2024-2025 学年第二学期八年级开学检测数学试卷
一．选择题（共 30 分，每小题 3 分）
1．用两根长度分别为 3cm 和 5cm 的细木条做一个三角形的框架，需要将其中一根木条分为两段，如果不
考虑损耗和接头部分，那么可以分成两段的是（ ）
A．3cm 的木条 B．5cm 的木条 C．两根都可以 D．两根都不行
2．如图，将正五边形一角沿直线 MN 折叠，折叠后得到点 D′，则∠1+∠2＝（ ）
A．108° B．72° C．216° D．144°
3．如图，△ACE≌△DBF，AB＝4，BC＝3，则 AD 的长度等于（ ）
A．7 B．8 C．10 D．11
4．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC 的角平分线交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E．若 BC＝9，AC
＝12，AB＝15，则△BDE 的周长为（ ）
A．6 B．12 C．15 D．21
5．如图，在等边三角形 ABC 中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF 的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
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6．若将（2x+a）（2x﹣b）展开的结果中不含有 x 项，则 a，b 满足的关系式是（ ）
A．ab＝1 B．ab＝0 C．a﹣b＝0 D．a+b＝0
7．下列分式中，为最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
8．若分式 有意义，则 x 满足的条件是（ ）
A．x≠0 B．x≠2 C．x≠3 D．x≥3
9．要使二次根式 有意义，则 x 的值不可以为（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．3
10．最简二次根式 与 是同类二次根式，则 b＝（ ）
A．2 B．3 C．0 D．4
二．填空题（共 24 分，每空 3 分）
11．如图，在△ABC 中，M，N 分别是边 AB，BC 上的点，将△BMN 沿 MN 折叠；使点 B 落在点 B′处，
若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB′的度数为 ．
12．若五边形的内角中有一个角为 90°，则其余四个内角之和为 ．
13．如图，△ABC 中，延长 BA、BC，E、F 分别在 BA、BC 的延长线上，∠ABC、∠EAC 的角平分线 BP、
AP 交于点 P，PM⊥BE，PN⊥BC，垂足分别为 M、N，则下列结论：①CP 平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC
＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④AM+CN＝AC．其中正确的结论是 ．（填序号）
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14．如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，∠DAB 的平分线交 BC 于点 E，DE⊥AE，若 AD＝12，BC＝8，
则四边形 ABCD 的周长为 ．
15．如图，OE、OF 分别是 AC、BD 的垂直平分线，垂足分别为 E、F，且 AB＝CD，∠ABD＝116°，∠
CDB＝28°，则∠OBD＝ °．
16．已知 am＝4，an＝10，求 am+n 的值为 ．
17．若关于 x 的一元一次不等式组 有解且至多有 2 个整数解，且关于 y 的分式方程
有整数解，则所有满足条件的整数 a 之和为 ．
18．已知 x 1，y 1，则 x2﹣y2＝ ．
三．解答题（共 66 分）
19．（6 分）△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
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（1）作出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC 向左平移 4 个单位长度，作出平移后的△A2B2C2；
（3）观察△A1B1C1 和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出对称轴 l．
20．（8 分）解方程。
（1） ； （2） ．
21．（6 分）如图，在△ABC 中，BE 为角平分线，D 为边 AB 上的一点（不与点 A，B 重合），连接 CD 交
BE 于点 O．
（1）当 CD 为高时，若∠ABC＝60°，求∠BOC 的度数；
（2）当 CD 为角平分线时，若∠A＝80°，求∠BOC 的度数．
22．（8 分）已知：如图，在△ABC 中，D 是 BC 边中点，CE⊥AD 于点 E，BF⊥AD 于点 F．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若 AD＝4，CE＝2，求△ABC 的面积．
23．（8 分）在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为 G，且 AD＝AB．∠EDF＝60°，
其两边分别交边 AB，AC 于点 E，F．
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（1）求证：△ABD 是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
24．（6 分）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划在中间留一
块边长为（a+b）米的正方形空地修建雕像，其余部分铺设草坪（阴影部分）．
（1）求草坪的面积是多少平方米？
（2）若 a、b 满足（x+2）（x+3）＝x2+ax+b 时，草坪的单价为每平方米 50 元．求购买草坪所需要的总费
用．
25．（6 分）一辆汽车开往距离出发地 180 千米的目的地，出发后按原计划的速度匀速行驶，行驶 1 小时后
因汽车故障耽误半小时，故障排除后继续以原计划速度的 1.5 倍匀速行驶，结果比原计划提前 10 分钟到达
目的地，求汽车原计划的行驶速度．
26．（8 分）已知 a 是﹣8 的立方根，b 是 的算术平方根．
（1）直接写出 a，b 的值，并比较 a 与 b﹣1 的大小．
（2）求代数式 的值．
27．（10 分）如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q 是△ABC 边上
的两个动点，其中点 P 从点 A 开始沿 A→B 方向运动，且速度为每秒 1cm，点 Q 从点 B 开始沿 B→C→A
方向运动，且速度为每秒 2cm，它们同时出发，设出发的时间为 t 秒．
（1）（3 分）BP＝
（2）（3 分）当点 Q 在边 BC 上运动时，出发几秒后，△PQB 是等腰三角形？
（3）（4 分）当点 Q 在边 CA 上运动时，出发 秒后，△BCQ 是以 BC 或 BQ 为底边的等腰三角
形？
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答案
1-5 BCDBB 6-10 CACDA
11．54°； 12．450°；13．①②③④； 14．32； 15．44； 16．40； 17．﹣3； 18．4 ．
19．（1）A1（﹣4，5），B1（﹣3，1），C1（﹣5，3），如图所示，△A1B1C1 为所求。
（2）根据题意，如图所示，△A2B2C2 为所求：
（3）如上图，直线 x＝﹣2 即为所求，
20．（1）x＝4；（2）原分式方程无解
21．（1）∵BE 平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠OBD ∠ABC＝30°，
∵CD 是△ABC 的高，
∴∠ODB＝90°，
∴∠BOC＝∠ODB+∠OBD＝120°；
（2）∵CD 平分∠ACB，BE 平分∠ABC，
∴∠OBC ∠ABC，∠OCB ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB （∠ABC+∠ACB） （180°﹣∠A）＝90° ∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90° ∠A＝90° 80°＝130°．
22．（1）∵BF⊥AD 于点 F，CE⊥AD 于点 E，
∴∠F＝∠CED＝90°，
∵D 是 BC 边中点，
∴BD＝CD，
在△BDF 和△CDE 中，
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，
∴△BDF≌△CDE（AAS）．
（2）由（1）得△BDF≌△CDE，
∴BF＝CE＝2，
∵AD＝4，且 BF⊥AD 于点 F，CE⊥AD 于点 E，
∴S△ABD AD BF 4×2＝4，S△ACD AD CE 4×2＝4，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝4+4＝8，
∴△ABC 的面积是 8．
23．（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC ∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠DAC 120°＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD 是等边三角形；
（2）∵△ABD 是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD
∵∠EDF＝60°，
∴∠ADB＝∠EDF，
∴∠ADB﹣∠ADE＝∠EDF﹣∠ADE，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE 与△ADF 中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
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∴BE＝AF．
24．（1）S 阴影部分＝S 长方形﹣S 正方形
＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2
＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝（5a2+3ab）平方米；
（2）∵（x+2）（x+3）＝x2+5x+6＝x2+ax+b，
∴a＝5，b＝6，
∴草坪的面积为 5×52+3×5×6＝215（平方米），
∴购买草坪所需要的总费用为 215×50＝10750（元）．
25．设汽车原计划的行驶速度是 a 千米/时，
由题意得： 1 ，
解得：a＝60，
经检验，x＝60 是原方程的解，且符合题意，
答：汽车原计划的行驶速度是 60 千米/时．
26．（1）∵a 是﹣8 的立方根，b 是 的算术平方根，
∴a＝﹣2，b ，
∵b﹣1 1 ，
∴a＜b﹣1；
（2）原式＝（﹣2）2+5 5（ ）
＝4+5 8﹣5
＝﹣4．
27．（1）由题意可知 AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，
（2）当点 Q 在边 BC 上运动，△PQB 为等腰三角形时，则有 BP＝BQ，
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即 16﹣t＝2t，解得 t ，
∴出发 秒后，△PQB 能形成等腰三角形；
（3）①当△BCQ 是以 BC 为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图 1 所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（cm），
∴BC+CQ＝22（cm），
∴t＝22÷2＝11；
②当△BCQ 是以 BQ 为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图 2 所示，
则 BC+CQ＝24（cm），
∴t＝24÷2＝12，
综上所述：当 t 为 11 或 12 时，△BCQ 是以 BC 或 BQ 为底边的等腰三角形．
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