广东省深圳市部分学校 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 = 2025°，则 的终边在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合 = { | ≤ 2，或 > 1}， = { 2,0,1,2}，则 ∩ =( )
A. { 2} B. {2} C. { 2,2} D. { 2,1,2}
3.“ 2 < < 2”是“ 2 < 1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.已知 是常数，幂函数 ( ) = ( 2 3) 在(0, +∞)上单调递减，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
4
5.已知圆心角为72°的扇形的弧长为 ，则该扇形的面积为( )
5
8 4 2
A. B. C. D.
5 5 5 5
6.tan( 877.5°) =( )
√ 2 1
A. √ 2 1 B. 1 √ 2 C. √ 2 1 D.
2
3 3
7.当 ∈ [0, ) ∪ ( , ) ∪ ( , 2 ]时，函数 ( ) = | | | |的零点个数为( )
2 2 2 2
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
1 1
8.若定义在 上的函数 ( )满足 ( + 2) + ( ) = 0， (2 + 1)是奇函数， ( ) = 1，设函数 ( ) = ( )，
2 2
则 (1) + (2) + (3) + (4) + (5) =( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 < < 0 < ，则下列不等式成立的是( )
A. 3 < 3 B. >
C. 2 < 2 D. log2( ) < log2( )
10.函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )的部分图象如图所示，则下
2
列结论正确的是( )
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A. = 2
B. =
3
11
C. ( )关于直线 = 对称
12
5
D. 将函数 ( )的图象向左平移 个单位得到函数 ( ) = 2 2 的图象
12
| 2 |,0 < ≤ 4
11.已知函数 ( ) = {8 ，且 1 < 2 < 3时， ( 1) = ( 2) = ( 3)，则( ) , > 4
A. 0 < 1 < 1 < 2 < 4 < 3
B. 1 2 = 2
1
C. 1 + 2 3的取值范围为( ∞, ) 4
5
D. 函数 ( ) = ( ) + √ 1 ( )的值域为[1, ]
4
三、填空题：本题共 3 小题，共 20 分。
12.命题“ ≥ 1， 2 + 1 > 2”的否定是______．
13.已知函数 = 3
1 3
2( > 0且 ≠ 1)的图像过定点( , )，正实数 ， 满足 = 1，则 + 的最
小值为______．
14.已知某地区某天的温度(单位：℃)随时间 (单位： )的变化近似满足函数关系 ( ) = 28 + ( +
8
3
)( > 0)， ∈ [0,24)，且这天的最大温差为8℃，则 = ______；若温度不低于30℃需要开空调降温，则
4
这天需要降温的时长为______ .
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知 ∈ ( , )， = ．
2 2 4 sin
(1)求 的值；
(2)求 2 2 的值．
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16.(本小题12分)
2
已知函数 ( ) = 4 ． +2
(1)判断 ( )的奇偶性，并证明；
(2)求函数 ( )的单调区间．
17.(本小题12分)
某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，1月底测得凤眼莲的
覆盖面积为16 2，3月底测得凤眼莲的覆盖面积为36 2，凤眼莲的覆盖面积 (单位 2)与月份 (单位：月)
32
的关系有两个函数模型： = ( > 1)与 = 2 + + ．
3
(1)分别使用这两个函数模型对本次研究进行分析，求出对应的函数解析式；
(2)若测得6月底凤眼莲的覆盖面积约为95 2，判断上述两个函数模型中哪个更合适．
18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = log ( 2
5
+ 1) ( > 0, ≠ 1, ∈ )的图象经过点(0,1)，(1, 2 )． 2
(1)证明：函数 ( )的图象是轴对称图形；
(2)求关于 的不等式2 ( )+ 2 7 ≤ 0的解集；
(3)若函数 = ( ) 有且只有一个零点，求实数 的值．
19.(本小题12分)
我们将满足下列条件的函数 ( )称为“ 伴随函数”：存在一个正常数 ，对于任意的 都有 (2 + ) =
( )且 (3 + ) = ( )．
(1)是否存在正常数 ，使得 ( ) = 是“ 伴随函数”？若存在，请求出一个 的值；若不是，请说明理
由；
(2)已知 ( )是“ 伴随函数”，且当 ∈ [ , ]时， ( ) = 2 (2 )．
4 4 4
( )求当 ∈ [ , )时， ( )的解析式；
2 4
11
( )若 1, 2, , ( ∈
)为方程 ( ) = ( 2 ≤ ≤ 2)在[ , ]上的根，求∑ =1 的值． 2 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 ≥ 1， 2 + 1 ≤ 2
13.【答案】12
14.【答案】4 6
15.【答案】解：(1)已知 ∈ ( , )， = ．
2 2 4 sin
则 = ，
cos 4 sin
则4 sin2 cos2 = 0，
即4 (sin2 + cos2 ) = 0，
即4 1 = 0，
1
解得 = ．
4
1
(2)由(1)知 = ，
4
又 ∈ ( , )，
2 2
√ 15
所以 = √ 1 sin2 = ，
4
1 1 √ 15 7 √ 15
所以 2 2 = 1 2 2 2 = 1 2 × ( )2 2 × × = ．
4 4 4 8
16.【答案】解：(1)根据题意， ( )为奇函数，
2 2
证明：函数 ( ) = 4 中，有 > 0，解得 < 2或 > 2， +2 +2
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则 ( )的定义域为( ∞, 2) ∪ (2, +∞)，
2 +2 2
( ) = 4 = = = ( )， +2 4 2 4 +2
则 ( )为奇函数；
2 4
(2)令 ( ) = = 1 ，函数 ( )在( ∞, 2)和(2, +∞)上单调递增，
+2 +2
又 = log4 在(0, +∞)上单调递增，
所以函数 ( )的单调递增区间为( ∞, 2)和(2, +∞)，单调递减区间不存在．
17.【答案】解：(1)设函数 = ( > 1)，由 = 1， = 16； = 3. = 36，
3
= 16 =
可得{ 3 ，解得{
2 ，
= 36 32 =
3
32 3
即 = × ( ) ， ∈ ；
3 2
32
设函数 = 2 + + ，由 = 1， = 16； = 3. = 36，
3
32 14
+ + = 16 =
可得{ 3 ，解得{ 9 ，
32 34
9 + 3 + = 36 =
3 9
14 2 34 32即 = + + ， ∈ ；
9 9 3
32 3 32 3
(2)由 = × ( ) ，当 = 6时， = × ( )6 = 121.5；
3 2 3 2
14 34 32 14 34 32 68 32 1
由 = 2 + + ，当 = 6时， = × 36 + × 6 + = 56 + + = 89 ，
9 9 3 9 9 3 3 3 3
1 14 34 32
由|121.5 95| > |89 95|，可得函数 = 2 + + ， ∈ 更合适．
3 9 9 3
2 = 1
18.【答案】解：(1)证明：根据题意可得{ 2 5，又 > 0， ≠ 1， ∈ ， ( + 1) = 2 2
解得 = 2， = 1，
22 +1
∴ ( ) = log2(2
2 + 1) = log2(2
2 + 1) log 2 2 = 2 =
2 2
(2 + 2 )，
又 ∈ ，且 ( ) = ( )，∴ ( )为偶函数，
∴ ( )的图象关于 轴对称，
∴函数 ( )的图象是轴对称图形；
(2)由(1)可得 ( ) = log (22 2 + 1) ，
∴关于 的不等式2 ( )+ 2 7 ≤ 0可化为：
22 + 1 2 7 ≤ 0，
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∴ (2 )2 2 6 ≤ 0，
∴ (2 + 2)(2 3) ≤ 0，
∴ 2 3 ≤ 0，∴ ≤ log23，
∴原不等式的解集为( ∞, log23]；
(3)由(1)可知 ( ) = (2 + 2 2 )， ∈ ，
∴ = ( ) 有且只有一个零点即为：
= ( )与 = 在 上只有一个交点，
1
令 = 2 + 2 = 2 + ≥ 2√ 1，当且仅当 = 0时，等号成立， 2
1
又由 = 2 与 = + ( > 1)都为增函数，
可得 = 2 + 2 在(0, +∞)上单调递增，又 = log2 在(0, +∞)上单调递增，
∴ = ( ) = 2(2
+ 2 )在(0, +∞)上单调递增，又 ( )为偶函数， (0) = 1，
∴要使 = ( )与 = 在 上只有一个交点，则 = 1，
故实数 的值为1．
19.【答案】解：(1)存在正常数 ，使得 ( ) = 是“ 伴随函数”．
因为cos(2 + ) = = cos( )，
所以 (2 + ) = ( )，
因为cos(3 + ) = ，
所以 (3 + ) = ( )，
所以存在一个 的值为 ；
(2)( )因为 ( )是“ 伴随函数”，
4
3
所以 ( + ) = ( )，
4
3 3
得 ( + ) = ( + ) = ( )，
2 4
3
所以 ( )是周期为 的函数．
2
由 ( + ) = ( )，得 ( ) = ( )，
2 2
所以 = 为 ( )的一条对称轴，
4
当 ∈ [ , )时， ∈ ( , ],
2 4 2 4
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所以 ( ) = ( ) = 2 [2( ) ] = 2 (2 + )．
2 2 4 4
所以当 ∈ [ , ), ( ) = 2 (2 + )；
2 4 4
( )易知 ( )在 ∈ [ , ]上的图象如图所示：
2
根据周期性结合图象，
5 11 7 13 19 65
当 = √ 2时，∑13 =1 = + + + 4 + + 2 × ( + + + ) = ； 2 2 2 4 4 4 4 2
7 13 19
当 √ 2 < < √ 2或 = 2或 = 2时，∑8 =1 = 2 × ( + + + ) = 20 ； 4 4 4 4
7 13 19
当 = √ 2时，∑12 =1 = 3 × ( + + + ) = 30 ； 4 4 4 4
7 13 19
当 2 < < √ 2或√ 2 < < 2时，∑16 =1 = 4 × ( + + + ) = 40 ． 4 4 4 4
综上，当 = √ 2时，∑13
65
=1 = ； 2
当 √ 2 < < √ 2或 = 2或 = 2时，∑8 =1 = 20 ；
当 = √ 2时，∑12 =1 = 30 ；
2 < < √ 2或√ 2 < < 2时，∑16 =1 = 40 ．
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