二十八 因式分解 提公因式法
【A层 基础夯实】
知识点1 因式分解
1.对于下列两个自左向右的变形:
甲:6x2y=2x·3xy;
乙:x2-2x+1=x(x-2)+1;
其中说法正确的是( )
A.甲、乙均为因式分解
B.甲、乙均不是因式分解
C.甲是因式分解,乙是整式乘法
D.甲是整式乘法,乙是因式分解
2.下列等式从左到右的变形是因式分解的有( )
①4x2+8x-1=4x(x+2)-1;
②a2b2=(;
③a2-2a+1=(a-1)2.
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
3.在(x+y)(x-y)=x2-y2中,从左向右的变形是 ,从右向左的变形是 .
4.下列各式由左边到右边的变形,哪些是因式分解,哪些不是,为什么
(1)4x2-12x-1=4x(x-3)-1;
(2)ax2-bx2-x=x(ax-bx-1);
(3)x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1.
知识点2 提公因式法因式分解
5.(2024·青岛平度模拟)多项式x2+x6提取公因式后,剩下的因式是( )
A.x4 B.x3+1
C.x4+1 D.x3-1
6.将6a2b(x-y)2+8ab2(x-y)3因式分解,应提取的公因式是( )
A.2ab(x-y)2 B.48ab(x-y)2
C.48ab(x-y)3 D.2ab(x-y)3
7.因式分解-ab3+3ab-3b= .
8.(2024·淄博张店模拟)分解因式:x(x-2)+(2-x)= .
9.把下列各式因式分解:
(1)2a2b-4bc; (2)3xy+5x2y-4xy2.
10.先因式分解,再计算求值:4x(m-2)-3x(m-2),x=1.5,m=6.
【B层 能力进阶】
11.(2024·烟台龙口质检)计算(-5)2 023+(-5)2 024的结果是( )
A.4×52 023 B.-5
C.-4×52 023 D.-4
12.(2024·达州期末)若(x+y)3-xy(x+y)=(x+y)·A,则A为( )
A.x2+y2 B.x2-xy+y2
C.x2-3xy+y2 D.x2+xy+y2
13.已知ab=2,a-2b=3,则4ab2-2a2b的值是 .
14.如图,某养鸡场老板准备用20米的篱笆围成一个边长为a,b的长方形场地,已知a2b+ab2=240,则这个长方形场地的面积为 平方米.
15.根据下面的拼图过程,写出一个多项式的因式分解 .
16.因式分解:
(1)8a3b2+12a3bc; (2)(x-2)2-x+2.
17.数学老师布置了一道数学题:化简(x+y)(x-y)-(x-y)2.下面是甲、乙两位同学的部分运算过程:
解:原式=x2-y2-(x2-2xy+y2) … 解:原式=(x-y)[(x+y)-(x-y)] …
(1)对于甲、乙同学的第一步计算,表述正确的是 .
A.甲是整式的乘法,乙是因式分解
B.甲、乙都是整式的乘法
C.甲是因式分解,乙是整式的乘法
D.甲、乙都是因式分解
(2)请选择其中一位同学的解法,写出完整的解答过程.
【C层 创新挑战（选做）】
18.(运算能力、推理能力、抽象能力)下面是小宇同学的学习笔记,请仔细阅读并完成相应的任务.
“拆项法”因式分解
在多项式乘法运算中,经过整理、化简,将几个同类项合并为一项或相互抵消为零.反过来,同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项),我们称此方法为“拆项法”.利用这种方法可以对多项式进行因式分解.
【例题分析】因式分解x2+4x+3
原式=x2+x+3x+3…………………………第一步
=(x2+x)+(3x+3)………………………………第二步
=x(x+1)+3(x+1)………………………………第三步
=(x+1)(x+3).……………………………………第四步
任务:
(1)上述材料中,多项式的变形过程中第三步到第四步运用了 进行因式分解.
A.提公因式法 B.平方差公式
C.完全平方公式 D.整式乘法
(2)请类比材料中的例题分析,将多项式x2-6x+5因式分解.二十八 因式分解 提公因式法
【A层 基础夯实】
知识点1 因式分解
1.对于下列两个自左向右的变形:
甲:6x2y=2x·3xy;
乙:x2-2x+1=x(x-2)+1;
其中说法正确的是(B)
A.甲、乙均为因式分解
B.甲、乙均不是因式分解
C.甲是因式分解,乙是整式乘法
D.甲是整式乘法,乙是因式分解
2.下列等式从左到右的变形是因式分解的有(B)
①4x2+8x-1=4x(x+2)-1;
②a2b2=(;
③a2-2a+1=(a-1)2.
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
3.在(x+y)(x-y)=x2-y2中,从左向右的变形是 整式乘法 ,从右向左的变形是 因式分解 .
4.下列各式由左边到右边的变形,哪些是因式分解,哪些不是,为什么
(1)4x2-12x-1=4x(x-3)-1;
(2)ax2-bx2-x=x(ax-bx-1);
(3)x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1.
【解析】(1)从左到右的变形不是把多项式化成整式乘积的形式,不属于因式分解;
(2)从左到右的变形符合因式分解的定义,属于因式分解;
(3)从左到右的变形不是把多项式化成整式乘积的形式,不属于因式分解.
知识点2 提公因式法因式分解
5.(2024·青岛平度模拟)多项式x2+x6提取公因式后,剩下的因式是(C)
A.x4 B.x3+1
C.x4+1 D.x3-1
6.将6a2b(x-y)2+8ab2(x-y)3因式分解,应提取的公因式是(A)
A.2ab(x-y)2 B.48ab(x-y)2
C.48ab(x-y)3 D.2ab(x-y)3
7.因式分解-ab3+3ab-3b= -b(ab2-3a+3) .
8.(2024·淄博张店模拟)分解因式:x(x-2)+(2-x)= (x-2)(x-1) .
9.把下列各式因式分解:
(1)2a2b-4bc; (2)3xy+5x2y-4xy2.
【解析】(1)2a2b-4bc=2b(a2-2c);
(2)3xy+5x2y-4xy2=xy(3+5x-4y).
10.先因式分解,再计算求值:4x(m-2)-3x(m-2),x=1.5,m=6.
【解析】4x(m-2)-3x(m-2)
=x(m-2)(4-3)
=x(m-2),
把x=1.5,m=6代入得,
原式=1.5×(6-2)=6.
【B层 能力进阶】
11.(2024·烟台龙口质检)计算(-5)2 023+(-5)2 024的结果是(A)
A.4×52 023 B.-5
C.-4×52 023 D.-4
12.(2024·达州期末)若(x+y)3-xy(x+y)=(x+y)·A,则A为(D)
A.x2+y2 B.x2-xy+y2
C.x2-3xy+y2 D.x2+xy+y2
13.已知ab=2,a-2b=3,则4ab2-2a2b的值是 -12 .
14.如图,某养鸡场老板准备用20米的篱笆围成一个边长为a,b的长方形场地,已知a2b+ab2=240,则这个长方形场地的面积为 24 平方米.
15.根据下面的拼图过程,写出一个多项式的因式分解 x2+6x+8=(x+2)(x+4) .
16.因式分解:
(1)8a3b2+12a3bc; (2)(x-2)2-x+2.
【解析】(1)8a3b2+12a3bc
=4a3b(2b+3c);
(2)(x-2)2-x+2
=(x-2)2-(x-2)
=(x-2)(x-2-1)
=(x-2)(x-3).
17.数学老师布置了一道数学题:化简(x+y)(x-y)-(x-y)2.下面是甲、乙两位同学的部分运算过程:
解:原式=x2-y2-(x2-2xy+y2) … 解:原式=(x-y)[(x+y)-(x-y)] …
(1)对于甲、乙同学的第一步计算,表述正确的是A.
A.甲是整式的乘法,乙是因式分解
B.甲、乙都是整式的乘法
C.甲是因式分解,乙是整式的乘法
D.甲、乙都是因式分解
(2)请选择其中一位同学的解法,写出完整的解答过程.
【解析】(1)(x+y)(x-y)-(x-y)2=x2-y2-(x2-2xy+y2),为整式的乘法;
(x+y)(x-y)-(x-y)2=(x-y)[(x+y)-(x-y)],为因式分解;
(2)选择甲同学的解法:
原式=x2-y2-(x2-2xy+y2)=x2-y2-x2+2xy-y2=2xy-2y2.
选择乙同学的解法:
原式=(x-y)[(x+y)-(x-y)]=(x-y)(x+y-x+y)=(x-y)·2y=2xy-2y2.
【C层 创新挑战（选做）】
18.(运算能力、推理能力、抽象能力)下面是小宇同学的学习笔记,请仔细阅读并完成相应的任务.
“拆项法”因式分解
在多项式乘法运算中,经过整理、化简,将几个同类项合并为一项或相互抵消为零.反过来,同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项),我们称此方法为“拆项法”.利用这种方法可以对多项式进行因式分解.
【例题分析】因式分解x2+4x+3
原式=x2+x+3x+3…………………………第一步
=(x2+x)+(3x+3)………………………………第二步
=x(x+1)+3(x+1)………………………………第三步
=(x+1)(x+3).……………………………………第四步
任务:
(1)上述材料中,多项式的变形过程中第三步到第四步运用了A进行因式分解.
A.提公因式法 B.平方差公式
C.完全平方公式 D.整式乘法
(2)请类比材料中的例题分析,将多项式x2-6x+5因式分解.
【解析】(1)多项式的变形过程中第三步到第四步运用了提公因式法进行因式分解.
选A.
(2)x2-6x+5
=x2-x-5x+5
=(x2-x)-(5x-5)
=x(x-1)-5(x-1)
=(x-1)(x-5).
