2024年广东省中山市阜沙中学中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）与﹣2022的积为1的是（ ）
A．2022 B． C．﹣2022 D．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．0.324×108 B．32.4×106 C．3.24×107 D．3.24×108
4．（3分）已知点A（x，y），且xy＞0，则点A在（ ）
A．第二、三象限 B．第一、三象限
C．第三、四象限 D．第一、二象限
5．（3分）小明的妈妈给了小明50元去买作业本，已知作业本的单价是2.5元，小明购买x本作业本，剩余费用为y元，则y与x的表达式为（ ）
A．y＝﹣2.5x+50 B．y＝2.5x
C．y＝（50﹣2.5）x D．y＝50x﹣2.5
6．（3分）如图，直线l1∥l2，等腰直角ABC的两个顶点A、B分别落在直线l1、l2上，∠C＝90°，若∠2＝31°，则∠1的度数为（ ）
A．14° B．24° C．29° D．31°
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣1）＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜2 C．m≥0 D．m≤2
8．（3分）直角三角板ABC与直角三角板DEF如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AC与DE相交于点M．若BC∥EF，则∠CME为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
9．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（ ）
A．2 B． C． D．
10．（3分）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴的交点坐标是（x1，0），（x2，0），m＜x1＜x2＜m+1，当x＝m时，y＝P，当x＝m+1时，y＝q，则（ ）
A．p，q至少有一个大于
B．p，q都小于
C．p，q至少有一个小于
D．p，q都大于
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：6m﹣9m2＝ ．
12．（3分）小宇利用尺规在 ABCD内作出点E，又在BC边上作出点F，作图痕迹如图所示，若EF＝2，则AB，CD之间的距离为 ．
13．（3分）关于x的方程x2+mx＝0的一个根是﹣2，则m的值为 ．
14．（3分）在电压不变的情况下，某电器的电流I（A）与它的电阻R（Ω）之间成反比例函数关系，其图象如图所示．为保证该电器各元件安全工作，限制电流不超过2A，则该电器可变电阻R的取值范围是 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BDAB，则∠BDC＝ ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）（1）解方程组：．
（2）解方程：1．
17．（8分）化简：．
18．（8分）解方程：．
19．（9分）如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点A的横坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度，请在图中直接画出平移后的图象，并求出平移后的图象与反比例函数的图象的交点坐标．
20．（9分）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．
（1）求两种型号垃圾桶的单价；
（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
21．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，连接CD、AD，过点B作BE⊥AD，交DA的延长线于点E，AB平分∠CAE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若∠ACB＝30°，⊙O的半径为6，求BE的长．
22．（12分）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．
（1）求步道DE的长度（精确到个位）；
（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？
（参考数据：1.414，1.732）
23．（12分）如图，一次函数y2的图象与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象相交于点A（2，a），与x轴交于C点，与y轴交于B点．
（1）由图象可知，当x 时，；
（2）求出a，k的值；
（3）若M（m，0）为x轴上的一动点，当△AMB的面积为时，求m的值；
（4）在x轴上是否存在点D，使得∠BOA＝∠OAD，若存在，请直接写出点D坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B A A C D A C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：∵（﹣2022）＝1，
故选：D．
2．解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
3．解：∵3240万＝32400000，
∴3240万用科学记数法表示为3.24×107．
故选：C．
4．解：∵点A（x，y），且xy＞0，
∴x，y同号，
∴点A在第一、三象限．
故选：B．
5．解：由题意可得，
作业本花费：2.5x，
∴y＝﹣2.5x+50；
故选：A．
6．解：∵直线l1∥l2，
∴∠2＝∠3＝31°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴∠1＝45°﹣31°＝14°．
故选：A．
7．解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣1）＝0有两个实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×[﹣（m﹣1）]＝4m≥0，
∴m≥0．
故选：C．
8．解：∵BC∥EF，
∴∠EAM＝∠C＝30°，
∵∠E＝45°，
∴∠CME＝∠E+∠EAM＝75°．
故选：D．
9．解：连接AC交MN于点F，设AB＝2m，则BC＝2AB＝4m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC2m，
∵将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线MN对称，
∴AM＝CM，MN垂直平分AC，
∴BM＝BC﹣CM＝4m﹣AM，∠AFM＝90°，AF＝CFACm，
∵AB2+BM2＝AM2，
∴（2m）2+（4m﹣AM）2＝AM2，
∴AMm，
∴MFm，
∴tan∠AMN2，
故选：A．
10．解：∵二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴的交点坐标是（x1，0），（x2，0），且m＜x1＜x2＜m+1，
∴bx1+c＝0，bx2+c＝0，
∴，
∴m、m+1到x1和x2的距离至少有一个小于，
不妨设|m﹣x1|，则有：m2+bm+c，即p，
∴p，q至少有一个小于．
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：原式＝3m（2﹣3m），
故答案为：3m（2﹣3m）．
12．解：过点E作EM⊥CD于点M，ME交BA的延长线于点N．
由作图可知，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∵AB∥CD，EM⊥CD，
∴EN⊥BA，
∵EF⊥BC，
∴EN＝EF＝2，EF＝EM＝2，MN＝EN+EM＝4，
∴AB，CD之间的距离为4．
故答案为：4．
13．解：∵﹣2是方程x2+mx＝0的一个根，
∴4﹣2m＝0，
解得m＝2，
故答案为：2．
14．解：设反比例函数的解析式为I，
如图所示，把（10，0.2）代入可得：k＝2，
∴I，
∵其限制电流不超过2A，
∴2，解得：R≥1，
故答案为：R≥1．
15．解：过点A作AM⊥BD于M．
∵AB＝AC＝AD，
∴∠CAD＝2∠CBD＝30°，
∴∠ADC＝∠ACD＝75°，
∵AB＝AD，AM⊥BD，
∴BM＝DM，
∵BDAB，
∴，
∴cos∠ABM，
∴∠ABM＝∠ADB＝30°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝45°．
故答案为：45°．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1），
①×2+②得：7x＝14，
解得：x＝2，
将x＝2代入①得：4﹣y＝5，
解得：y＝﹣1，
故原方程组的解为；
（2）原方程去分母得：x（x﹣1）﹣4＝x2﹣1，
整理得：﹣x﹣4＝﹣1，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，x2﹣1≠0，
故原方程的解为x＝﹣3．
17．解：原式2a+b
2a+b
＝2a+b﹣2a+b
＝2b．
18．解：由题意得最简公分母为2（x﹣1），
∴原方程可化为：
2+2x﹣2＝3．
∴x．
检验：把x代入2（x﹣1）＝1≠0，且原方程左边＝右边．
∴原方程的解为x．
19．解：（1）把x＝2代入一次函数y＝x+2，
∴y＝4．
把x＝2，y＝4代入反比例函数y，
∴k＝8．
∴反比例函数的表达式为y．
（2）将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度得到y＝x﹣2．
又由题意可得，．
∴或．
∴交点坐标为（4，2），（﹣2，﹣4）．
20．解：（1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，
由题意可得：，
解得：，
答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；
（2）设A型垃圾桶a个，
由题意可得：60a+100（200﹣a）≤15000，
a≥125，
答：至少需购买A型垃圾桶125个．
21．（1）证明：连接OB，
∵BE⊥AD，
∴∠E＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠ABO，
∵AB平分∠CAE，
∴∠BAO＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠ABO，
∴EA∥OB，
∴∠EBO＝180°﹣∠E＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠AOC＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝6，∠BAO＝60°，
∴∠BAO＝∠EAB＝60°，
在Rt△AEB中，BE＝AB sin60°＝63，
∴BE的长为3．
22．解：（1）过D作DF⊥AE于F，如图：
由已知可得四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC＝200米，
∵点D在点E的北偏东45°，即∠DEF＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DEDF＝200283（米）；
（2）由（1）知△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，
∴EF＝DF＝200米，
∵点B在点A的北偏东30°，即∠EAB＝30°，
∴∠ABC＝30°，
∵AC＝200米，
∴AB＝2AC＝400米，BC200米，
∵BD＝100米，
∴经过点B到达点D路程为AB+BD＝400+100＝500米，
CD＝BC+BD＝（200100）米，
∴AF＝CD＝（200100）米，
∴AE＝AF﹣EF＝（200100）﹣200＝（200100）米，
∴经过点E到达点D路程为AE+DE＝200100+200529米，
∵529＞500，
∴经过点B到达点D较近．
23．解：（1）根据图像可以看出表示一次函数在双曲线上方部分，
∴当x＞2时，，
故答案为：＞2；
（2）由题意可知点A（2，a）在一次函数的图象上，
∴，
∴A（2，3）．
∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A，
∴，
∴k＝6；
（3）一次函数y2的图象与x轴交于C点，与y轴交于B点．
当x＝0时，得：y＝2，
当y＝0时，得：，
解得：x＝﹣4，
∴B（0，2），C（﹣4，0）．
∵M（m，0）为x轴的一动点，
∴CM＝|m|﹣（﹣4）＝|m|+4，
∴，
，
∵S△AMB＝S△ACM﹣S△BCM，，
∴，
解得：m＝3或﹣11；
（4）在x轴上存在点D，使得∠BOA＝∠OAD；D的坐标为（2，0）或．理由如下：
过A作AD⊥x轴于D，如图，
∴AD∥y轴，
∴∠AOB＝∠OAD，
∵A（2，a），k＝6，
∴，
把x＝2，代入，
∴D（2，0），
作OA的垂直平分线交y轴于E，交OA于F，连接AE，并延长AE交x轴于D′，
∴△EOA是等腰三角形，
∴∠AOB＝∠OAD′，
∵A（2，3），
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线AE的解析式为：y＝mx+n，
把A（2，3），代入解析式可得：，
解得：，
∴直线AE的解析式为：，
把y＝0代入，
解得：，
∴，
综上所述，在x轴上存在点D，使得∠BOA＝∠OAD；D的坐标为（2，0）或．
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