宁夏吴忠中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | > 1}， = { |log2 > 1}，则 ∩ =
A. { | > 1} B. { |1 < < 2} C. { | > 2} D. { | > 0}
2.已知角 的终边经过点 (4, 3)，则 + 2 的值等于( )
3 2 4
A. B. C. 1 D.
5 5 5
1 √ 3
3.已知 为任意角，则“ 2 = ”是“ = ”的( )
3 3
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
3
4.函数 ( ) = cos( + ) 的最小正周期和最大值分别为( )
2
A. ，2 B. ，2 C. 2 ，√ 2 D. 4 ，√ 2
2
5.已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为( )
A. 2 B. 4 C. 2√ 3 D. 4√ 3
6.已知函数 ( ) = lg( 2 4 5)在( , +∞)上单调递增，则 的取值范围是( )
A. [5, +∞) B. [2, +∞) C. ( ∞, 2] D. ( ∞, 1]
7.已知 ( )是定义在 上的偶函数，且周期 = 6.若当 ∈ [ 3,0]时， ( ) = 4 ，则 (2024) =( )
1 1
A. 4 B. 16 C. D.
16 4
2 , ≤ 0
8.已知函数 ( ) = { ，若函数 ( ) = ( ) + 有两个零点，则 的取值范围是( )
2 , > 0
A. [ 1,0) B. [ 1, +∞) C. ( ∞, 0) D. ( ∞, 1]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列计算中正确的是( )
1
A. 已知 = 2，则 =
sin +cos 3
√ 2
B. 20° 10° 160° 10° =
2
1+ 15°
C. = √ 3 1 15
√ 6 √ 2
D. 105° =
4
10.函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, | | < )的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
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1
A. ( ) = 2 ( )
3 6
2
B. 若把 ( )的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到的函数在[ , ]上是增函数
3
C. 若把函数 ( )的图象向左平移 个单位，则所得函数是奇函数
2
D. 函数 = ( )的图象关于直线 = 4 对称
11.若4 + 5 < 4 + 5 ，则下列关系正确的是( )
1
A. < B. 2 < 2 C. 3 > ( ) D. √ > √
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.计算：3 32 + 5 12 × 2 × 23 = ______．
3
13.函数 = √ √ 3 1的定义域为______．
14.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个
系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配
备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量 ( / )与时间 的关系 = 0 ( 0
为最初污染物数量).如果前2个小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还要______小时．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知函数 = 2(
2 + 2)的定义域为 ，集合 = { | 1 ≤ ≤ 2 + 1}．
(1)若 = 1，求 ∩ ，( ) ∪ ；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
3
sin( )cos(2 )cos( + )
(1)化简 ( ) = 2 ．
cos( + )sin( + )
2
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1
(2)已知 < < 0, + = ，求 的值；
2 5
(3)已知 = 2，求sin2 + 2 的值．
17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 4 ( + ) + √ 3．
3
(1)求 ( )最小正周期和单调递增区间；
(2)求 ( )在区间[ , ]上的最大值和最小值及取得最值时 的值．
4 6
18.(本小题15分)
4
(1)已知 2 = ， < < ，求 4 ， 4 ；
5 4 2
3 1
(2)已知tan( + ) = ，tan( ) = ，求tan( + )；
5 3 3 3
4√ 3 11
(3)已知sin( 2 ) = ，cos(2 ) = ，且0 < < < < ，求 + 的值．
7 14 4 2
19.(本小题17分)
3 +1
已知函数 ( ) = 为奇函数． 3 +
(1)求实数 的值并判断 ( )的单调性(无需证明)；
(2)若 ( + 1) > (3 2 )，求 的取值范围；
(3)设函数 ( ) = 3 3 + ，若对任意的 1 ∈ [3,27]，总存在 2 ∈ (0,1]，使得 ( 1) = ( 3 9 2)成立，
求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3
13.【答案】[ + , + ), ∈
6 2
14.【答案】2
15.【答案】解： = 22( + 2)的定义域为 ，集合 = { | 1 ≤ ≤ 2 + 1}，
(1)由 2 + 2 > 0，解得 2 < < 1，则 = ( 2,1)， = ( ∞, 2] ∪ [1, +∞)，
当 = 1时， = [0,3]，
所以 ∩ = [0,1)，( ) ∪ = ( ∞, 2] ∪ [0, +∞)．
(2)由“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要不充分条件，得 ，
当 = 时， 1 > 2 + 1，解得 < 2；
当 ≠ 时， 2 < 1 ≤ 2 + 1 < 1，解得 1 < < 0，
所以实数 的取值范围是( ∞, 2) ∪ ( 1,0)．
3
sin( )cos(2 )cos( + )
16.【答案】解：(1) ( ) = 2
cos( + )sin( +
2
( )
= = = ．
( sin )( sin ) sin sin
1
(2)已知 < < 0, + = ，
2 5
1
则( + )2 = 1 + 2 = ，
25
24 49
所以2 = , ( )2 = 1 2 = ，
25 25
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又 < < 0，
2
所以 < 0， > 0，
7
所以 = ．
5
(3)已知 = 2，
2 sin
2 +2 sin2 +2 tan2 +2 8
则sin + 2 = = = = ．
1 sin2 +cos2 tan2 +1 5
17.【答案】解：(1) ( ) = ( + ) + √ 3
3
= 4 ( ) + √ 3
3 3
= 2 + 2√ 3sin2 + √ 3
= 2 + √ 3 2
= 2 (2 + )，
3
2
所以 ( )的最小正周期为 = = ．
由2 ≤ 2 + ≤ + 2 , ∈ ，
2 3 2
5
解得 ≤ ≤ + , ∈ ，
12 12
5
所以 ( )的单调递增区间为[ , + ], ∈ ．
12 12
2
(2)因为 ≤ ≤ ，所以 ≤ 2 + ≤ ，
4 6 6 3 3
1
所以 ≤ sin(2 + ) ≤ 1，所以 1 ≤ ( ) ≤ 2，
2 3
当2 + = ，即 = 时， ( ) = 1， 3 6 4
当2 + = ，即 = 时， ( ) = 2．
3 2 12
3
18.【答案】解：(1)根据 < < ，可得 < 2 < ，所以 2 = √ 1 cos22 = ，
4 2 2 5
3 4 24 4 7
可得 4 = 2 2 2 = 2 × × ( ) = ， 4 = 2 22 1 = 2 × ( )2 1 = ；
5 5 25 5 25
3 1
(2)因为tan( + ) = ，tan( ) = ，
5 3 3
3 1
tan( + ) tan( ) 2
所以tan( + ) = tan[( + ) ( )] = 3 = 5 3
3 3
= ；
1+tan( + )tan( ) 3 1
3 1+ ×
9
5 3
(3)根据0 < < < < ，可得0 < 2 < ，且 < 2 < ，
4 2 2 4 2
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4√ 3 4√ 3 1
由sin( 2 ) = ，可得cos( 2 ) = √ 1 ( )2 = (舍负)，
7 7 7
由0 < < < < ，得 < 2 < ，且 < 2 < ，
4 2 2 4
11 5√ 3
根据cos(2 ) = ，可得sin(2 ) = ，
14 14
因为cos( + ) = cos[(2 ) ( 2 )]
11 1 5√ 3 4√ 3 1
= cos(2 )cos( 2 ) + sin(2 )sin( 2 ) = × + × = ，
14 7 14 7 2
3
所以结合 < + < ，可得 + = ．
4 4 3
3 +1
19.【答案】解：(1)函数 ( ) = 中，3 + ≠ 0， 3 +
3 +1 3 +1
因为 ( )为奇函数，所以 ( ) = ( )，即 = ， 3 + 3 +
整理得( + 1)(3 + 1) = 0，必有 = 1，
3 +1 2
则 ( ) = = 1 + ， 3 1 3 1
其定义域为( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，
2
设 = 3 1，则 = 1 + ，
1
= 3 1在( ∞, 0)为增函数，此时 1 < < 0，
2
= 1 + 在( 1,0)上为减函数，
1
由复合函数的单调性可知， ( )在( ∞, 0)上单调递减；
同理可得： ( )在(0, +∞)上单调递减；
故 ( )在( ∞, 0)和(0, +∞)上单调递减；
(2)因为 ( )在( ∞, 0)和(0, +∞)上单调递减，并且 ( + 1) > (3 2 )，
2
所以①0 < + 1 < 3 2 ，解得 1 < < ，
3
② + 1 < 3 2 < 0，无解，
+ 1 > 0 3
③ { ，解得 > ，
3 2 < 0 2
2 3
综上所述， 的取值范围为( 1, ) ∪ ( , +∞)；
3 2
2
(3) ( ) = 1 + ， 3 1
2
当0 < ≤ 1时，0 < 3 1 ≤ 2，故1 + ≥ 2， 3 1
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2
所以 ( ) = 1 + 在(0,1]上值域为[2, +∞)， 3 1
又 ( ) = 3 3 + = ( 3 1)( 3 2) + 3 9
= ( 23 ) 3 + 2 + ， ∈ [3,27]，
3 1
令log3 = ，( ∈ [1,3])，则 =
2 3 + 2 + = ( )2 + ，
2 4
3 1
所以当 = 时， = + ，当 = 3时， = 2 + ， 2 4
1
所以函数 ( )在[3,27]上值域为[ + , 2 + ]，
4
因为对任意的 1 ∈ [3,27]，总存在 2 ∈ (0,1]，使得 ( 1) = ( 2)成立，
1 1 9
所以[ + , 2 + ] [2, +∞)，所以 + ≥ 2，解得 ≥ ，
4 4 4
9
所以实数 的取值范围为[ , +∞)．
4
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