2024-2025学年陕西省西安市博爱国际学校高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线过点，，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
2.椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列的公比为，前项和为若，，则( )
A. B. C. D.
4.设，若，则等于( )
A. B. C. D.
5.若向量，，且与的夹角余弦值为，则等于( )
A. B. C. 或 D. 或
6.已知数列是等差数列，，其中公差 ，若 是 和 的等比中项，则( )
A. B. C. D.
7.函数的单调减区间为( )
A. 及 B. 及
C. D. 及
8.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.棱长为的正方体中，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知点，到直线：的距离相等，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
11.已知数列的通项公式为，要下列各数中是的项的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线的焦点到准线的距离为______．
13.若，则数列的前项和 ．
14.已知，，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直．
求直线的方程；
若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．
16.本小题分
如图所示，在长方体中，，，，为上一点且，点在线段上，．
求，；
求直线与平面所成角的正弦值；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
设为等差数列的前项和，已知，．
求的通项公式；
求，并求的最小值及此时的值．
18.本小题分
已知椭圆：的焦距为，且过点．
求椭圆的方程；
在椭圆上找一点，使它到直线：的距离最短，并求出最短距离．
19.本小题分
文科设，其中，曲线在点处的切线与轴相交于点．
Ⅰ确定的值；
Ⅱ求函数的单调区间．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意知，，解得，
直线和的交点为，
设直线的斜率为，
直线与直线垂直，
，
直线的方程为，
化为一般形式为；
设圆的半径为，
则圆心到直线的距离，
可得，
解得，
圆的标准方程为．
16.解：如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
则．
，，又，
平面，所以是平面的一个法向量，
又，
，
直线与平面夹角的正弦值为；
平面的一个法向量是，平面一个法向量为，
，
平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：依题意，，
又，
所以公差，
所以；
由知，，
所以，
所以当时，取得最小值．
18.解：因为椭圆的焦距为，且过点，
所以，
解得，，
则椭圆的方程为；
设与直线：平行的直线与椭圆相切，
联立，消去并整理得，
此时，
解得．
当时，直线与直线的距离；
当时，直线与直线的距离．
因为，
所以符合题意，
将代入中，
解得，
将代入中，
解得．
则点的坐标为，此时距离的最小值为．
19.解：Ⅰ因，
故，，
令，得，，
曲线在点处的切线方程为，
由切线与轴相交于点．
，
．
Ⅱ由得，，
，
令，得或，
当或时，，故在，上为增函数，
当时，，故在上为减函数．
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