北京市朝阳区清华大学附属中学朝阳学校、望京学校 2025届高三（上）
12 月月考数学试题
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { | 2 ≤ 4}, = { ∈ | > 1}，则 ∩ =( )
A. {0,1,2} B. {1,2} C. { 1,0,1,2} D. { | 1 < ≤ 2}
2.在复平面内，点( 1,2)对应的复数为 ( )，则实数 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
√ 3 √ 6
3.已知锐角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有一点 ( , )，则cos( + ) =( )
3 3
√ 3 √ 6 √ 3 √ 6
A. B. C. D.
3 3 3 3
4.如图，在 中， 是 的中点．若 = , = ，则 =( )
1 1
A. 3 2 B. 2 C. + 2 D. +
2 2
,& ≥ 2
5.设函数 ( ) = { 2 ，则满足 ( ) ≤ 2的 的取值范围是( )．
2 ,& < 2
A. [0,4] B. (0,4] C. [ 2,4] D. [ 2,0]
6.已知抛物线 2 = 8 上一动点 ，则 到点(2,0)和点(4,1)的距离之和的最小值是( )
A. 2√ 5 B. 4 C. 5 D. 6
7.在 中，“tan tan < 1”是“∠ 为钝角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.设圆 的半径为3，其一条弦 = 4, 为圆 上任意一点，则 的最大值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
9.已知函数 ( ) = 2 ( )，且 = 0是 ( )的极小值点，则 ( )可以是( )
A. sin B. ln( + 1) C. D. 1
10.设集合 ， ， ， ， ， 中至少有两个元素，且 ， 满足：
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①对于任意 ， ∈ ，若 ≠ ，都有 ∈
②对于任意 ， ∈ ，若 < ，则 ∈ ；
下列命题正确的是( )
A. 若 有4个元素，则 ∪ 有7个元素 B. 若 有4个元素，则 ∪ 有6个元素
C. 若 有3个元素，则 ∪ 有5个元素 D. 若 有3个元素，则 ∪ 有4个元素
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.已知双曲线 的焦点为 1( 2,0), 2(2,0)，实轴长为2，则双曲线 的离心率为 ，渐近线方程为
12.已知{ }为等差数列， 为其前 项和．若 1 + 9 = 18, 4 = 7，则 10 =
13.若直线 + = 0与⊙ : ( 1)2 + 2 = 4交于 , 两点，写出满足“| | = 2”的 的一个值
14.已知空间 、 、 、 四点中任意两点间的距离都等于√ 2，则点 到平面 的距离为 ．
+1 , +1 >
15.已知无穷数列{ }满足：对任意 ∈
，有 > 0，且 +2 = { + , ≤ .给出下列四个结论： +1 +1
①存在无穷多个 ∈ ，使得 +2 = +1 + ；
②存在 ∈ ，对任意 ∈ ，有 = +3 ；
③对任意 ∈ ，有 + +2 = +4；
+ + +
④对任意 ∈ ，存在互不相同的 1, 2,
1 2 3
，使得 = 2． + + + 1 2
其中所有正确结论的序号是
三、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2√ 3sin cos + 2 2 ( > 0)，且 ( )的最小正周期为 ．
(1)求 的值及函数 ( )的单调递减区间；
(2)将函数 ( )的图象向右平移 个单位长度后得到函数 ( )的图象，当 ∈ (0, )时，求函数 ( )的值域．
6 2
17.(本小题12分)
在 中，已知 cos + cos = 2 cos ，
(1)求 ；
(2) 的周长为9，再从以下条件中选择一个，使三角形存在且唯一确定，并求 的面积．
√ 2 √ 3
①cos = ；②sin = ；③ = 3．
2 2
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分．
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18.(本小题12分)
如图所示的几何体中， 垂直于梯形 所在的平面，∠ = ∠ = , 为 的中点， = √ 2, =
2
1
= = 1，四边形 为矩形，线段 交 于点 ．
2
(1)求证： //平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
19.(本小题12分)
2 2 2
已知椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的短轴长为2√ 2，右焦点为 ( , 0)，直线 ： = 与 轴交于点 ，且| | =
2| |.过点 的直线与椭圆交于 , 两点．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)过点 且平行于 轴的直线交椭圆于另一点 ，求 面积的最大值．
20.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ( 2 + )，曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线方程记为 = ( ).定义函数 ( ) =
( ) ( )．
(1)当 = 1时求 ( )的解析式；
(2)当 > 0时，判断函数 ( )的单调性并说明理由；
( ) ( )
(3)若 满足当 ≠ 时，总有 > 0成立，则称实数 为函数 ( )的一个“ 点”，求函数 ( )的所有
点．
21.(本小题12分)
已知有穷数列{ }，从数列{ }中选取第 1项、第 2项、 、第 项( 1 < 2 < < )，顺次排列构成数列{ }，
其中 = , 1 ≤ ≤ ，则称新数列{ }为{ }的长度为 的子列．规定：数列{ }的任意一项都是{ }的
长度为1的子列，若数列{ }的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列{ }为完全数列．设数列{ }满
足 = ，1 ≤ ≤ 25, ∈
．
(1)判断下面数列{ }的两个子列是否为完全数列，并说明由；
数列①：3，5，7，9，11；数列②：2，4，8，16．
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(2)数列{ }的子列{ }长度为 ，且{ }为完全数列，证明： 的最大值为6；
1 1 1 1 1
(3)数列{ }的子列{ }长度 = 5，且{ }为完全数列，求 + + + + 的最大值． 1 2 3 4 5
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】2
= ±√ 3
12.【答案】100
13.【答案】√ 3(答案不唯一)
2√ 3
14.【答案】
3
2
/ √ 3
3
15.【答案】①③④
16.【答案】(1)由 ( ) = 2√ 3sin cos +2 2 = √ 3sin2 + cos2 +1
= 2sin (2 + ) + 1，
6
2
由于 ( )的最小正周期为 ，故 = ，解得 = 1，
2
则 ( ) = 2sin (2 + ) + 1，
6
3 2
令 +2 ≤ 2 + ≤ + 2 , ∈ ，解得 + ≤ ≤ + , ∈ ，
2 6 2 6 3
2
故单调递减区间为[ + , + ] , ∈ ．
6 3
(2)由题意可得 ( ) = ( ) = 2sin[2 ( ) + ] + 1 = 2sin (2 )+ 1，
6 6 6 6
5
当 ∈ (0, )时，2 ∈ ( , )，
2 6 6 6
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1
则sin (2 ) ∈ ( , 1]，所以2sin(2 )+ 1 ∈ (0,3],
6 2 6
则函数 ( )的值域为(0,3]．
17.【答案】(1)由 cos + cos = 2 cos ，
根据正弦定理得，sin cos + sin cos = 2sin cos ，
则sin( + ) = sin = 2sin cos ，
1
又 ∈ (0, )，所以sin > 0，则1 = 2cos ，即cos = ，
2
又 ∈ (0, )，所以 = ．
3
(2)选择条件①：
√ 2 2
由cos = ， ∈ (0, )，无解，不符合题意；
2 3
选择条件②：
√ 3 2
由sin = ， ∈ (0, )，则 = ， = ，
2 3 3 3
所以 为等边三角形，
因为 的周长为9，则 + + = 3 = 9，即 = = = 3，
1 1 √ 3 9√ 3
所以 的面积为 × 3 × 3 × sin = × 3 × 3 × = ；
2 3 2 2 4
选择条件③：
由题意， = ， = 3，
3
因为 的周长为9，则 + + = 9，即 + = 6，
2+ 2
2
1
由余弦定理得，cos = = ，
2 2
( + )2 2 9 1 27 2 1
则 = ，即 = ，即 = 9，
2 2 2 2
则 = = 3，此时 为等边三角形，
1 1 √ 3 9√ 3
则 的面积为 × 3 × 3 × sin = × 3 × 3 × = ．
2 3 2 2 4
18.【答案】(1)证明：因为四边形 为矩形，线段 交 于点 ，所以 为 的中点．
连接 ，在 中， ， 分别为 ， 的中点，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
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所以 //平面 ．
(2)因为 垂直于梯形 所在的平面，∠ = ∠ = ，
2
所以 ， ， 两两垂直，
如图以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系．
则 (0,0, √ 2)， (1,0,0)， (1,1,0)， (0,2,0)， (0,0,0)，
所以 = (1,1, √ 2)， = ( 1,1,0)， = (0,1,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= + √ 2 = 0
则{ ，令 = 1，则 = (1,1, √ 2)，
= + = 0
设平面 的一个法向量为 = ( 1 , 1 , 1)，
= 1 = 0则{ ，令 1 = √ 2，则 = (√ 2, 0,1)，
= 1 + 1 √ 2 1 = 0
√ 2+√ 2 √ 6
所以cos , = = ，
√ 1+1+2 √ 2+0+1 3
由图可知二面角 的平面角是钝角，
√ 6
所以二面角 的平面角余弦值为 ．
3
2 = 2√ 2 =
2 √ 2
19.【答案】(1)由题意可得{ = 2( )，解得{ 2 = 4 ,
2
2 = 2 + 2 = 6
2 2 2 √ 6
所以椭圆的方程为 + = 1，离心率为 = = = ．
6 2 √ 6 3
(2)由(1)得，直线 ： = 3，则 (3,0)，
由题意，显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为 = ( 3)，
= ( 3)
联立{ 2 2 ，整理得(3 2 + 1) 2 18 2 + 27 2 6 = 0，
+ = 1
6 2
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√ 6 √ 6
依题意 = ( 18 2)2 4(3 2 +1)(27 2 6) = 12(2 3 2)> 0，得 < < ，
3 3
2 2
( 18 27 6设 1, 1), ( 2, 2)，则 1 + 2 = 2， 1 2 = 2 ，
1+3 1+3
设 = ，即有( 1 3, 1) = ( 2 3, 2)，
即 1 3 = ( 2 3), 1 = 2，
设 ( 1, 0)，即有
2 2
1 +3 0 = 6，
则 0 = 1 , (2,0), = ( 1 2, 1) = ( 1 2, 2), = ( 2 2, 2)，
所以 + = 0，由于 = 1
3
1 2 ， 2 3
3
因为( 1 2) + (
1
2 2) = ( 1 2) + ( 2 2) 2 3
( 1 2)( 2 3)+( 1 3)( 2 2) 2 5( + )+12= = 1 2 1 2 ，
2 3 2 3
2 2
27 6 18
又因为2 1 2 5( 1 + 2)+ 12 = 2 × 2 5 × 2 +12
1+3 1+3
2 2 2
54 12 90 +12+36
= 2 = 0，
1+3
2 5( + )+12
所以 1 2 1 2 = 0，即有(
3 1
2) + ( 2 2) = 0，
2
故有 = ，则 , , 三点共线，
1 1 2
所以 面积 = | | × | 2 ( 2 1
)| = × | | × | + |
2 2 1
1 1
= × 1 × | ( 2 3) + ( 1 3)| = × | ( 1 + 2) 6 | 2 2
1 6| | 3 3 √ 3
= × 2 = 1 ≤ = ， 2 3 +1 3| |+ 12 3| | 2| | √ | |
1 √ 3 √ 6 √ 6
当且仅当3| | = ，即 = ± 时取等号，满足 < < ，
| | 3 3 3
√ 3
∴ 面积的最大值 ．
2
20.【答案】(1)函数 ( ) = ( 2 + )，求导得 ′( ) = ( 2 + 3 + 1) ，则 ′(1) = 5 ，而 (1) = 2 ，
则函数 ( )的图象在(1,2 )处的切线方程为： 2 = 5 ( 1)，即 = 5 3 ，
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所以 ( )的解析式为 ( ) = 5 3 ．
(2)由(1)知， ′( ) = ( 2 + 3 + 1) ，而 ( ) = ( 2 + ) ，
曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线方程为 ( ) = ′( )( )，
则 ( ) = ′( )( ) + ( ) = ( 2 + 3 + 1) ( ) + ( 2 + )
= ( 2 + 3 + 3 2 2)
( ) = ( ) ( ) = ( 2 + ) ( 2 + 3 + 3 2 2) ，
求导得 ′( ) = ( 2 + 3 + 1) ( 2 + 3 + 1) = [ 2 +3 + 1 ( 2 +3 + 1) ]，
令 ( ) = 2 + 3 +1 ( 2 + 3 + 1) ，求导得 ′( ) = 2 + 3+ ( 2 + 3 + 1)
(2 +3) +( 2+3 +1)
= ，令 ( ) = (2 + 3)
+ ( 2 +3 + 1) ，
5 5
求导得 ′( ) = (2 + 5) ，当 < 时， ′( ) < 0，当 > 时， ′( ) > 0，
2 2
5 5
函数 ( )在( ∞, )上单调递减，在( ,+∞)上单调递增，
2 2
5 5 5 5
故 ( ) ≥ ( ) = 2 2 + ( 2 + 3 +1) = +2[( 2 + 3 +1) 2 2]
2
5 5 5
2 + +当 > 0时，( + 3 + 1) 2 2 > 2 2 > 2 2 > 0，则 ( ) > 0，即 ′( ) > 0恒成立，
函数 ( )在 上单调递增，而 ( ) = 2 + 3 + 1 ( 2 + 3 + 1) 0 = 0，
则当 < 时， ( ) < 0，即 ′( ) < 0， ( )在( ∞, )上单调递减；
当 > 时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0， ( )在( ,+∞)上单调递增，
所以当 > 0时，函数 ( )的单调递减区间为( ∞, )，单调递增区间为( ,+∞)．
( ) ( )
(3)当 ≠ 时，总有 > 0成立，即 ( )与 同号，
则当 < 时， ( ) < 0，当 > 时， ( ) > 0，
而 ( ) = ( 2 + ) ( 3 +3 2 + 3 2 2) = 0，由(2)知： ′( ) = ( ) = 0，
′( ) = 2 + 5 + 4，若 ′( ) < 0，即 4 < < 1，则存在 1使得 ∈ ( , 1)时， ′( ) < 0，
函数 ( )在( , 1)上单调递减， ( ) < ( ) = 0， ′( ) < 0，
( )在( , 1)上单调递减， ( ) < ( ) = 0，不合题意；
若 ′( ) > 0，即 < 4或 > 1，则存在 2使得 ∈ ( 2 , )时， ′( ) > 0，
函数 ( )在( 2, )上单调递增， ( ) < ( ) = 0， ′( ) < 0，
( )在( 2, )上单调递减， ( ) > ( ) = 0，不合题意；
因此 ′( ) = 2 + 5 +4 = 0，即 = 4或 = 1，
当 = 4时， ( ) = ( 2 + ) (16 12 + + 64 32) 4 = ( 2 + ) (5 + 32) 4，
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( 1) = 27 4 < 0，与当 > 时， ( ) > 0矛盾；
当 = 1时， ( ) = ( 2 + ) ( 3 + 1) 1 = ( 2 + ) + ( + 1) 1，
又( + 1) ( ) = ( + 1)2( + 1)，令 ( ) = + 1，求导得 ′( ) = ( + 1) ，
当 < 1时， ′( ) < 0，当 > 1时， ′( ) > 0，
函数 ( )在( ∞, 1)上单调递减，在( 1,+∞)上单调递增，
( ) ≥ ( 1) = 0，当且仅当 = 1时取等号，于是( + 1) ( ) ≥ 0，当且仅当 = 1时取等号，
( )
因此当 ≠ 1时，( + 1) ( ) > 0恒成立，即 > 0恒成立，
+1
所以函数 ( )的所有 点 1．
21.【答案】(1)数列①不是完全数列，数列②是完全数列，理由如下：
数列①：因为3 + 9 = 5 + 7 = 12，所以数列①不是完全数列；
数列②：因为2 + 4 = 6,2 + 8 = 10,2 + 16 = 18,4+ 8 = 12,4+ 16 = 20,8+ 16 = 24，
2 + 4 + 8 = 14,2+ 4 +16 = 22,2+ 8 + 16 = 26,4+ 8+ 16 = 28,2+ 4+ 8 +16 = 30，
即每一子列的所有项的和都不相同，所以数列②是完全数列．
(2)证明：假设存在完全数列{ }，其长度为7 ≤ ≤ 25，则 1 < 2 < < ，
则长度为 的数列{ }的每一子列的所有项的和有2
1个，
设其所有项的和的最小值为 = 1 + 2，最大值为 ，
( 2)(53 )
则 = 25 +24 + +28 + 1 + 2 = + 1 + 2， 2
( 2)(53 ) ( 2)(53 )可得2 1 ≤ [ + 1 + 2] ( 1 + 2)+ 1 = +1， 2 2
整理得2 +1 + 2 57 + 102 ≤ 0，
当 = 7时，27+1 + 72 57× 7 + 102 = 8 > 0；
当 = 8时，28+1 + 82 57× 8 + 102 = 222 > 0；
当 = 9时，29+1 + 92 57 × 9 + 102 = 694 > 0；
当10 ≤ ≤ 25，则2 +1 + 2 +102 ≥ 210+1 + 102 + 102 = 2250，57 ≤ 57× 25 = 1425，
所以2 +2 + 2 57 + 104 ≥ 2250 1425 = 825 > 0；
综上所述：当7 ≤ ≤ 25时，不存在 ∈ ，使得2 +2 + 2 57 +102 ≤ 0成立．
所以假设不成立，则 ≤ 6，且12,18,21,23,24,25，符合题意，
所以 的最大值为6．
(3)因为{ }长度 = 5，且{ }为完全数列，且 1 < 2 < 3 < 4 < 5，
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可知 1的最小值为1， 2的最小值为2，取 1 = 1, 2 = 2；
因为 1 + 2 = 3，则 3的最小值为4，取 3 = 4；
因为 1 + 3 = 5, 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 = 7，则 4的最小值为8，取 4 = 8；
因为 1 + 4 = 9, 2 + 4 = 10, 3 + 4 = 12, 1 + 2 + 4 = 11, 1 + 3 + 4 = 13, 2 + 3 + 4 = 14，
1 + 2 + 3 + 4 = 15，
则 5的最小值为16，取 5 = 16；
1 1 1 1 1
此时 1, 2 , 3 , 4, 5均取到对应的最小值，则 , , , , 均取到对应的最大值， 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 31
则 + + + + = 1 + + + + = ，
1 2 3 4 5 2 4 8 16 16
1 1 1 1 1 31
所以 + + + + 的最大值为 ．
1 2 3 4 5 16
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