平面45C,所以平面48C_L平面8CC15j. .............................. （7分）
解法2：因为平面4■，平面4CG4，平面平面力CC& "C，且所以BC_L平面,
.......................................................................... （2 分）
所以 BCJ_4"C_LGC，........................................................ （4 分）
又因为&CU平面 48C,CG <=平面 BCClBl ,AAi //CC1,
所以 4C_LCG, ..............................................................（5 分）
所以平面43c和平面BCG4所成的角为小，.............................................（6分）
即平面月18C_L平面8CG51. .................................................... （7分）
解法3：如图1,取4C的中点。，取AB的中点。，连接4。,。。， I____________
由 0D 为 AABC 的中位线，知 OD/JBC.
又因为 4CJ_3C,所以 0D1AC. /
因为 44=4（,所以 40_L4C. <_,v
因为平面43C _1,平面4CG4,平面43CG平面4CG4 =4。，所以4。，平
面48c. 图］
所以 40J_00,40_L4C,00_L4C.
以。为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系，
则 4（0,-1,0）,儿（0,0,1）,8（1,1,0）, C（0,l,0）, C,（0,2,l）,
4=（0,无=（1,0,0）,云=（0,1,1）,........................................ （3 分）
设平面和平面BCG4的法向量分别为%=（与，％, Z］）,〃2 = （%2,义2, Z2）,由而况_L%,得
（x. =0,
取力=1,则勺=（0,1,1） ............................................. （4 分），
l-%+Z| =0,
同理可得% = （0,1 ,T ）,........................................................ （5分）
贝!） /1） %=0,所以 % _1_〃2, ....................................................... （6 分）
即平面4BC_L平面8CG8「.............................................................. （7分）
⑵解法1：如图2,取AC的中点。，取48的中点Z）,连接4。,。。， A |___________
由。。为△4BC的中位线，知UD"BC. 木，—―^C,
又因为4C_LBC,所以OD1AC. /凌/
因为 44=4。,所以4。_14。 -
因为平面ABC J■平面ACG4，平面ABC G平面ACC./l, =4C,所以4。"平
面 ABC. 8
所以 40_L0Z),40_L4C,00_L/lC.
以。为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，
则4(0,-1,0), 4(0,0,1),5(1,1,0), 6,(0,2,1),
所以祸=(0,1,1),/=(1,2,0),运=(0,3,1) , .................................... (8 分)
由(1)知,A4J平面45C,所以居为平面4出。的法向量, ................................ (10分)
设平面4BG的法向量为〃=(知夕,z),平面A.BC与平面ABC.所成角记为8,由港JL明冠JL〃，得
[:23:'取 y=T ,得" = (2,-1,3), .............................................. (12 分)
(3y+z=0,
I I祝 履 2 V7 …公、
\n\\AAl \ T^x/14 7
所以平面4和平面48G所成角的余弦值为午. ......................................... (15分)
解法2：因为平面4BCJL平面4CCA ,平面ABCG平面力CC14=AC,所以过点。作 !
平面ABC的垂线必在平面ACCiAl内. ~1 /C'
又因为4CJ.8C,所以可以以C为坐标原点，建立如图3所示的空间直角坐标系， /\y^y/
因为 4(0,-2,0), 4(0,-1,1),矶 1,0,0), C,(0,l,l), .y
所以京=(0,1,1),总=(1,2,0),肉=(0,3,1), .................. (8 分)
由(1)知,A4| JL平面4BC,所以7T为平面48c的法向量，.......... (10分) 差 图§
设平面48cl的法向量为” = (%,“)，平面儿"与平面48G所成角记为仇
由族 得，")0 取y=-l,得〃 =(2,-1,3), ............................. (12 分)
(3y+z=0,
|cosJ|=血＜ 1= 1_ =与, ....................................................... (14 分)
所以平面45c和平面4 G所成角的余弦值为手. .........................................(15分)
17 .【命题意图】本题考察初等函数的基本求导公式及求导法则，考察利用导数求函数的单调性、不等式恒成立
求参问题;考察灵活利用导数工具分析、解决问题的能力;综合考察考生的逻辑推理、运算求解、推理论证
的能力以及数形结合、分类讨论的思想.
【参考答案】见解析
【试题解析】(1)/'(")=牛，............................................................... (2分)
又因为人=/'（3）=芸%0,所以3>2,%=/（40）=包J>0, ............................ （12分）
e ° e 0
取久 = -y- = 一'° = 一 +久o>x0>2，贝I」辰]+m = 0,/（%j ）= —―->0,
k k k eX|
因此存在4] e （0,+ 8 ）,使得辰]+[ .e
解法2：由（1）知J（久）心=/（2） = ；. ....................................................... （7分）
e
设直线y-kx+m与曲线>=/（%）相切于点（ ,九）（ >0）,
则 为 =/（，） = U■，k=广Q）=衅,『一：T（ 0）,令 g（z） = 1 ~1~1 （，>0），则 g'（，）=二二',当 0。<3
e e e e e
时,g（）>0；当z〉3时,g'（2）<0.因此gQ）在（0,3）上单调递增，在（3,+8 ）上单调递减,8（。而=8（3）=今.
e
........................................................................ （9 分）
当加=±时,直线y=4是曲线/（%）的切线，且对％ e（0, + 8）恒成立，满足题意；......（11分）
e e" e"
1
— ---m
当上<机这年时，因为为=股+%所以人小丝W旦一<0,因此人/'（，）="<0,所以z>2,n=/（，）=匕;>0,
e- e t t e e
...................................................................... （13 分）
取,二= Jo 空_4+,〉,〉2,贝I]d+/n = 0 JO] ）= J^>0,因此存在 i1 e （0,+oo ），使得包 +血k k k e；
满足题意,综上,m的最大值为....................................................... （15分）
e~
18 .【命题意图】本题重点考查了概率中的二项分布和古典概型，以及计数原理，从核心素养的角度来看，本题
可以考查学生的数学运算和逻辑推理核心素养.
【参考答案】（1）[~;（2）10；（3）；
O J
【试题解析】（1）根据题意，甲向上走了一步，向下走了两步。=（：；；*（；）2;号. ............ （3分）
2 2 o
（2）设甲向上走了 丫步,V可取0,1,2,3,4,则*=5匕丫~8（4,\）, ....................... （5分）
P（X=O）=尸（y=o）= c：（；）4=2，p（x=5）= p（ y=i）=c：x；x（；）3=；,
p（x= 10）=/（y=2）=C（；）2x（；）24,p（x=[5）=p（y=3）=
Z Z o Z Z 4
P（X = 20） =尸（y=4）=C；（；）4』
则X的分布列为:
X 0 5 10 15 20
1 1 3 1 1
p 16 了 T T I
所以，&X）=5矶 y）=5x4x呆 10. ............................................... （8 分）
（3）解法1:甲一共需要走5步，其中向右下方走2步，向右上方走3步.从5步中选2步是向右下方走的组
合数为C； = 10.同理，乙也有C； = 10种走法；.............................................. （10分）
游戏参与者在第j,k步向右下方走记为。/），
①=1,当甲为（1,2）时，乙有1种情况;当甲为（1,3）时，乙有2种情况；当甲为（1,4）时，乙有3种情况；当
甲为（1,5）时，乙有4种情况;共10种情况； .............................................. （11分）
②7=2,当甲为（2,3）时，乙有3种情况，当甲为（2,4）时，乙有5种情况;当甲为（2,5）时，有7种情况;共15
种情况；............................................................................... （12分）
③/=3,当甲为（3,4）时，乙有6种情况；当甲为（3,5）时，乙有9种情况;共15种情况;.......... （13分）
④/=4,甲只能为（4,5）,乙有10种情况;共10种情况，...................................... （14分）
总计50种情况......................................................................... （16分）
所以甲获胜的概率为P= ⑴分）
解法2 :甲一共需要走5步,其中向右下方走2步，向右上方走3步.从5步中选2步是向右下方走的组合数
为C； = 10.同理，乙也有《=10种走法；................................................... （10分）
对任意1W1W5,都有加声叫,可设甲在第1W4W5）步向右下方走，则乙的走法有两种情况：
情况一:乙在第1步到第式2经/<4）步中有两步向右下方行走，共种走法；................ （11分）
情况二:乙在第1步到第j（l《/W4）步中有一步向右下方行走，在第尸1到第人步中有一步向右下方行走,
共CC：_j=/（左t/）种走法；................................................................ （13分）
所以甲获胜时，甲与乙总的走法数为
I （C-X4） + 或窈/（k-j） ] = 产上）喏（1 +（5%））（5-/）由（5歹）
= AX（ 1x44-2x3+3x2+4x1 ）=50, ............................................... （16 分）
P= 50 2所以甲获胜的概率为 （cir 2 （17 分）
19.【命题意图】本题以学生熟悉的双曲线为背景，融入了数列、平面几何和数学文化的元素，考查学生能否将
各个版块的知识有机地结合到一起进行迁移应用，体现了试题的综合性、灵活性和对学生考查的全面性,
有助于选拔具有科学素养,能够举一反三，进行自主探究的拔尖创新型人才.解决该问题需要灵活运用转
化思想，抓住问题的本质特征，提高思维的有效性，考查利用新情境、新问题的创新能力和深入思考的思维
能力.
【参考答案】（1）“2-3/ = 1；（2） \AC\=\BD\；（3）L
【试题解析】（1）因为2a = 2,所以a=l, ............................................. （1分）
因为双曲线E的一个顶点为（1,0）, ............................................... （2分）
一条渐近线的方程为：6”-y=0, .................................................. （3 分）
所以T===-,解得，故双曲线E的方程为:#-3/ = 1； ......................... （4分）
2 3
（2）设* ） ,3（%2，力），C（%3*）,D（%4，，4），因为直线I的斜率不为0,设I的方程为:% = ...
......................................................................... （5 分）
x2-3y- = 1, 、 7 n
联立, 可得：（以2-3）/+2加叼/+n2_]=0,则为+% =-- ........................... （6分）
,x-my^n, 成 一 3
X2-3y2 = 0 , O/nn
联立, 可得：（m2 -3） / +26九夕+几2 = 0,则 y3 +y4 = —- =% +% ,......................... （7分）
,x-my+ny m -3
故线段48,CD的中点重合，|4C| = |50|； ........................................... （9分）
（3）解法 1：因为（2-⑸（2+71）=22-3x12 = 1,
所以 9（2,1）,*-3疗=（"/-题）（/+即）=（2-⑸"（2+0）"=1, .................... （11 分）
因为二项式(2-Q)"与(2+0”的展开式中不含万的项相等，含有的项互为相反数,
（2-VT）"+（2+VT）”
xn-^/3yn = （2—/3 ）", 2
所以 解得:< （13 分）
”+匹=（2+修）", （2+yy”-（2-⑸"
yn =
2石
令。=(2+5)",6 = (2-0)"，则向=1.直线OQm的方程为:北,卢-%相片0, |可|sin =且浮三三
3+%+】
..........................................................................（15 分）
~OQ^t , OQn+：tan % 二 | 前n I - I 0Q：\ |sin 8n = | x y +）-%,l+1yn |
=一~ | （a+6） [ （2+W）a—（2—a/3"）6] —[ （2+^/3'）a+（2—VT）6] （a—b） |= ab= 1,
4V3
故砒 * 0Q“+：lan en为定值1. ..................................................... （17分）
解法 2：因为（2-71）（2+71）= 22-3x12 = 1,
所以。（2,1）,其-34= （%“-6%）（%“+⑶“）=（2-6）"（2+万）"=1, .................... （11 分）
因为二项式（2-。）”与（2+Q）”的展开式中不含万的项相等，含石的项互为相反数，
所以 “"一"以 = （2-VJ）", ........................................................ （12 分）
（xn+i =2xn+3yn,
则％“+1-6九+1=（2-笈）（*"-6%）=2%“+3夕”-右（％"+2%）,1 ................ （14 分）
M+1 =怎+2%.
直线 OQn+i 的方程为:%+产-册+1广。J OQzJsin /"J "二.......................... （15 分）
。。", 0Q“+i tan 0n= I 0Q“ I T。。“+1 I sin 0n= | x y +1-% +1y |= | % （% +2y ） - （2xn +3y ） y | =区-3短=1,
故元 en为定值I......................................................（17分）
