乐东县2024-2025学年度高三年级二月联考数学答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
B C D A D B B C
选择题
9 10 11
ABC AC AC
填空题
-7 13. 14.
解答题
15.(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）由调查数据得问卷得分不低于60分的概率为
，
故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为0.6．
（Ⅱ）由题意得列联表如下：
不太了解 比较了解
男性 250 330
女性 150 270
，
因为，
所以有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关．
（本小题满分15分）
（1）由，
令得，解得，
令得，解得．
又是等比数列，故，，
所以的通项公式为．
（2）因为，所以数列是首项为、公差为1的等差数列，
，即．
，
，
两式相减得，
所以的前项和．
(本小题满分15分）
（1）证明：
由题意，在题图1和题图2中，且，所以四边形为平行四边形，故①．
在题图1中，由，，是的中点，
所以四边形为正方形，所以，
故在题图2中，，．
又，平面，，
所以平面，
结合①可得平面．
（2）解：因为平面平面，，平面，平面平面，所以平面．
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，
所以，，．
设平面和平面的法向量分别为，，
则令，则
所以是平面的一个法向量．
令，则
所以是平面的一个法向量．
从而，
故平面与平面夹角的余弦值为．
（本小题满分17分）
（1）当时，，，
，
，
所以切线方程为，即．
（2）．
由于，故的解为，．
①当，即时，，则在上单调递增．
②当，即时，
在区间，上，；
在区间上，，
所以在，上单调递增，在上单调递减．
③当，即时，
在区间，上，；
在区间上，，
所以在，上单调递增，在上单调递减．
（3）方法一：．
①当时，因为，所以，，从而，则在上单调递增，成立．
②当时，，所以在上单调递增，成立．
③当时，
在区间上，；
在区间上，，
在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意．
综上所述，的取值范围是．
方法二：当时，恒成立，等价于当时，恒成立，
即在上恒成立．
当时，，所以．
当时，，
所以恒成立．
设，则．
因为，所以，在上单调递增．
则有，所以．
综上所述，的取值范围是．
（本小题满分17分）
解：（1）依题意，椭圆的另一焦点为，
因此
，
于是，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设“共轭点对”中点的坐标为，
由（1）知，点在椭圆上，
依题意，直线的方程为，整理得，
所以直线的方程为．
（3）由（2）知，直线，
由，解得或，则，，
设点，，
则，两式相减得，
又，于是，
则，有，线段被直线平分，
设点到直线的距离为，
则四边形的面积，
而，则有，
设过点且与直线平行的直线的方程为，则当与相切时，取得最大值，
由消去得，
令，解得，
当时，此时方程为，即，解得，
则此时点或点必有一个和点重合，不符合条件，
从而直线与不可能相切，
即小于平行直线和（或）的距离，
所以．机密★启用前
乐东县2024-2025学年度高三年级二月联考
数 学 试 卷
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知集合，则中的元素个数为
（ ）
2 B. 3 C. 4 D.5
函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
3.（ ）
A.1 B. 2 C. 5 D.
4.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5.已知向量ɑ=，b=,若2ɑ-b与b垂直,则|ɑ|=（ ）
A.1 B. C. 4 D.2
6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.设的内角A，B，C所对的边分别为，
，则C=（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，对任意的恒成立，则实数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A.等差数列的公差 B. 的最大值为
C. D.
10.已知函数的最小正周期是，把它的图象向右平移个单位长度后得到的图象所对应的函数为奇函数.给出下列结论：①的图象关于直线对称；②的图象关于点对称；③在上单调递减；④在上有3个零点.其中所有正确结论的有
（ ）
A.① B. ② C.③ D.④
11.设抛物线的焦点为F，准线为，A为上一点，以点F为圆心，为半径的圆交于B，D两点，，且的面积为，则（ ）
A.是正三角形 B.
C.抛物线的方程为 D.若AF与抛物线交于另一点E，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数.若，则=__________.
13.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数的均值是________.
14.在平面四边形中，，则的取值范围是_____.
四、解答题：共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分13分)推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：
得分
男性人数 40 90 120 130 110 60 30
女性人数 20 50 80 110 100 40 20
（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；
（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？
不太了解 比较了解
男性
女性
附：．
临界值表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
16.（本小题满分15分）已知数列是等比数列，数列满足
.
求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.
(本小题满分15分）如图1，在直角梯形中，，
，是的中点，是与的交点.将沿折起到的位置，如图2.
证明：平面；
若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.
（本小题满分17分）已知函数
当时，求曲线在点处点的切线方程；
若，讨论函数的单调性；
当时，恒成立，求的取值范围.
19.（本小题满分17分）定义：若椭圆上的两个点，满足，则称，为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求“共轭点对”中点所在直线的方程；
（3）设为坐标原点，点，在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，，且点的纵坐标大于0，设四点，，，在椭圆上逆时针排列．证明：四边形的面积小于．
