2024-2025学年湖北省“楚天教科研协作体”高二（下）2月收心考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
3.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.“”是“直线与直线平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.小明同学有把钥匙，其中把能打开门如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，第二次才能打开门的概率为如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为，则，的值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.已知点，过点引直线与曲线相交于，两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率等于( )
A. B. C. D.
7.在三棱锥中，，，两两垂直，且若为该三棱锥外接球上的一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设，分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点过作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是( )
A. B. 当取得最大值时，
C. 数列是递减数列 D.
10.下列命题正确的是( )
A. 若三个事件，，两两相互独立，则
B. 设，是两个随机事件，且，，若，则，是相互独立事件
C. 若，，则事件，相互独立与，互斥有可能同时成立
D. 若事件，相互独立，，，则
11.如图，在棱长为的正方体中，点为的中点，且点满足，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，则点的轨迹长度为
C. 若，，则
D. 若，，直线与平面所成的角为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.双曲线的两个焦点分别是和，焦距为，是双曲线上的一点，且，则的周长为 ．
13.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响则“星队”在两轮活动中猜对个成语的概率为 ．
14.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤变成简称为步“雹程”现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：为正整数，当时，试确定使得至少需要 步雹程若，则所有可能的取值集合为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程
过点的直线与曲线交于，两点，若，求直线的方程．
16.本小题分
已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于，两点当时，．
求抛物线的方程
证明：无论如何变化，是定值为坐标原点，并求出该定值．
17.本小题分
如图甲，在平面五边形中，，，，，为的中点，以为折痕将图甲中的折起，使点到达如图乙中的点的位置，且．
证明：平面平面
求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
设等比数列的前项和为，已知
求数列的通项公式
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列．
设，求
在数列中是否存在三项、、其中、、成等差数列成等比数列，若存在，求出这样的三项若不存在，说明理由．
19.本小题分
如图，已知圆，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．
求曲线的方程
一组平行直线的斜率为，当它们与曲线有两个公共点时，证明这些直线被曲线截得的线段的中点在同一条直线上
设曲线与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，过点的直线、分别与曲线交于、两点若的面积是的面积的倍，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.解：由题意，，易得在左支上，
利用双曲线的定义知，
故，又焦距为，故三角形的周长为，
故答案为．
13.
14.
15.解：设，由得，
两边平方化简得：，故曲线的方程为：；
当直线斜率不存在时，此时直线与圆相交于，两点，
令，则，，不符合题意，舍；
当直线斜率存在时，设，圆心到直线的距离为．
弦长，故，，
又，平方，得，故或，
所以直线的方程为或，即或
16.解：抛物线的焦点，依题意，直线的斜率不为，
设直线，，，由消去得：，
显然，，，
，
当时，，于是，解得，
所以抛物线的方程为．
由可知，，则，
因此对任意的实数，为定值，
所以无论如何变化，是定值．
17.证明：在平面五边形中，，，
所以四边形是直角梯形，且，．
在直角中，，且，
则，可得，
从而是等边三角形，平分．
因为为的中点，所以，所以，
又因为，且，平面，
所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
取的中点，连接，过点作垂直于点，连接，如图，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，则．
因为，是的中点，所以，
又且，平面，所以平面，
由平面，则；
又因为，所以，则点是的中点，
又，所以，可得．
以为原点，以，所在的直线分别为，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，
，
则
令，则．
设平面的一个法向量为，
，
则
令，则．
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：因为，
所以当时，，
两式相减得，
又因为数列是等比数列，所以，
而，
因此，解得，
因此数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以．
由知，，
因为，
所以，
所以，
则，
所以
，
所以．
假设在数列中存在，，其中成等差数列成等比数列，
则，即，
因为，，成等差数列，
所以 ，不妨设，
整理可得：，即，即，
即，即，
因为，则，故假设不成立，
所以在数列中不存在三项，，其中，，成等差数列成等比数列．
19.解：依题意可知，
所以点的轨迹是椭圆，设其方程为，其中，，，
所以曲线的方程为
设这组平行直线的方程为，
联立得，由得．
设两交点分别为，，的中点为．
则，，
消得即这些直线被曲线截得的线段的中点在同一条直线上．
因为，
直线的方程为，直线的方程为，联立，得，
所以点
所以点到直线的距离为．
联立，得，所以
所以，
所以，
所以，
令，则，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为．
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