空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示--2024-2025学年高中数学北师大版选修一课时优化训练
一、选择题
1．已知八面体由正四棱锥与正四棱锥构成（如图），若，，点M，N分别为，的中点，则( )
A.0 B.2 C. D.
2．如图，在正四面体中，过点P作平面的垂线，垂足为点H，则( )
A. B.
C. D.
3．已知正四面体的棱长为1,点M在上,且,点N为中点,则用基底表示为( )
A. B.
C. D.
4．向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
5．如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．若向量，，，则( )
A.5 B.8 C.10 D.12
7．已知M，N分别是四面体的棱，的中点，点P在线段上，且，设，，，则( )
A. B.
C. D.
8．在平行六面体中,E,F分别是,的中点.设,,,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．如图,在正方体中,E,F分别是,的中点,G,H分别在线段,上,且满足,,设,,,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10．已知空间直角坐标系中,点A的坐标为,坐标原点为O,且与方向相反,则( )
A. B. C. D.
11．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
12．已知空间向量,,则___________
13．已知，，则__________.
14．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________.
四、解答题
15．在四棱柱中，，，，.
（1）当时，试用，，表示；
（2）证明：E，F，G，H四点共面.
16．如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且.
（1）试用，，表示向量；
（2）若，，，，求的值.
17．如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交棱，，于点D，E，F，若，，，求证：为定值.
18．在直四棱柱中，，，，，于点E，分别建立如图1、图2所示的空间直角坐标系，分别写出图中四棱柱各顶点的坐标.
19．在如图所示的空间直角坐标系中画出下列各点：
，，.
参考答案
1．答案：D
解析：连接，交于点O，连接，，
因为正四棱锥与正四棱锥，
所以平面，平面，
因为，，
所以，，，
以O为原点，，，分别为x，y，z轴的正向
建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
，，
所以，，
所以.
故选：D.
2．答案：C
解析：由于底面为等边三角形，所以H为其重心，
所以
所以,
故选：C
3．答案：C
解析：如下图所示：
因为N为的中点,则,所以,,则,
因此,.
故选：C.
4．答案：A
解析：因为向量，，
则，，
，
所以向量在向量上的投影向量为
故选：A.
5．答案：C
解析：如图取中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，
其中，，，，
，，
，
当，且或时，取最大值4，
当，且时，取最小值2，所以的取值范围为.
故选：C
6．答案：C
解析：由题意可得，，
则.
故选：C
7．答案：B
解析：
在四面体中，M，N分别是，的中点，
所以：，
，
，
，
，
.
故选：B.
8．答案：A
解析：由题意可得,.
故选:A
9．答案：AD
解析：由已知可得,,,,.
对于A,,故A项正确;
对于B,,故B错误;
对于C,,故C项错误;
对于D,,故D项正确.
故选:AD.
10．答案：ABD
解析：由题意,得：,
且,
其中,则,,,
则：,即选项A正确;
,即选项B正确;
,即选项C错误;
,即选项D正确.
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确；
设
即方程无解，
所以，，不共面，B选项正确；
设
即，解得：，
即
所以，，共面，C选项错误；
设，因为是空间的一个基底
所以方程无解，这表明三个向量不共面，D选项正确；
故选：ABD
12．答案：
解析：因为,所以,所以.
故答案为：.
13．答案：-4
解析：由题意得，，
则
故答案为：-4
14．答案：
解析：向量在向量上的投影向量为：
故答案为：
15．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）在四棱柱中，，
因为，所以
.
（2）证明：设（，不为0），
，
则，，共面且有公共点E，则E，F，G，H四点共面.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1），，.
又，
（2）由（1）可知
.
17．答案：证明见解析
解析：证明：如图，连接并延长，交于点H，由题意，可令，，为空间的一个基底，
.
连接.因为点D，E，F，M共面，所以存在唯一的实数对，使，
即，
所以.
由空间向量基本定理，知，，，
所以，为定值.
18．答案：图1，，，，
图2，，，，，，，，
解析：解：如图1，以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
因为，，所以且.
又，于点E，所以，则，.
过点B作轴于点H，由，
易得，且，，，
又，故，，，.
如图2，以E为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，.
19．答案：略
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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