浙江省宁波市鄞州区横溪、东吴、咸祥等2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题
1．（2025八上·鄞州期末）下列数学符号中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故答案为：D．
【分析】一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形称为轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
2．（2025八上·鄞州期末）点所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：因为点的横坐标是负数，纵坐标是正数，符合点在第二象限的条件，
所以点在第二象限．
故答案为：B．
【分析】根据点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），判断得出答案.
3．（2025八上·鄞州期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型，故此选项不符合题意；
B、露出的角是直角，因此是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型，故此选项符合题意；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】有一个角是直角的三角形就是直角三角形，有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形，三个内角都是锐角的三角形就是锐角三角形，据此通过给出的图形部分信息，运用三角形内角和定理进行逐一分析，即可得出答案.
4．（2025八上·鄞州期末）若，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故此选项不正确，不符合题意；
B、∵，∴，故此选项不正确，不符合题意；
C、∵，∴，∴，故此选项不正确，不符合题意；
D、∵，∴，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】①在不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变据此可判断A选项；②不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，据此可判断B、D选项；结合①②两条性质可判断C选项.
5．（2025八上·鄞州期末）若长度为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a不可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意，得，
解得，
∴a不可以是2．
故答案为：A．
【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三条边的关系列出关于字母a的不等式，求出a的取值范围，从而即可判断得出答案.
6．（2025八上·鄞州期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．对应角相等的两个三角形是全等三角形．
B．三个内角之比为3：4：5的三角形是直角三角形．
C．平面直角坐标系中，点的横坐标是点到x轴的距离．
D．角平分线上的点到角两边的距离相等．
【答案】D
【知识点】点的坐标；三角形内角和定理；角平分线的性质；真命题与假命题；全等三角形的概念
【解析】【解答】解：A、能完全重合的两个三角形是全等三角形，故对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，本选项错误，是假命题，不符合题意；
B、设三个内角分别为3x、4x、5x，则3x+4x+5x=180°，解得x=15°，
则三个内角分别为：45°、60°、75°，
∴三个内角之比为3：4：5的三角形不是直角三角形，本选项错误，是假命题，不符合题意；
C、平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，本选项错误，是假命题，不符合题意；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，本选项正确，是真命题，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据“能完全重合的两个三角形是全等三角形”可判断A选项；根据三角形的内角和定理算出三角形三个内角得度数，进而根据直角三角形的定义可判断B选项；平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，据此可判断C选项；根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”可判断D选项.
7．（2025八上·鄞州期末）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据题意，，
∴，
∴，
∴依据是，
故答案为：B ．
【分析】根据尺规作图可得，从而可用SSS判断出，然后根据全等三角形的对应角相等可得∠O=∠O'，由此即可求解．
8．（2025八上·鄞州期末）点和都在直线上，且，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵直线中，，
∴该函数值随的增大而减小，
又∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)中，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，当k＜0时，函数值y随x的增大而减小，据此判断得出答案.
9．（2025八上·鄞州期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：函数过点，
∴，
解得：，
∴
∴不等式得解集为．
故答案为：A．
【分析】根据函数图象上点的坐标特点，将点A(m，3)代入y=2x算出m的值，从而求出点A的坐标；从图象角度看，求不等式ax+4＞2x的解集，就是以交点为分界点，求一次函数y=ax+4的图象在一次函数y=2x的图象的上方部分相应的自变量的取值范围，据此求解即可.
10．（2025八上·鄞州期末）如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到…则第2025次运动到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解： ∵，
∴点在第四象限，
观察图象点的坐标特征，可知点的坐标是.
故答案为：A．
【分析】通过观察可知右下标是（除A1外）：数字4的倍数的点在第三象限，4的倍数余1的点在第四象限，4的倍数余2的点在第一象限，4的倍数余3的点在第二象限，得出点A2025在第四象限，由此判断即可．
11．（2025八上·鄞州期末）若一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式为 .
【答案】y=-2x
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：设函数解析式为，将代入函数解析式，得
.
解得，
函数解析式为y=-2x.
故答案为：y=-2x.
【分析】设函数解析式为y=kx，将（-2，4）代入求出k的值，据此可得对应的函数表达式.
12．（2025八上·鄞州期末）“x的2倍与3的差小于5”用不等式表示为： .
【答案】2x﹣3＜5
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：x的2倍与3的差小于5，用不等式表示为：2x﹣3＜5.
故答案为：2x﹣3＜5.
【分析】x的2倍可表示为2x，x的2倍与3的差可表示为2x-3，小于可表示为<，据此解答.
13．（2025八上·鄞州期末）如果等腰三角形的一个内角是，那么这个等腰三角形的顶角度数是 ．
【答案】80°或20°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：若80°的内角是该等腰三角形的顶角，则顶角度数为；
若80°的内角是该等腰三角形的一个底角，则根据等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和定理，可知顶角的度数为：；
故答案为：80°或20°．
【分析】由于给定角是锐角，根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理，该给定角可以作为顶角，也可以作为底角，从而分两种情况求出这个等腰三角形顶角的度数即可．
14．（2025八上·鄞州期末）如图，在中，的中垂线交于点，交于点，已知，的周长为22，则 ．
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： 的中垂线交于点，
，的周长为22，
故答案为：
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DA=DB，根据三角形周长计算方法、等量代换及线段的和差可将△BDC的周长转化为AC+BC，再代入BC的长度即可算出AC的长.
15．（2025八上·鄞州期末）如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，
在中，，，
∴，
∵为的角平分线，，DE⊥AB，
∴
∵
设，
∴
∴
解得：
∴
故答案为：．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB的长；根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DC，设DE=DC=x，由等面积法，根据S△ABC=S△ABD+S△BDC，列出方程，求出x的值，进而再根据三角形面积计算公式列式计算即可.
16．（2025八上·鄞州期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则PB+PD的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，过点B'作B'D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB'，根据轴对称的性质，则BP=B'P，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，∠ACB =∠ACB=90°，
在Rt△ABC和Rt△AB C中
∴△ABC≌△AB'C(SAS)，
∴S△ABC=S△AB'C，
∴S△ABB'=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC，
即AB B'D=2×BC AC，
∴AB B'D=2BC AC，
∴5B'D=24，
∴B'D=．
故答案为：．
【分析】
作点B关于AC的对称点B'，过点B'作B'D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB'，根据轴对称的性质可得BP=B'P，由题意用边角边可证△ABC≌△AB'C，由全等三角形的面积相等可得S△ABC=S△AB'C，然后根据三角形ABB 面积的构成S△ABB'=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC可得关于BD 的方程，解方程即可求得BD 的值，即为PB+PD的最小值．
17．（2025八上·鄞州期末）解不等式组：
【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
18．（2025八上·鄞州期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）以x轴为对称轴，作出的轴对称图形；
（2）写出点，，的坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：，，
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（2）解：∵，，，∴，，．
【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于x轴的对称点A'、B'、C'，再顺次连接A'、B'、C'即可；
（2）关于x轴对称的点，纵坐标互为相反数，横坐标不变，由此可得出答案．
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：∵，，，
∴，，．
19．（2025八上·鄞州期末）如图，点D，E分别在AC，AB上，，．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，．
∴AD+CD=AE+BE，即AB=AC，
在△ABD和△ACE中，
∵AD=AE，∠A=∠A，AB=AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE
（2）解：∵△ABD≌△ACE，，
∴∠B=∠C=30°，
∵，
∴∠ADB=180°-∠A-∠B=95°，
∵∠ADB=∠C+∠COD，
∴∠COD=65°
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等量加等量和相等推出AB=AC，从而用SAS判断出△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）根据全等三角形的对应角相等可得∠B=∠C=30°，根据三角形的内角和定理得到∠ADB=95°，再由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，即可求解．
（1）证明：∵，．
∴AD+CD=AE+BE，即AB=AC，
在△ABD和△ACE中，
∵AD=AE，∠A=∠A，AB=AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，，
∴∠B=∠C=30°，
∵，
∴∠ADB=180°-∠A-∠B=95°，
∵∠ADB=∠C+∠COD，
∴∠COD=65°．
20．（2025八上·鄞州期末）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，求函数y的值；
（3）求当时，自变量x的取值范围．
【答案】（1）解：设，将点，代入得：
，
解得，
∴函数解析式为：；
（2）解：将代入
得，；
（3）解：∵，
∴随的增大而减小，
将和代入得，，
解得，，
∴当时，自变量x的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，将点（2，0）与点（-4，8）分别代入可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解得出k、b的值，从而可得该一次函数的解析式；
（2）将代入（1）所求的一次函数解析式，算出对应的函数值即可；
（3）由于一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，故分别求出y=-2和y=4对应的x的取值，根据函数的增减性即可求解．
（1）解：设，将点，代入得：
，解得，
函数解析式为；
（2）解：将代入得，；
（3）解：∵，
∴随的增大而减小，
将和代入得，，
解得，，
∴当时，，
自变量x的取值范围为．
21．（2025八上·鄞州期末）骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号的头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同．
（1）求甲、乙两种型号头盔的单价；
（2）某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？
【答案】（1）解：设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
所以（元）；
答：甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元
（2）解：设购买m个甲种头盔，则购买个乙种头盔，
由题意得：，
解得：；
设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元，
则，
，，
随m的增大而增大，
当时，w取得最小值，最小值为（元），此时（个）．
答：当购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是（x+10）元，根据总价除以单价等于数量及“ 用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同 ”列出分式方程，即可求解；
（2）设购买m个甲种头盔，根据“ 购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的 ”列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围；设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元，根据总价、单价与数量的关系列出函数关系式，利用一次函数的性质即可求解最值．
22．（2025八上·鄞州期末）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为（个），乙组加工零件的数量为（个），其函数图象如图所示．
（1）求与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）求a的值，并说明a的实际意义；
（3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个．
【答案】解：（1）设与t之间的函数关系式为．
把，分别代入，得
解得
∴与时间t之间的函数关系式为：
， t的取值范围是；
（2）当时，由图象知，甲前3小时加工120个，
故甲的工作效率为每小时加工零件40个．
甲组共加工（时），
得（个）．
∴a的实际意义是：从甲组开始工作起，8小时时，甲组加工零件的总量为280件；
（3）由题意可知，当时，由于工作效率没变，
∴．
当时，
，
解得．
答：甲组加工7小时，甲、乙两组加工零件的总数为480个
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）直线经过两点（5，0）与（8，360），采用待定系数法确定解析式即可；
（2）由图象知，甲前3小时加工120个，从而根据工作效率等于工作总量除以工作时间，可求出甲组每小时所做的零件数；结合图象用总时间减去修机器的时间1小时就是甲组工作时间，从而可确定甲组的工作总量a的值；
（3）确定再次工作时甲的解析式，根据“ 甲、乙两组加工零件的总数为480个 ”列方程求解即可．
23．（2025八上·鄞州期末）如图，是边长为的等边三角形，点分别从顶点同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点随之停止运动，连接，设点的运动时间为．
（1）当点在线段上运动时，的长为______（cm），的长为______（cm）（用含的式子表示）．
（2）当与的一条边垂直时，求的值．
（3）当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长．
【答案】（1）；；
（2）解：∵是边长为的等边三角形，
∴，，
如图1中，当时，
图1
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图2中，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图3中，当时，根据题意易得AP=t，AQ=24-t，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得．
综上所述，或或；
（3）解：PQ中点O经过的路径长为6cm．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：根据题意，当点Q在线段BC上运动时，
，；
故答案为：；；
（3）解：根据题意，当点从点运动到点的过程中，
，
如下图，设与交于点，过点作，交于点，
则，，，
∴为等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即与中点重合，
∴中点的运动轨迹在边上，
当与点重合时，与点重合，此时中点位于中点，
当与点重合时，此时，
∴，
∴，即此时中点与点重合，
∴中点经过的路径长．
【分析】（1）根据路程等腰速度乘以时间可表示出AP及BQ，进而根据BP=AB-AP列式计算即可；
（2）分三种情形讨论：当PQ⊥BC时，首先根据三角形的内角和定理算出∠BPQ=30°，然后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PB=2BQ，据此建立方程，求解即可；当PQ⊥AB时，首先根据三角形的内角和定理算出∠BQP=30°，然后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得2PB=BQ，据此建立方程，求解即可；当PQ⊥AC时，根据题意易得AP=t，AQ=24-t，根据三角形的内角和定理算出∠APQ=30°，然后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AP=2AQ，据此建立方程，求解即可，综上即可得出答案；
（3）设PQ与BC交于点N，过点Q作QM∥AB，交BC于点M，易得CQ=BP=(t-12)cm，△CQM是等边三角形，由等边三角形性质推出QM=CQ=BP，从而用AAS判断出△QMN≌△PBN，由全等三角形的性质可得QN=PN，即N与PQ中点O重合，易知PQ中点O的运动轨迹在边BC上， 当Q与点C重合时，P与点B重合，此时PQ中点O位于BC中点， 当Q与点A重合时， PQ中点O与点B重合， 则点O经过的路径长为边BC的一半，即可获得答案．
（1）解：根据题意，当点在线段上运动时，
，．
故答案为：；；
（2）解：∵是边长为的等边三角形，
，，
如图1中，当时，
图1
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图2中，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图3中，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得．
综上所述，或或；
（3）解：根据题意，当点从点运动到点的过程中，
，
如下图，设与交于点，过点作，交于点，
则，，，
∴为等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即与中点重合，
∴中点的运动轨迹在边上，
当与点重合时，与点重合，此时中点位于中点，
当与点重合时，此时，
∴，
∴，即此时中点与点重合，
∴中点经过的路径长．
浙江省宁波市鄞州区横溪、东吴、咸祥等2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题
1．（2025八上·鄞州期末）下列数学符号中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八上·鄞州期末）点所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025八上·鄞州期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025八上·鄞州期末）若，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025八上·鄞州期末）若长度为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a不可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2025八上·鄞州期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．对应角相等的两个三角形是全等三角形．
B．三个内角之比为3：4：5的三角形是直角三角形．
C．平面直角坐标系中，点的横坐标是点到x轴的距离．
D．角平分线上的点到角两边的距离相等．
7．（2025八上·鄞州期末）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025八上·鄞州期末）点和都在直线上，且，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025八上·鄞州期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025八上·鄞州期末）如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到…则第2025次运动到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025八上·鄞州期末）若一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式为 .
12．（2025八上·鄞州期末）“x的2倍与3的差小于5”用不等式表示为： .
13．（2025八上·鄞州期末）如果等腰三角形的一个内角是，那么这个等腰三角形的顶角度数是 ．
14．（2025八上·鄞州期末）如图，在中，的中垂线交于点，交于点，已知，的周长为22，则 ．
15．（2025八上·鄞州期末）如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为 ．
16．（2025八上·鄞州期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则PB+PD的最小值为 ．
17．（2025八上·鄞州期末）解不等式组：
18．（2025八上·鄞州期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）以x轴为对称轴，作出的轴对称图形；
（2）写出点，，的坐标．
19．（2025八上·鄞州期末）如图，点D，E分别在AC，AB上，，．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
20．（2025八上·鄞州期末）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，求函数y的值；
（3）求当时，自变量x的取值范围．
21．（2025八上·鄞州期末）骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号的头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同．
（1）求甲、乙两种型号头盔的单价；
（2）某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？
22．（2025八上·鄞州期末）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为（个），乙组加工零件的数量为（个），其函数图象如图所示．
（1）求与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）求a的值，并说明a的实际意义；
（3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个．
23．（2025八上·鄞州期末）如图，是边长为的等边三角形，点分别从顶点同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点随之停止运动，连接，设点的运动时间为．
（1）当点在线段上运动时，的长为______（cm），的长为______（cm）（用含的式子表示）．
（2）当与的一条边垂直时，求的值．
（3）当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故答案为：D．
【分析】一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形称为轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：因为点的横坐标是负数，纵坐标是正数，符合点在第二象限的条件，
所以点在第二象限．
故答案为：B．
【分析】根据点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型，故此选项不符合题意；
B、露出的角是直角，因此是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型，故此选项符合题意；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】有一个角是直角的三角形就是直角三角形，有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形，三个内角都是锐角的三角形就是锐角三角形，据此通过给出的图形部分信息，运用三角形内角和定理进行逐一分析，即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故此选项不正确，不符合题意；
B、∵，∴，故此选项不正确，不符合题意；
C、∵，∴，∴，故此选项不正确，不符合题意；
D、∵，∴，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】①在不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变据此可判断A选项；②不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，据此可判断B、D选项；结合①②两条性质可判断C选项.
5．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意，得，
解得，
∴a不可以是2．
故答案为：A．
【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三条边的关系列出关于字母a的不等式，求出a的取值范围，从而即可判断得出答案.
6．【答案】D
【知识点】点的坐标；三角形内角和定理；角平分线的性质；真命题与假命题；全等三角形的概念
【解析】【解答】解：A、能完全重合的两个三角形是全等三角形，故对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，本选项错误，是假命题，不符合题意；
B、设三个内角分别为3x、4x、5x，则3x+4x+5x=180°，解得x=15°，
则三个内角分别为：45°、60°、75°，
∴三个内角之比为3：4：5的三角形不是直角三角形，本选项错误，是假命题，不符合题意；
C、平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，本选项错误，是假命题，不符合题意；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，本选项正确，是真命题，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据“能完全重合的两个三角形是全等三角形”可判断A选项；根据三角形的内角和定理算出三角形三个内角得度数，进而根据直角三角形的定义可判断B选项；平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，据此可判断C选项；根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”可判断D选项.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据题意，，
∴，
∴，
∴依据是，
故答案为：B ．
【分析】根据尺规作图可得，从而可用SSS判断出，然后根据全等三角形的对应角相等可得∠O=∠O'，由此即可求解．
8．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵直线中，，
∴该函数值随的增大而减小，
又∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)中，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，当k＜0时，函数值y随x的增大而减小，据此判断得出答案.
9．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：函数过点，
∴，
解得：，
∴
∴不等式得解集为．
故答案为：A．
【分析】根据函数图象上点的坐标特点，将点A(m，3)代入y=2x算出m的值，从而求出点A的坐标；从图象角度看，求不等式ax+4＞2x的解集，就是以交点为分界点，求一次函数y=ax+4的图象在一次函数y=2x的图象的上方部分相应的自变量的取值范围，据此求解即可.
10．【答案】A
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解： ∵，
∴点在第四象限，
观察图象点的坐标特征，可知点的坐标是.
故答案为：A．
【分析】通过观察可知右下标是（除A1外）：数字4的倍数的点在第三象限，4的倍数余1的点在第四象限，4的倍数余2的点在第一象限，4的倍数余3的点在第二象限，得出点A2025在第四象限，由此判断即可．
11．【答案】y=-2x
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：设函数解析式为，将代入函数解析式，得
.
解得，
函数解析式为y=-2x.
故答案为：y=-2x.
【分析】设函数解析式为y=kx，将（-2，4）代入求出k的值，据此可得对应的函数表达式.
12．【答案】2x﹣3＜5
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：x的2倍与3的差小于5，用不等式表示为：2x﹣3＜5.
故答案为：2x﹣3＜5.
【分析】x的2倍可表示为2x，x的2倍与3的差可表示为2x-3，小于可表示为<，据此解答.
13．【答案】80°或20°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：若80°的内角是该等腰三角形的顶角，则顶角度数为；
若80°的内角是该等腰三角形的一个底角，则根据等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和定理，可知顶角的度数为：；
故答案为：80°或20°．
【分析】由于给定角是锐角，根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理，该给定角可以作为顶角，也可以作为底角，从而分两种情况求出这个等腰三角形顶角的度数即可．
14．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： 的中垂线交于点，
，的周长为22，
故答案为：
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DA=DB，根据三角形周长计算方法、等量代换及线段的和差可将△BDC的周长转化为AC+BC，再代入BC的长度即可算出AC的长.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，
在中，，，
∴，
∵为的角平分线，，DE⊥AB，
∴
∵
设，
∴
∴
解得：
∴
故答案为：．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB的长；根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DC，设DE=DC=x，由等面积法，根据S△ABC=S△ABD+S△BDC，列出方程，求出x的值，进而再根据三角形面积计算公式列式计算即可.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，过点B'作B'D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB'，根据轴对称的性质，则BP=B'P，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，∠ACB =∠ACB=90°，
在Rt△ABC和Rt△AB C中
∴△ABC≌△AB'C(SAS)，
∴S△ABC=S△AB'C，
∴S△ABB'=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC，
即AB B'D=2×BC AC，
∴AB B'D=2BC AC，
∴5B'D=24，
∴B'D=．
故答案为：．
【分析】
作点B关于AC的对称点B'，过点B'作B'D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB'，根据轴对称的性质可得BP=B'P，由题意用边角边可证△ABC≌△AB'C，由全等三角形的面积相等可得S△ABC=S△AB'C，然后根据三角形ABB 面积的构成S△ABB'=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC可得关于BD 的方程，解方程即可求得BD 的值，即为PB+PD的最小值．
17．【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
18．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：，，
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（2）解：∵，，，∴，，．
【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于x轴的对称点A'、B'、C'，再顺次连接A'、B'、C'即可；
（2）关于x轴对称的点，纵坐标互为相反数，横坐标不变，由此可得出答案．
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：∵，，，
∴，，．
19．【答案】（1）证明：∵，．
∴AD+CD=AE+BE，即AB=AC，
在△ABD和△ACE中，
∵AD=AE，∠A=∠A，AB=AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE
（2）解：∵△ABD≌△ACE，，
∴∠B=∠C=30°，
∵，
∴∠ADB=180°-∠A-∠B=95°，
∵∠ADB=∠C+∠COD，
∴∠COD=65°
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等量加等量和相等推出AB=AC，从而用SAS判断出△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）根据全等三角形的对应角相等可得∠B=∠C=30°，根据三角形的内角和定理得到∠ADB=95°，再由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，即可求解．
（1）证明：∵，．
∴AD+CD=AE+BE，即AB=AC，
在△ABD和△ACE中，
∵AD=AE，∠A=∠A，AB=AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，，
∴∠B=∠C=30°，
∵，
∴∠ADB=180°-∠A-∠B=95°，
∵∠ADB=∠C+∠COD，
∴∠COD=65°．
20．【答案】（1）解：设，将点，代入得：
，
解得，
∴函数解析式为：；
（2）解：将代入
得，；
（3）解：∵，
∴随的增大而减小，
将和代入得，，
解得，，
∴当时，自变量x的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，将点（2，0）与点（-4，8）分别代入可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解得出k、b的值，从而可得该一次函数的解析式；
（2）将代入（1）所求的一次函数解析式，算出对应的函数值即可；
（3）由于一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，故分别求出y=-2和y=4对应的x的取值，根据函数的增减性即可求解．
（1）解：设，将点，代入得：
，解得，
函数解析式为；
（2）解：将代入得，；
（3）解：∵，
∴随的增大而减小，
将和代入得，，
解得，，
∴当时，，
自变量x的取值范围为．
21．【答案】（1）解：设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
所以（元）；
答：甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元
（2）解：设购买m个甲种头盔，则购买个乙种头盔，
由题意得：，
解得：；
设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元，
则，
，，
随m的增大而增大，
当时，w取得最小值，最小值为（元），此时（个）．
答：当购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是（x+10）元，根据总价除以单价等于数量及“ 用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同 ”列出分式方程，即可求解；
（2）设购买m个甲种头盔，根据“ 购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的 ”列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围；设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元，根据总价、单价与数量的关系列出函数关系式，利用一次函数的性质即可求解最值．
22．【答案】解：（1）设与t之间的函数关系式为．
把，分别代入，得
解得
∴与时间t之间的函数关系式为：
， t的取值范围是；
（2）当时，由图象知，甲前3小时加工120个，
故甲的工作效率为每小时加工零件40个．
甲组共加工（时），
得（个）．
∴a的实际意义是：从甲组开始工作起，8小时时，甲组加工零件的总量为280件；
（3）由题意可知，当时，由于工作效率没变，
∴．
当时，
，
解得．
答：甲组加工7小时，甲、乙两组加工零件的总数为480个
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）直线经过两点（5，0）与（8，360），采用待定系数法确定解析式即可；
（2）由图象知，甲前3小时加工120个，从而根据工作效率等于工作总量除以工作时间，可求出甲组每小时所做的零件数；结合图象用总时间减去修机器的时间1小时就是甲组工作时间，从而可确定甲组的工作总量a的值；
（3）确定再次工作时甲的解析式，根据“ 甲、乙两组加工零件的总数为480个 ”列方程求解即可．
23．【答案】（1）；；
（2）解：∵是边长为的等边三角形，
∴，，
如图1中，当时，
图1
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图2中，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图3中，当时，根据题意易得AP=t，AQ=24-t，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得．
综上所述，或或；
（3）解：PQ中点O经过的路径长为6cm．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：根据题意，当点Q在线段BC上运动时，
，；
故答案为：；；
（3）解：根据题意，当点从点运动到点的过程中，
，
如下图，设与交于点，过点作，交于点，
则，，，
∴为等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即与中点重合，
∴中点的运动轨迹在边上，
当与点重合时，与点重合，此时中点位于中点，
当与点重合时，此时，
∴，
∴，即此时中点与点重合，
∴中点经过的路径长．
【分析】（1）根据路程等腰速度乘以时间可表示出AP及BQ，进而根据BP=AB-AP列式计算即可；
（2）分三种情形讨论：当PQ⊥BC时，首先根据三角形的内角和定理算出∠BPQ=30°，然后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PB=2BQ，据此建立方程，求解即可；当PQ⊥AB时，首先根据三角形的内角和定理算出∠BQP=30°，然后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得2PB=BQ，据此建立方程，求解即可；当PQ⊥AC时，根据题意易得AP=t，AQ=24-t，根据三角形的内角和定理算出∠APQ=30°，然后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AP=2AQ，据此建立方程，求解即可，综上即可得出答案；
（3）设PQ与BC交于点N，过点Q作QM∥AB，交BC于点M，易得CQ=BP=(t-12)cm，△CQM是等边三角形，由等边三角形性质推出QM=CQ=BP，从而用AAS判断出△QMN≌△PBN，由全等三角形的性质可得QN=PN，即N与PQ中点O重合，易知PQ中点O的运动轨迹在边BC上， 当Q与点C重合时，P与点B重合，此时PQ中点O位于BC中点， 当Q与点A重合时， PQ中点O与点B重合， 则点O经过的路径长为边BC的一半，即可获得答案．
（1）解：根据题意，当点在线段上运动时，
，．
故答案为：；；
（2）解：∵是边长为的等边三角形，
，，
如图1中，当时，
图1
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图2中，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图3中，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得．
综上所述，或或；
（3）解：根据题意，当点从点运动到点的过程中，
，
如下图，设与交于点，过点作，交于点，
则，，，
∴为等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即与中点重合，
∴中点的运动轨迹在边上，
当与点重合时，与点重合，此时中点位于中点，
当与点重合时，此时，
∴，
∴，即此时中点与点重合，
∴中点经过的路径长．
