广西柳鹿 2024-2025 学年高二上学期期末联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = {1,2,3,4,5}，集合 = {1,2,3}， = {2,5}，则 ( ∪ ) =( )
A. {4} B. {1,3,4,5} C. {2,4,5} D. {1,2,3,5}
2.已知复数 满足 = ( 1 ) ，则在复平面内 对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量 = ( , 1)， = ( 2,4 + )，若 ⊥ ，则 =( )
A. 2 + √ 3或 2 √ 3 B. 4
C. 2 D. 4
4.抛物线 = 2 2的准线方程是( )
1 1 1 1
A. = B. = C. = D. =
8 8 2 2
5.高速公路管理部门在某一测速点，测得100辆车辆的速度(单位： / )并汇总整理车速数据如下表，根
据表中数据，下列结论中正确的是( )
车速 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [120,130]
频数 6 12 18 30 24 10
A. 100辆车的车速的中位数小于100 /
B. 100辆车中车速低于110 / 的车辆所占比例超过80%
C. 100辆车的车速的极差介于40 / 至60 / 之间
D. 100辆车的车速的平均值介于80 / 至100 / 之间
6.设 是等比数列{ }的前 项和，若 3 = 4， 4 + 5 + 6 = 6，则
9 =( )
6
3 19 5 19
A. B. C. D.
2 10 3 6
7.将函数 = sin(4 + )的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着 轴向右平移 个单
3 6
位，得到的函数的一个对称中心可以是( )
5
A. ( , 0) B. ( , 0) C. ( , 0) D. ( , 0)
12 6 12 2
8.如图，已知圆柱 1 2的轴截面 是边长为2的正方形， 为下底面圆周上一点，
满足 = 2 ，则异面直线 与 1所成角的正弦值为( )
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√ 95
A.
10
√ 5
B.
10
√ 5
C.
10
√ 95
D.
10
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = (4 2 3) 2 为幂函数，则下列结论正确的为( )
A. = 2 B. ( )为偶函数
C. ( )为单调递增函数 D. ( )的值域为[0,+∞)
10.甲、乙两人准备进行一场乒乓球比赛，规定每球交换发球权，通过抛硬币决定谁先发球.已知两人在自己
2
发球时得分的概率均为 ，则( )
3
1 1
A. 第二次由乙发球的概率为 B. 甲先得一分的概率为
4 2
1 5
C. 前两次发球都由乙得分的概率为 D. 前两次发球甲、乙各得1分的概率为
3 9
11.如图，在正方体 1 1 1 1中， 为线段 1 1的中点， 为线段 1
上的动点(不包括端点)，则( )
A. 存在点 ，使得 //
B. 存在点 ，使得 ⊥平面 1 1
C. 对于任意点 ， ⊥ 均不成立
D. 三棱锥 的体积是定值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 是数列{ }的前 项和，且 = 3
2，则{ }的通项公式为 = ______．
2 6
13.若圆 2 + 2 + 4 12 + 1 = 0关于直线 + 6 = 0( > 0, > 0)对称，则 + 的最小值是______．
2 2
14.已知双曲线 ： 2 2 = 1的左焦点为 1， ， 为双曲线 上的两点， 为坐标原点.若四边形 1 为
菱形，则双曲线 的离心率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题13分)
已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边， + √ 3 = 0
(1)求 ；
(2)若 = 2，△ 的面积为√ 3；求 ， ．
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 2．
(1)当 = 1时，求 ( )的图象在点(1, (1))处的切线方程；
(2)若 ∈ (0,+∞)， ( ) < 0时，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 4 = 4 2， 2 = 2 + 1( ∈ )．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)若 = 3
1，令 = ，求数列{ }的前 项和 ．
18.(本小题17分)
如图，四棱锥 的底面为菱形，∠ = 120°， 为 的中点， = = √ 3．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)若 = 2， = 1，求平面 与平面 夹角的正切值．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系 中，重新定义两点 ( 1, 1)， ( 2, 2)之间的“距离”为| | = | 2 1| + | 2 1|，
我们把到两定点 1( , 0)， 2( , 0)( > 0)的“距离”之和为常数2 ( > )的点的轨迹叫“椭圆”．
(Ⅰ)求“椭圆”的方程；
(Ⅱ)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
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(Ⅲ)设 = 1， = 2，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为 ， 的左顶点为 ，过 2作直线交
于 ， 两点，△ 的外心为 ，求证：直线 与 的斜率之积为定值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】6 3
32
13.【答案】 ．
3
14.【答案】√ 3 + 1
15.【答案】解：(1)由正弦定理得： + √ 3 = 0，
即 + √ 3 = +
∴ + √ 3 = sin( + ) + ，
即√ 3 = 1
1
∴ sin( 30°) = ．
2
∴ 30° = 30°
∴ = 60°；
1 √ 3
(2)若 = 2，△ 的面积= = = √ 3，
2 4
∴ = 4.①
再利用余弦定理可得： 2 = 2 + 2 2
= ( + )2 2 = ( + )2 3 × 4 = 4，
∴ + = 4.②
结合①②求得 = = 2．
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1
16.【答案】解：(1)因为 ( ) = 2，则其导函数为 ′( ) = 2 ，
所以 (1) = 1 12 = 1，
1
所以 ′(1) = 2 × 1 = 1，
1
因此 ( )的图象在点(1, (1))处的切线方程为 + 1 = ( 1)，所以 + = 0．
1 1 2 2
(2) ( ) = 2( > 0)，那么 ′( ) = 2 = ，
1 1
当 > 0时， ∈ (0,√ )， ′( ) > 0， ( )在(0,√ )上单调递增；
2 2
1 1
∈ (√ ,+∞)， ′( ) < 0， ( )在(√ , +∞)上单调递减．
2 2
1 1 1 1
当 = √ 时， ( )取得最大值，且为 ( ) = (√ ) = ln(2 ) ． 2 2 2 2
1
由题意可得 ( ) < 0，解得 > ． 2
当 ≤ 0时， ′( ) > 0，即 ( )在(0,+∞)上单调递增．
当 = 1时， (1) = > 0，与题意不符．
1
即实数 的取值范围为( , +∞)．
2
17.【答案】解：(1)设等差数列{ }的公差为 ，
由题意知， 4 = 4 2， 2 = 2 1 + 1，
4 1 + 6 = 4(2 1 + ) = 1即{ ，化简得{ 1 ．
2 = 1 + = 2 1 + 1 = 2
所以数列{ }的通项公式 = 1 + 2( 1) = 2 1．
(2)令 =
1
= (2 1) 3 ，
则 = 1 × 30 1 + 3 × 3 + 5 × 3
2+. . . +(2 1) × 3 1，
∴ 3 1 2 = 1 × 3 + 3 × 2 +. . . +(2 3) × 3
1 + (2 1) × 3 ，
∴ 2 1 2 1 = 1 + 2(3 + 3 +. . . +3 ) (2 1) × 3
3(1 3 1)
= 1 + 2 (2 1) × 3 ．
1 3
∴ = ( 1) 3
+ 1．
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18.【答案】解：(1)证明：连接 ，
∵底面 为菱形，且∠ = 120°， 为 的中点，
∴ ∠ = 60°，△ 为等边三角形，故 A ⊥ ，
∵ = ，∴ ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ；
(2)过 作 ⊥ 于点 ，由(1)得平面 ⊥平面 ，
∵平面 ∩平面 = ， 平面 ，∴ ⊥平面 ，
由 = = √ 3， = 2，得 = 1， = √ 2， = √ 3，
又 = 1，∴ ⊥ ， ⊥ ，
根据△ ∽△ ，
得 √ 6 = = ，
3
则 √ 3 = √ 2 2 = ，
3
∵ ⊥ ，以直线 ， 分别为 轴， 轴，过 作 的平行线为 轴，建立如图空间直角坐标系 ，
故 A(0,0,0)， (2,0,0)， √ 3 √ 6 (0, , )， ( 1,√ 3, 0)，
3 3
√ 3 √ 6∴ = (0, , )， = (2,0,0)， = ( 1, √ 3, 0)，
3 3
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设平面 的一个法向量 = ( , , )，
⊥
2 = 0
则{ ，则{
= 0，即{√ 3 √ 6 ，
⊥ = 0 + = 03 3
令 = 1，则 = (0, √ 2, 1)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
⊥ 则{
，则{
= 0 + √ 3 = 0，即{√ 3 √ 6 ，
⊥ = 0 + = 0
3 3
令 = 1，则 = ( √ 6, √ 2, 1)，
| | √ 3
则cos < , >= = ，
| || | 3
则tan < , >= √ 2，
∴平面 与 的正切值为√ 2．
19.【答案】(Ⅰ)设“椭圆”上任一点为 ( , )，则| 1| + | 2| = 2 ，
则| + | + | | + | | + | | = 2 ，即| + | + 2| | + | | = 2 ( > > 0)；
(Ⅱ)由| + | + 2| | + | | = 2 ( > > 0)，可得2| | = 2 | + | | |，
∵ | | ≥ 0，∴ 2 | + | | | ≥ 0，即| + | + | | ≤ 2 ，
≤ < < ≥
等价于{ ( + ) ( ) ≤ 2 或{( + ) ( ) ≤ 2 或{( + ) + ( ) ≤ 2 ，
解得 ∈ [ , ]；
由方程| + | + 2| | + | | = 2 ，可得| + | + | | = 2 2| |，
( + ) ( ), ≤
即2 2| | = {( + ) ( ), < < ，所以2 2| | ≥ 2 ，解得 ≤ ≤ ，
( + ) + ( ), ≥
“椭圆”的范围是 ∈ [ , ]， ∈ [ , ]；
在方程中以 代 方程不变，说明“椭圆”关于 轴对称，同理，“椭圆”关于 轴对称，“椭圆”关于原
点对称；
2 3 2
(Ⅲ)证明：由题意，椭圆 的方程为 + = 1，设直线
4 4
： = + 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 1
由{ 2 2 2 3 2 ，可得( + 3) + 2 3 = 0，
+ = 1
4 4
2 3
则 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ， +3 +3
2 +3
∵ 中点为( 1 , 1)， = 1 ，∴ 的中垂线方程为 = 1 ，
2 2 +2 11 1
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+3
同理 的中垂线方程为 = 2 2， 2
+3
设外心 ( 0, 0)，则 1， 2是方程 0 = 0 的两根，
所以 1 + 2 = ( 0 + 0)， 1 2 = 3 0，
2 3
又 1 + 2 = 2 ， 1 2 = +3 2 ， +3
化简得： 0
1
= 3 ，所以 = 0
= 3，
0 0
即直线 与 的斜率之积为定值 3．
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