(共40张PPT)
再练一课(范围：§2.1～2.8)
第二章
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一、单项选择题
1.过点P(3，－2)且倾斜角为 的直线方程是
A.x＝－2 B.x＝3 C.y＝－2 D.y＝3
√
由倾斜角为 ，知直线垂直于x轴，又直线过点P(3，－2)，所以直线方程为x＝3.
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A.2x±y＝0 B.x±2y＝0
C.3x±y＝0 D.x±3y＝0
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即x±2y＝0.
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3.过坐标原点O作单位圆x2＋y2＝1的两条互相垂直的半径OA，OB，若在该圆上存在一点C，使得 (a，b∈R)，则以下说法正
确的是
A.点P(a，b)一定在单位圆内
B.点P(a，b)一定在单位圆上
C.点P(a，b)一定在单位圆外
D.当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上
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因此点P(a，b)一定在单位圆上.
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4.已知圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，圆C2：x2＋y2－14x－2y＋34＝0，则两圆公切线的条数为
A.1 B.2 C.3 D.4
√
圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，圆心C1(3，－2)，半径r1＝1，
圆C2：(x－7)2＋(y－1)2＝16，圆心C2(7,1)，半径r2＝4，
所以两圆相外切，公切线的条数为3.
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根据对称性不妨设点P(x，y)，y>0，
因为a2＝4，b2＝3，
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6.某探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11 945公里，火星半径约为3 395公里，则调整后探测器的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为
A.0.61 B.0.67 C.0.71 D.0.77
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由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c，最大值为a＋c，
根据题意可得近火点满足a－c＝3 395＋265＝3 660，a＋c＝3 395＋11 945＝15 340，
解得a＝9 500，c＝5 840，
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二、多项选择题
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8.设椭圆C： ＝1的焦点为F1，F2，M在椭圆上，则下列说法正确
的是
A.|MF1|＋|MF2|＝8
B.|MF1|的最大值为7，最小值为1
C.|MF1||MF2|的最大值为16
D.△MF1F2面积的最大值为10
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|MF1|＋|MF2|＝2a＝8，A正确；
|MF1|max＝a＋c＝7，
|MF1|min＝a－c＝1，B正确；
当且仅当|MF1|＝|MF2|＝4时等号成立，C正确；
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三、填空题
10.过点P(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与切线l平行，则切线l与直线m之间的距离为______.
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根据题意，知点P在圆C上，
又直线m与切线l平行，
∴直线m的方程为4x－3y＝0.
11.已知F为双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为_____.
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如图，A(a,0).
由BF⊥x轴且AB的斜率为3，
即b2＝3ac－3a2.
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又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，
∴c2－3ac＋2a2＝0，
∴e2－3e＋2＝0.
解得e＝2或e＝1(舍去).
故e＝2.
12.已知双曲线 ＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线
x2＝2py(p>0)的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|AF|＝c，则双曲线的渐近线方程为________.
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y＝±x
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由已知|OA|＝a，
|AF|＝c，
所以a＝b，所以所求渐近线方程为y＝±x.
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13.已知F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(1，m)在抛物线C上，且|AF|＝ .
(1)求抛物线C的方程；
根据抛物线的定义得
∴抛物线C的方程为y2＝2x.
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(2)已知过点Q(2,1)的直线l与抛物线交于M，N两点，且点Q是线段MN的中点，求直线l的方程.
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设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∵Q(2,1)是线段MN的中点，∴y1＋y2＝2，
∵M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线C上，
于是得(y2－y1)(y2＋y1)＝2(x2－x1)，
得直线l的斜率为1，则直线l的方程为x－y－1＝0.
14.在△ABC中，已知A(1,1)，B(3，－2).
(1)若直线l过点M(2,0)，且点A，B到l的距离相等，求直线l的方程；
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∵点A，B到l的距离相等，
∴直线l过线段AB的中点或l∥AB，
直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2；
即3x＋2y－6＝0，综上，直线l的方程为x＝2或3x＋2y－6＝0.
(2)若直线m：2x－y－6＝0为∠C的平分线，求直线BC的方程.
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∵直线m为∠C的平分线，
∴点A关于直线m的对称点A′(a，b)在直线BC上，
即A′(5，－1)，
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即x－2y－7＝0.
15.已知A，B分别为椭圆E： ＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点， ＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；
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依据题意作图，如图所示，
A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)，
∴a2＝9，即a＝3，
(2)证明：直线CD过定点.
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设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t).
若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3
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可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3).
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可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，
即(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0. ①
代入①式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0.
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15作业54 再练一课(范围：§2.1～§2.8)
[分值：100分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1．过点P(3，－2)且倾斜角为的直线方程是( )
A．x＝－2 B．x＝3 C．y＝－2 D．y＝3
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )
A．2x±y＝0 B．x±2y＝0
C．3x±y＝0 D．x±3y＝0
3．过坐标原点O作单位圆x2＋y2＝1的两条互相垂直的半径OA，OB，若在该圆上存在一点C，使得＝a＋b(a，b∈R)，则以下说法正确的是( )
A．点P(a，b)一定在单位圆内
B．点P(a，b)一定在单位圆上
C．点P(a，b)一定在单位圆外
D．当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上
4．已知圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，圆C2：x2＋y2－14x－2y＋34＝0，则两圆公切线的条数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．设F1，F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，动点P在椭圆上，当△PF1F2的面积最大时，·的值等于( )
A．0 B．1 C．2 D．4
6．某探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点)．成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里．若此时远火点距离约为11 945公里，火星半径约为3 395公里，则调整后探测器的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为( )
A．0.61 B．0.67 C．0.71 D．0.77
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
7．过点(3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的圆锥曲线的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.－＝1
8．设椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，M在椭圆上，则下列说法正确的是( )
A．|MF1|＋|MF2|＝8
B．|MF1|的最大值为7，最小值为1
C．|MF1||MF2|的最大值为16
D．△MF1F2面积的最大值为10
9．下列判断正确的是( )
A．抛物线y2＝x与直线x＋y－＝0仅有一个公共点
B．双曲线x2－y2＝1与直线x＋y－＝0仅有一个公共点
C．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则
三、填空题(每小题5分，共15分)
10．过点P(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与切线l平行，则切线l与直线m之间的距离为________．
11．已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
12．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|AF|＝c，则双曲线的渐近线方程为________．
四、解答题(共37分)
13．(10分)已知F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(1，m)在抛物线C上，且|AF|＝.
(1)求抛物线C的方程；(4分)
(2)已知过点Q(2,1)的直线l与抛物线交于M，N两点，且点Q是线段MN的中点，求直线l的方程．(6分)
14．(12分)在△ABC中，已知A(1,1)，B(3，－2)．
(1)若直线l过点M(2,0)，且点A，B到l的距离相等，求直线l的方程；(6分)
(2)若直线m：2x－y－6＝0为∠C的平分线，求直线BC的方程．(6分)
15．(15分)已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；(5分)
(2)证明：直线CD过定点．(10分)
作业54 再练一课(范围：§2.1～§2.8)
1．B 2.B 3.B 4.C 5.C
6．A [设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c，最大值为a＋c，
根据题意可得近火点满足a－c＝3 395＋265＝3 660，a＋c＝3 395＋11 945＝15 340，
解得a＝9 500，c＝5 840，
所以椭圆的离心率
e＝＝≈0.61.]
7．BC 8.ABC
9．BD [对于A，抛物线方程y2＝x与直线方程x＋y－＝0联立，消去x，可得y2＋y－＝0，Δ＝1＋4>0，所以抛物线y2＝x与直线x＋y－＝0有两个公共点，故A错误；
对于B，双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，直线x＋y－＝0与渐近线y＝－x平行，故双曲线x2－y2＝1与直线x＋y－＝0仅有一个公共点，故B正确；
对于C，若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0，解得1
解得t>4，故D正确．]
10．4 11.2
12．y＝±x
解析 由已知|OA|＝a，
|AF|＝c，
得|OF|＝＝b，
把y＝－＝－b代入双曲线方程－＝1，得x2＝2a2，
所以直线y＝－被双曲线截得的线段长为2a，
从而2a＝2c，c＝a，
所以a2＋b2＝2a2，
所以a＝b，
所以所求渐近线方程为y＝±x.
13．解 (1)根据抛物线的定义得
|AF|＝xA＋＝1＋＝，
解得p＝1，
∴抛物线C的方程为y2＝2x.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∵Q(2,1)是线段MN的中点，
∴y1＋y2＝2，
∵M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线C上，
∴
于是得(y2－y1)(y2＋y1)
＝2(x2－x1)，
即＝＝＝1，
得直线l的斜率为1，
则直线l的方程为x－y－1＝0.
14．解 (1)∵点A，B到l的距离相等，
∴直线l过线段AB的中点或l∥AB，
①当直线l过线段AB的中点N时，直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2；
②当l∥AB时，
则斜率kl＝kAB＝＝－，
则直线l的方程为y－0＝－(x－2)，
即3x＋2y－6＝0，
综上，直线l的方程为x＝2或
3x＋2y－6＝0.
(2)∵直线m为∠C的平分线，
∴点A关于直线m的对称点
A′(a，b)在直线BC上，
则有
解得
即A′(5，－1)，
∴直线BC的斜率kBC＝＝，
∴直线BC的方程为y＋1＝(x－5)，
即x－2y－7＝0.
15．(1)解 依据题意作图，如图所示，
由椭圆方程E：＋y2＝1(a>1)可得，
A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)，
∴＝(a,1)，＝(a，－1)，
∴·＝a2－1＝8，
∴a2＝9，即a＝3，
∴E的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．
若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3
所以y1＝(x1＋3)．
直线PB的方程为y＝(x－3)，
所以y2＝(x2－3)．
可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)．
由于＋y＝1，
故y＝－，
可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，
即(27＋m2)y1y2＋
m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0.①
将x＝my＋n代入＋y2＝1得
(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0.
所以y1＋y2＝－，
y1y2＝.
代入①式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0.
解得n＝－3(舍去)或n＝.
故直线CD的方程为x＝my＋，
即直线CD过定点.
若t＝0，则直线CD的方程为
y＝0，过点.
综上，直线CD过定点.
