2024-2025学年郑州市新密青屏高中高一上学期数学
函数y＝A sin (ωx＋φ)、三角函数的应用
测试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．将y＝cos 2x的图象向左平移φ个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ＝( )
A． B． C． D．
2．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与g(x)＝sin 能构成“和谐”函数的是( )
A.f(x)＝sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin ＋2
3．将函数y＝2cos 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数f(x)的图象，则f(x)图象的一条对称轴方程为( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
4．音叉由钢质或铝合金材料制成，由两个振动臂(叉臂)和一个叉柄组成(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝ sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为( )
A．200 B．400 C．200π D．400π
5.
如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则f(x)在[0，π]上的图象大致为( )
6.
函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数2f(x)＋1>0在区间(0，π)上的解集是( )
A． B．
C． D．∪
7．将函数f＝2cos 的图象向左平移个单位长度后得到函数g的图象，若函数g在上单调递增，则实数t的取值范围是( )
A． B．
C． D．
8．已知函数f(x)＝2sin ，把y＝f(x)图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得图象上所有的点向上平移1个单位长度得到函数y＝h(x)的图象，若函数h(x)在区间[0，m]上至少有30个零点，则m的最小值为( )
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．
9．已知曲线C1：y＝cos 4x，C2：y＝sin ，则下列结论正确的是( )
A．把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到曲线C2
B．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到曲线C2
C．把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
D．把曲线C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
10．从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示(均为正弦型曲线)：
体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期(前半个周期)和低潮期(后半个周期)，它们在一个周期内的表现如下表所示：
高潮期 低潮期
体力 体力充沛 疲倦乏力
情绪 心情愉快 心情烦躁
智力 思维敏捷 反应迟钝
如果从同学甲出生到今日的天数为5 860，那么今日同学甲( )
A．体力充沛 B．疲倦乏力
C．心情愉快 D．思维敏捷
11．已知函数f(x)＝sin ＋cos ，则( )
A．函数f为偶函数
B．曲线y＝f(x)的对称轴为x＝kπ，k∈Z
C．f(x)在区间上单调递增
D．f(x)的最小值为－2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压U(单位：V)和时间t(单位：s)满足U＝311 sin ωt(ω>0)，则在一个周期内，电压的绝对值超过的时间为________s.(结果用分数表示)
13.
已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ) 的部分图象如图所示，若S△DBC＝4，A2＋T2≤32，其中T表示函数f(x)的最小正周期，则f(2 023)＝________．
14．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)是偶函数，将y＝f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x).已知y＝g(x)的图象相邻对称中心之间的距离为2π，则ω＝________，若y＝g(x)的图象在其某对称轴处对应的函数值为－2，则g(x)在上的最大值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知函数f(x)＝2sin (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，求g(x)的单调区间．
16.(15分) (15分)如图为一个观光缆车示意图，该观光缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面距离为h m.
(1)求h关于θ的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t s到达OB，求h关于t的函数解析式．
17．(15分)某市某日气温y(℃)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，下面是该天不同时间的气温预报数据：
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(℃) 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7
根据上述数据描出的曲线如图所示，该曲线可近似地看成函数y＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象．
(1)根据以上数据，试求函数y＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π)的表达式；
(2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得室内销售的利润的3倍，但对室外温度的要求是气温不能低于23 ℃，根据(1)中所得函数模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段(用区间表示)将该种商品放在室外销售？(忽略商品搬运时间及其他非主要因素)
18．(17分)已知函数f＝A sin ＋B，在同一个周期内，当x＝时，f取得最大值2，当x＝时，f取得最小值－4.
(1)求f的解析式，并求f在上的单调递增区间；
(2)将f的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，之后再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数g的图象．若函数y＝g－m在上有2个零点，求m的取值范围．
19．(17分)设函数f＝sin －2sin2x＋1.
(1)若f＝，α∈，求角α；
(2)若不等式＋2a cos－2a－2<0对任意x∈时恒成立，求实数a的取值范围；
(3)将函数f的图象向左平移个单位长度，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数g的图象，若存在非零常数λ，对任意x∈R，有g＝λg成立，求实数m的取值范围．
2024-2025学年郑州市新密青屏高中高一上学期数学
函数y＝A sin (ωx＋φ)、三角函数的应用
1．A [将y＝cos 2x的图象向左平移φ个单位长度，所得图象对应的函数为y＝cos 2(x＋φ)＝cos (2x＋2φ)，因为其图象关于原点对称，所以2φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝＋(k∈Z)，因为0<φ<，所以φ＝，故选A.]
2．D [将函数g(x)图象上的所有的点向上平移2个单位长度，即得到函数f(x)＝sin ＋2的图象，故选D.]
3．C [由题意知f(x)＝4cos ，则令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，当k＝－1时，x＝－，故选C.]
4．D [由题意可得，ω>0，T＝4×＝，即＝，则ω＝400π.故选D.]
5.
B [如图，过点M作MD⊥OP于点D，则由题意可得PM＝|sin x|，OM＝|cos x|.在Rt△OMP中，S△OMP＝MD·OP＝OM·PM，所以MD＝＝＝|cos x sin x|＝|sin 2x|，即f(x)＝|sin 2x|，其在[0，π]上的图象是选项B中的图象．]
6．D [由题图知＝－＝ T＝π＝ ω＝2，则f(x)＝cos (2x＋φ).将代入f(x)的解析式，则2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z φ＝－＋2kπ，k∈Z.
∵|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝cos .
法一：由2f(x)＋1>0，得cos >－，则－＋2kπ<2x－<2kπ＋，k∈Z，即－＋kπ
7．A [由题意函数f＝2cos 的图象向左平移个单位长度后得到函数g的图象，
故g＝2cos ＝2cos ，令2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，则kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
即g的单调增区间为(k∈Z)，
又函数g在上单调递增，则 (k∈Z)，
而t>0，故，解得0
9．BD [把曲线C1向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 4＝cos ，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到曲线y＝cos ＝cos ＝sin ，选项A错误．把曲线C1向右平移个单位长度，得到曲线y＝cos ，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到曲线y＝cos ＝cos ＝sin ，选项B正确．把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到曲线y＝cos 8x，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 8，选项C错误．把曲线C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到曲线y＝cos 2x，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到曲线y＝cos ＝cos ＝cos ＝sin ，选项D正确．故选BD.]
10．BC [由题图中数据可知体力的周期为T1＝23，情绪的周期为T2＝28，智力的周期为T3＝33.从同学甲出生到今日的天数为5 860，故对于体力，有5 860＝ 23×254 ＋18，处于低潮期，疲倦乏力；对于情绪，有5 860 ＝28×209＋8，处于高潮期，心情愉快；对于智力，有5 860＝33×177＋19，处于低潮期，反应迟钝．故今日同学甲疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝．故选BC.]
11．AC [f(x)＝sin ＝－sin 2x，
f＝－sin 2＝cos 2x，f为偶函数，A正确．
令2x＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋π，k∈Z，即f(x)的对称轴为x＝＋π，k∈Z，B错误；
令＜2x＜π，则＜x＜π，∴f(x)在上单调递增，而 ，∴f(x)在上单调递增， C正确；f(x)min＝－，D错误．选AC.]
12．[解析] 由图象知T＝0.02，则ω＝＝100π，U＝311sin (100πt).在区间[0，0.02]内，令311sin (100πt)＝，则sin (100πt)＝，得100πt＝或100πt＝，可得t＝或t＝＝；同理令311sin (100πt)＝－，可得t＝或t＝.综上可知，在一个周期内电压的绝对值超过的时间为＋＝(s).
[答案]
13．[解析] 由图可知DC＝，因为S△DBC＝4，所以××A＝4，即A×T＝16，又因为A2＋T2≤32，且A2＋T2≥2A×T＝32，当且仅当A＝T时等号成立，所以A2＋T2＝32，所以A＝T＝4，所以ω＝＝，所以f(x)＝4sin ，又因为f(0)＝4sin φ＝2，所以sin φ＝，又因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝4sin ，所以f(2 023)＝4sin ＝－2.
[答案] －2
14．[解析] ∵函数f＝A sin (A>0，ω>0，0<φ<π)是偶函数，∴φ＝＋kπ(k∈Z)，
又0<φ<π，∴φ＝，∴f＝A sin ＝A cos ，
∵将y＝f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x)，∴g＝f＝A cos ，
∵y＝g(x)的图象相邻对称中心之间的距离为2π，
∴·＝2π，解得ω＝1，
∵y＝g(x)的图象在其某对称轴处对应的函数值为－2，A>0，
∴A＝2，∴g＝2cos ，x∈时，＋∈，cos ∈，
故g＝2cos ∈，∴g(x)在上的最大值为.
[答案] 1
15．[解] (1)由题意知，T＝＝＝π，所以ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin .
将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝2sin ＝2sin 的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2sin 的图象，
由－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得－≤x≤－(k∈Z)；
由＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得－≤x≤＋(k∈Z).
故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z).
16.
[解] (1)如图，过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M.
当θ>时，∠BOM＝θ－，h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sin .
当0≤θ≤时，上述解析式也适合．
则h关于θ的函数解析式为
h＝4.8sin ＋5.6(θ≥0).
(2)点在⊙O上逆时针运动的角速度是＝ rad/s，
∴t s转过的弧度数为t，
∴h＝4.8sin ＋5.6，
t∈[0，＋∞).
17．[解] (1)由函数图象，可得，解得b＝20，A＝6.
又由＝15－3＝12，解得T＝24，所以ω＝＝.
当t＝3时，可得y＝14，即6sin ＋20＝14，解得sin ＝－1，
即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝＋2kπ，k∈Z，
又因为|φ|<π，所以φ＝－，
所以y＝6sin ＋20，t∈[0，24].
(2)令y＝6sin ＋20≥23，可得sin ≥，
解得＋2kπ≤t－≤＋2kπ，k∈Z.
解得11＋24k≤t≤19＋24k，k∈Z.
又因为t∈(0，24)，所以当k＝0时，可得11≤t≤19，
所以一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在t∈[11，19]时间段将该种商品放在室外销售．
18．[解] (1)依题意，有，解得A＝3，B＝－1，又＝－＝，则T＝＝π，可得ω＝2，
此时，f＝3sin －1，
由f＝3sin －1＝2，sin ＝1得＋φ＝2kπ＋，φ＝2kπ＋，其中k∈Z，又<，所以φ＝，所以，f＝3sin －1，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
又x∈，所以f在上的单调递增区间为，.
(2)将f的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，之后再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，
得到的函数g的表达式为g＝3sin ，因为x∈，所以4x－∈，
可知g在上单调递增，在上单调递减，又g＝－，g＝3，g＝，
所以若函数y＝g－m在上有2个零点时，m的取值范围为.
19．[解] (1)∵f＝sin －2sin2x＋1＝sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，
又∵f(α)＝，即sin ＝，∴2α＋＝＋2kπ或2α＋＝＋2kπ(k∈Z)，
即α＝kπ或α＝＋kπ(k∈Z).
∵α∈，∴α＝0或α＝.
(2)＋2a cos －2a－2
＝sin2＋2a cos－2a－2
＝－cos2＋2a cos－2a－1.
令t＝cos ，∵x∈，∴2x＋∈，
∴cos ∈，∴－t2＋2at－2a－1<0，t∈，即2a
令m＝t－1∈，＝＝m＋＋2.
设h＝m＋＋2，m∈，任取m1，m2∈，且m1
∵－1
∴h－h<0，即h
所以实数a的取值范围是.
(3)∵f＝sin ，∴f的图象向左平移个单位长度，横坐标变为原来的，
可得y＝sin
＝sin .
∴g＝sin ，存在非零常数λ，对任意的x∈R，g＝λg成立，
∵g在R上的值域为，则λg在R上的值域为，∴＝1.
当λ＝1时，g＝g，1为g的一个周期，即1为g最小正周期的整数倍．
所以＝1，即m＝kπ(k∈Z且k≠0).
当λ＝－1时，g＝sin ＝－g＝－sin ＝sin .
由诱导公式可得2m＝π(n∈Z)，即m＝(n∈Z)，
∴当λ＝1时，m的取值范围是{m|m＝kπ，k∈Z且k≠0}；
当λ＝－1时，m的取值范围是.
