2024-2025学年湖北省武汉市洪山高级中学高一（下）月考
数学试卷（2月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若是第四象限角，则点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是( )
A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
3.已知，且，若，，则( )
A. B. C. D.
4.设，，，则有( )
A. B. C. D.
5.设，，且，则( )
A. B. C. D.
6.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在农政全书中用图描绘了筒车的工作原理假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动将筒车抽象为一个几何图形圆，筒车的半径为，筒车的轴心到水面的距离为，筒车每分钟按逆时针转动圈规定：盛水筒对应的点从水中浮现即时的位置时开始计算时间，设盛水筒从运动到点时所用时间为单位：，且此时点距离水面的高度为单位：若以筒车的轴心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系如图，则与的函数关系式为( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
7.已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，且，，，( )
A. 函数，，都是偶函数
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.计算下列各式的值，其结果为的有( )
A. B.
C. D.
10.已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是( )
A. 的图像关于点对称
B. 的图像关于直线对称
C. 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像
D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
11.已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则( )
A. 的周期为
B.
C. 的所有零点之和为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 ______．
13.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为______．
14.已知为正数，函数在区间和上的最大值分别记为和，若，则______，的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知角的终边经过点，求：
的值；
求的值．
16.本小题分
已知函数，．
Ⅰ求函数的最小正周期及单调递增区间：
Ⅱ若为锐角且，满足，求的值．
17.本小题分
自年月日起，三峡大坝旅游景点对中国游客含港、澳、台同胞、海外侨胞施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现年三峡大坝游客总量约为万人，年约为万人，年约为万人，三峡大坝的年游客人数与年份代码记年的年份代码为，年年份代码为，依此类推有两个函数模型与可供选择．
试判断哪个函数模型更合适不需计算，简述理由即可，并求出该模型的函数解析式；
问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是年的倍．
参考数据：，，，
18.本小题分
已知函数在上为奇函数，，．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ指出函数的单调性不需要证明
Ⅲ设对任意，都有；是否存在的值，使最小值为．
19.本小题分
已知函数的定义域为．
求的取值范围；
讨论函数的单调性；
给定函数，，若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“不动点”；若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“次不动点”若函数在上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：已知角的终边经过点，
则，，
则；
．
16.解：Ⅰ，
，
，
，
故最小正周期，
令，，
解得，
故函数的单调递增区间，；
Ⅱ由Ⅰ得
，
因为为锐角，
所以，，
因为，
所以，
．
17.解：至年增长了万人，至增长了万人，增长速度越来越快，符合指数增长模型，
故函数模型更适合．
将，代入，可得，解得，，
函数解析式为；
年约为万人，当三峡大坝旅客年游览人数约是年的倍时，游览人数约是万人，
，即，则
．
故大约在年，三峡大坝旅客年游览人数约是年的倍．
18.解：可得，，
，即，，．
由知，
故函数在上是减函数．
又对任意，都有，
，
，即．
由于，故，解得．
令，则，令，二次函数的对称轴方程为．
，．
当时，在上是增函数，的最小值为，求得 舍去．
当时，的最小值为，求得，满足条件．
综上可得，．
19.解：因为函数的定义域为，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
又因为，当且仅当，即时，等号成立．
所以的取值范围为；
令，则为上的增函数，且．
设，开口向上，对称轴为．
当时，函数在上单调递增，
又为增函数，
由复合函数单调性，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
又为增函数，
由复合函数单调性，在单调递减，在单调递增．
综上，当，函数在上单调递增；
当时，函数在单调递减，在单调递增；
设函数在上的“不动点”为，则，
即，
即，，
整理得，，
令，，则，
由对勾函数的性质可知在上单调递减，上单调递增，
因当时，，，，
所以若与的图象在上仅有一个交点，
则或，
又由知，
所以或；
设函数在上的“次不动点”为，则，
即，，
所以，，
即，．
令，，则，
则，，
任取，且，
则
．
因为，且，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递增，
因为与的图象在上仅有一个交点，且．
所以，又因为，
故．
综上，若函数在上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，
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