2024-2025学年甘肃省兰州二十二中九年级（上）期末数学试卷
一、单选题
1．（3分）纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）2024年7月，国家统计局发布2024年夏粮产量数据，我省小麦总产量为49.64亿斤，比上年增加0.22亿斤，增长0.45%；单产626.95斤亩，创历史新高．数据49.64亿斤用科学记数法可以表示为（ ）
A．4.964×109斤 B．49.64×108斤
C．0.4964×1010斤 D．4.964×10斤
3．（3分）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（ ）
A．155° B．125° C．115° D．65°
4．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x+5）＝x2+5x B．（x+1）（x+1）＝x2﹣1
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x2+2x+4＝（x+1）2+3
5．（3分）方程4x2﹣4x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有一个实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．无实数根
6．（3分）点A、B在数轴上的对应点的位置如图所示，A、B分别表示有理数a、b，则下列说法不正确的是（ ）
A．a＜﹣1 B．b＞1 C．|a|＞|b| D．a﹣b＜0
7．（3分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC＝25cm，∠ABC＝α，则高AD为（ ）cm．
A． B．50cosα C．25tanα D．25sinα
8．（3分）小磊在画一次函数的图象时列出了如下表格，小颖看到后说有一个函数值求错了．这个错误的函数值是（ ）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 9 5 1 ﹣4 ﹣7 ﹣11 …
A．1 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣11
9．（3分）红星学校在日本战败投降79周年纪念日这天举行了“铭记历史，警钟长鸣”的主题教育活动，学校需要从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选择两名同学作为“勿忘历史”和“奋进新征程”两个栏目的宣传大使，则恰好选中乙为“勿忘历史”栏目宣传大使、丙为“奋进新征程”栏目宣传大使的概率（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）如图，点A，B，C在半径为3的⊙O上，∠ACB＝30°，则的长为（ ）
A．3 B． C．π D．
12．（3分）如图，⊙O的半径为2，点P是半径OA上的一个动点，过点P作直线MN且∠APN＝60°，过点A的切线AB交MN于点B．设OP＝x，△PAB的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
13．（3分）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝ ，＝ ．
16．（3分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：钉尖向上的频率＝）
下面有三个推断：
①当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以“钉尖向上”的概率是0.667；
②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620；
其中合理的是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝3．
20．如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于两点A（1，n），B（﹣3，﹣1），与y轴相交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；
（2）求△AOB的面积．
21．如图，在四边形ABCD中，AD＝AB＝BC，AC⊥BD交于点O．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）如图2，过四边形ABCD的顶点A作AE⊥BC于点E，交OB于点H，若AB＝AC＝6，求四边形OHEC的面积．
22．垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低廉，深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状呈如图②所示的抛物线型，它距离地面的高度y（m）与到树干的水平距离x（m）之间满足关系式y＝﹣x2+bx+c．已知这枝垂柳的始端到地面的距离OA＝5m，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离OB＝5m．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）踩着高跷的小明头顶距离地面2m，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰到树枝？
23．下面是小东设计的“作平行四边形ABCD，使∠B＝45°，AB＝1.8cm，BC＝2.6cm”的作图过程．
作法：如图，①画∠B＝45°；
②在∠B的两边上分别截取BA＝1.8cm，BC＝2.6cm；
③以点A为圆心，BC长为半径画弧，以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于点D；
④连接AD，CD．
则四边形ABCD为所求的平行四边形．
根据小东设计的作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB＝ ，CB＝ ，
∴四边形ABCD为所求的平行四边形．（ ）（填推理的依据）．
24．高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野，…为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中a的值为 ，圆心角β的度数为 ；
（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？对这些学生用一句话提一条阅读方面的建议．
25．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB＝24cm，BE＝AB，试管倾斜角∠ABG为12°．
（1）求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝28cm，MN＝8cm，∠ABM＝147°，求线段DN的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
26．如图，AB是⊙O的直径，点D在射线BA上，点C是⊙O上一点，过点B作BE⊥DC于点E，BC平分∠ABE．
（1）求证：直线DC是⊙O的切线；
（2）若DC＝8，DA＝4，求AB的长．
27．综合与实践
动手操作
利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图1，点E为正方形ABCD的AB边上的一个动点，AB＝3，将正方形ABCD对折，使点A与点B重合，点C与点D重合，折痕为MN．
思考探索
（1）将正方形ABCD展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点B'落在MN上，折痕为EC，连接DB'，如图2．
①点B'在以点E为圆心， 的长为半径的圆上；
②B'M＝ ；
③△DB'C为 三角形，请证明你的结论．
拓展延伸
（2）当AB＝3AE时，正方形ABCD沿过点E的直线l（不过点B）折叠后，点B的对应点B'落在正方形ABCD内部或边上．
①△ABB'面积的最大值为 ；
②连接AB'，点P为AE的中点，点Q在AB'上，连接PQ，∠AQP＝∠AB'E，则B'C+2PQ的最小值为 ．
28．对于平面直角坐标系中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”．
（1）已知点A（﹣4，8），B（6，0），C（6，6），D（﹣2，9）．
①在上面四点中，与点E（﹣5，﹣7）为“和合点”的是 ；
②若点F（﹣3，0），过点F作直线l⊥x轴，点G在直线l上，A，G两点为“和合点”，则点G的坐标为 ；
③若点M（2a，3b）在第二象限，点N（﹣3a，﹣b）在第四象限，且A，M两点为“和合点”，D，N两点为“和合点”，求a，b的值；
（2）如图2，已知点H（﹣5，0），K（0，5），点R（x，y）是线段HK上的一动点，且满足x﹣y＝﹣5，过点T（n，0）作直线m⊥x轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围．
2024-2025学年甘肃省兰州二十二中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A． C C B B D B A A C
题号 12
答案 D
一、单选题
1．【解答】解：A中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则A不符合题意；
B中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，则B符合题意；
C中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，则C不符合题意；
D中图形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D不符合题意；
故选：B．
2．【解答】解：49.64亿＝4964000000＝4.964×109．
故选：A．
3．【解答】解：如图，∵支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行，
∴∠3＝90°，
∵重力G的方向竖直向下，
∴∠α+∠1＝90°，
∴∠2＝∠1＝90°﹣25°＝65°，
∵摩擦力F2的方向与斜面平行，
∴∠β+∠2＝180°，
∴∠β＝180°﹣∠2＝180°﹣65°＝115°，
故选：C．
4．【解答】解：A．从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：C．
5．【解答】解：∵4x2﹣4x﹣1＝0，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×4×（﹣1）＝16+16＝32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．【解答】解：由图可知，a＜﹣1，0＜b＜1，
∴|a|＞|b|，a﹣b＜0，
∴只有B选项符合题意．
故选：B．
7．【解答】解：在Rt△ABD中，，
∵AB＝AC＝25cm，∠ABC＝α，
∴AD＝25sinαcm．
故选：D．
8．【解答】解：由题可知，设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0）；
根据y值变化的规律性，9，5，1是以4为间隔逐渐减小的，
所以把（﹣3，9），（﹣2，5）代入解析式中；
∴；
解得：k＝﹣4，b＝﹣3；
∴y＝﹣4x﹣3；
当x＝0时，y＝﹣3；
∴函数值﹣4是错误的；
故选：B．
9．【解答】解：学校需要从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选择两名同学作为“勿忘历史”和“奋进新征程”两个栏目的宣传大使，列表格为：
勿忘历史奋进新征程 甲 乙 丙 丁，
甲 ﹣ （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） ﹣ （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） ﹣ （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ﹣
注意：（乙，丙）和（丙，乙）不一样．（乙，丙）表示乙是“勿忘历史”栏目宣传大使，丙是“奋进新征程”栏目宣传大使．（丙，乙）表示丙是“勿忘历史”栏目宣传大使，乙是“奋进新征程”栏目宣传大使．
故符合条件的只有（乙，丙），概率为，
故选：A．
10．【解答】解：根据第一次用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，可得出方程为x+5＝y；又根据第二次将绳索对折去量竿，就比竿短5尺，可得出方程为x﹣5＝，那么方程组是．
故选：A．
11．【解答】解：∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∴的长＝＝π，
故选：C．
12．【解答】解：∵A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线m，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，
∴AO＝2，OP＝x，则AP＝2﹣x，
∴tan60°＝＝，
解得：AB＝（2﹣x）＝﹣x+2，
∴S△ABP＝×PA×AB＝（2﹣x） （﹣x+2）＝x2﹣2x+2，
故此函数为二次函数，
∵a＝＞0，
∴当x＝﹣＝2时，S取到最小值为：＝0，
根据图象得出只有D符合要求．
故选：D．
一、单选题
13．【解答】解：根据分式的性质，由题意得，x﹣3≠0，
解得x≠3，
所以实数x的取值范围是x≠3，
故答案为：x≠3．
15．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴O、E、A三点在同一直线上．
∵＝，
∴位似比＝＝，
∴＝，
∴
＝（）2
＝．
故答案为：；．
16．【解答】解：当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以此时“钉尖向上”的频率是：400÷600≈0.667，但“钉尖向上”的概率不一定是0.667，
故①错误；
随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618，
故②正确；
若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，
故③错误．
故答案为：②．
三、解答题
17．【解答】解：
＝1+4﹣1+2
＝6．
18．【解答】解：解不等式3x﹣4≤2，得：x≤2，
解不等式+2＞x+3，得：x＜﹣4，
则不等式组的解集为x＜﹣4．
19．【解答】解：原式＝（）÷
＝
＝，
当x＝3时，
原式＝．
20．【解答】解：（1）将B（﹣3，﹣1）代入反比例函数解析式得：，
解得：m＝3，
∴反比例函数表达式为．
将A（1，n）代入反比例函数解析式得：，
∴A（1，3）．
将A（1，3），B（﹣3，﹣1）代入一次函数解析式得：，
解得：，
∴一次函数表达式为y＝x+2；
（2）由条件可知C（0，2）．OC＝2，
∴．
21．【解答】（1）证明：∵AD＝AB，AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD，
∴BC＝CD，
∴BC＝CD＝AD＝AB，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）解：如图，连接CH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC，
∵AB＝AC＝6，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE⊥CB，6
∴BE＝CE＝3，
∴AE＝，
∵AO＝OC，BE＝EC，
∴S△AOH＝S△OCH＝S△ECH＝S△BEH，
∴＝．
22．【解答】解：（1）∵OA＝5，OB＝5，
∴A（0，5），B（5，0），
分别代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得，
∴该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）令y＝2，则﹣x2+4x+5＝2，
整理得x2﹣4x﹣3＝0，
解得，（不合题意，舍去），
故小明走出时，头顶刚好碰到树枝．
23．【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵AB＝CD，CB＝AD，
∴四边形ABCD为所求的平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
故答案为：CD，AD，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
24．【解答】解：（1）本次抽样的人数为（人），
∴样本容量为60，
故答案为60；
（2）C组的人数为40%×60＝24（人），
统计图如下：
（3）A组所占的百分比为，
∴a的值为20，
β＝40%×360°＝144°，
故答案为20，144°；
（4）总时间少于24小时的学生的百分比为，
∴全校寒假阅读的总时间少于24小时的学生估计有2000×50%＝1000（名），
建议：读书是人类文明进步的阶梯，建议每天读书至少1小时．
25．【解答】解：（1）∵AB＝24cm，BE＝AB，
∴BE＝＝8，
∵，
∴BG＝8cos12°（cm）；
（2）∵sin12°＝，
∴EG＝8sin12°（cm），
延长GB，NM交于点H，
∴四边形DNHG是矩形，
∴NH＝DG＝DE﹣EG＝（28﹣8sin12°）cm，
∴HM＝NH﹣MN＝（20﹣8sin12°）cm，
∵∠ABG＝12°，∠ABM＝147°，
∴∠FBG＝135°，
∴∠MBH＝45°，
∴BH＝HM＝（20﹣8sin12°）cm，
∴DN＝GH＝BG+BH＝（8cos12°+20﹣8sin12°）cm．
26．【解答】（1）证明：∵BE⊥DC于点E，
∴∠E＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC，
∵BC平分∠ABE，
∴∠EBC＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠EBC，
∴OC∥BE，
∴∠OCD＝∠E＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且DC⊥OC，
∴直线DC是⊙O的切线．
（2）解：∵DC2+OC2＝OD2，且DC8，DA＝4，OC＝OA，
∴82+OA2＝（4+OA）2，
解得OA＝6，
∴AB＝2OA＝12，
∴AB的长为12．
27．【解答】解：（1）由折叠的性质知，BE＝BE′，BC＝B′C，MA＝MB＝NC＝ND＝AB＝，∠B＝∠EB′C，
①由题意得，点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上；
②MB′＝MN﹣MB′＝MN﹣＝3﹣＝；
③∵BC＝B′C＝CD，
而B′D＝＝＝B′C，
∴△DB'C为 等边三角形，
故答案为①BE；②；③等边；
（2）①∵AB＝3AE＝3，则AE＝1，BE＝2，
∵点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上，如图1，
∴△ABB'面积的最大时，只要AB边上的高最大即可，
∴当B′E⊥AB时，△ABB'面积的最大，
∴△ABB'面积＝×AB×B′E＝×3×2＝3，
故答案为3；
②∵∠AQP＝∠AB'E，
∴PQ∥B′E，
∵P是AE的中点，
∴PQ是△AEB′的中位线，如图2，
∴PQ＝B′E，
即B'C+2PQ＝B′C+B′E，
∴E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值为CE，
则CE＝＝＝，
故答案为．
28．【解答】解：（1）①∵A（﹣4，8），B（6，0），C（6，6），D（﹣2，9），
∴点A到两坐标轴的距离之和为|﹣4|+|8|＝12，
点B到两坐标轴的距离之和为|6|+|0|＝6，
点C到两坐标轴的距离之和为|6|+|6|＝12，
点D到两坐标轴的距离之和为|﹣2|+|9|＝11，
∵点E（﹣5，﹣7）到两坐标轴的距离之和为|﹣5|+|﹣7|＝12，
∴在上面四点中，与点E（﹣5，﹣7）为“和合点”的是A，C．
故答案为：A，C；
②∵点F（﹣3，0），过点F作直线l⊥x轴，点G直线l上，
∴设 G（﹣3，a），
∴点G到两坐标轴的距离之和为|﹣3|+|a|＝|a|+3，
∵A、G两点为“和合点”，
∴|a|+3＝12，
解得a＝±9，
∴点G的坐标为（﹣3，9）或（﹣3，﹣9）；
故答案为：（﹣3，9）或（﹣3，﹣9）；
③∵点M（2a，3b）在第二象限，点N（﹣3a，﹣b）在第四象限，
∴2a＜0，3b＞0，﹣3a＞0，﹣b＜0，
∵A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，
∴，即，
解得，
即a＝﹣3，b＝2；
（2）∵点R（x，y）是线段HK上的一动点，且满足x﹣y＝﹣5，
∴y＝x+5，
∴点R到两坐标轴的距离之和为|x|+|y|＝|x|+|x+5|＝﹣x+x+5＝5，
∵R，S两点为“和合点”，
∴﹣5≤n≤5．
