2023-2024学年天津市宁河区北淮淀镇中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x≤2 C．x≥﹣2 D．x≥2
2．（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1.5，2，3 B．3，4，5 C．5，12，13 D．7，24，25
3．（3分）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（3分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
8．（3分）等腰三角形的腰长为13，底长为10，则这个等腰三角形底边上的高是（ ）
A．10 B．12 C．8 D．11
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为矩形，则可以添加的条件是（ ）
A．∠AOB＝60° B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝BC
10．（3分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，若OE＝6，则菱形的周长为（ ）
A．18 B．48 C．24 D．12
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE大小是（ ）
A．55° B．40° C．35° D．20°
12．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，点E、F分别在边AB、CD上，点O是EF与AC的交点，且点O是线段EF的中点，沿AF、CE折叠，使AD、CB都落在AC上，且D、B恰与点O重合．下列结论：
①∠DCA＝30°；
②点E是AB的中点；
③四边形AECF是菱形；
④AD的长是．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）．
13．（3分）化简二次根式的结果是 ．
14．（3分）如果两个最简二次根式与能合并，那么a＝ ．
15．（3分）如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．
16．（3分）O是坐标原点，菱形OABC，OA＝4，∠AOC＝60°，顶点C在x轴的正半轴上，则点的B坐标为 ．
17．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的角平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DE＝ cm．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是 ．
三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写文字说明，演算步骤或证明过程．
19．（8分）计算下列各题：
（1）﹣×；
（2）（3﹣2）（3+2）．
20．（8分）已知：a＝﹣2，b＝+2，分别求下列代数式的值：
（1）a2+2ab+b2
（2）a2b﹣ab2．
21．（10分）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
22．（10分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝120°，对角线AC，BD相交于点O，又有E，F分别为AB，AD的中点，连结EF．
（Ⅰ）求对角线AC的长；
（Ⅱ）求EF的长．
23．（10分）已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE＝DF，求证：四边形BECF是平行四边形．
24．（10分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G，且DG于CF交于点E．
（1）求证：AF＝GB；
（2）求证：△EFG是直角三角形．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．
（Ⅰ）试用含t的式子表示AE、AD、DF的长；
（Ⅱ）如图①，连接EF，求证四边形AEFD是平行四边形；
（Ⅲ）如图②，连接DE，当t为何值时，四边形EBFD是矩形？并说明理由．
2023-2024学年天津市宁河区北淮淀镇中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A B D B A D B B B C
题号 12
答案 C
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
1．【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故选：D．
2．【解答】解：∵1.52+22≠32；32+42＝52；52+122＝132；72+242＝252，
∴选项A不能，B，C，D能，
故选：A．
3．【解答】解：A、原式＝＝，所以A选项的计算正确；
B、与不能合并，所以B选项的计算错误；
C、原式＝＝3，所以C选项的计算正确；
D、原式＝2，所以D选项的计算正确．
故选：B．
4．【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意．
故选：D．
5．【解答】解：＝，
∴OA＝，
则点A对应的数是，
故选：B．
6．【解答】解：∵正方形小方格边长为1，
∴BC＝＝5，
AC＝＝，
AB＝＝，
在△ABC中，
∵AB2+AC2＝5+20＝25，BC2＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
7．【解答】解：（A）对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误．
（B）对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故B错误．
（C）对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故C错误．
故选：D．
8．【解答】解：如图：
AB＝AC＝13，BC＝10．
△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC；
∴BD＝DC＝BC＝5；
Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5；
由勾股定理，得：AD＝＝＝12．
故选：B．
9．【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．故B选项符合题意，
由∠AOB＝60°无法判断平行四边形ABCD是矩形．故A选项不符合题意，
由AC⊥BD无法判断平行四边形ABCD是矩形．故C选项不符合题意，
由AB＝BC无法判断平行四边形ABCD是矩形．故D选项不符合题意，
故选：B．
10．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E为CD的中点，
∴OE＝DC＝6，
∴CD＝12，
∴菱形的周长＝4×12＝48，
故选：B．
11．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝110°，
∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣70°）＝55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°，
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°；
故选：C．
12．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CF∥AE，
∵D是EF的平分点，
∴OF＝OE，
∴O是AC的平分点，
∴OA＝OC，
∵∠AOF≌△COE（SAS），
∵OE＝OF，AO＝AO，
∴∠AOF＝∠COE＝90°，
∴△AOF≌△AOE（SAS），
∴∠DAF＝∠OAE＝∠OAF＝×90°＝30°，
∴①正确；
∴∠DCA＝30°＝∠OAE，
∴AE＝2OE，
∵△AOF是由△AOD翻折的，
∴△AOF≌△AOD，
同理，△BCE≌△COE，
∴AOF≌△AOD≌△BCE≌△COE，
∴OE＝BE，
∴E是AB的三等分点，
∴②错误；
∵AC、EF相互垂直平分，AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形，
∴③正确；
∵DF＝BE＝AB＝1，∠DAF＝30°，
∴AF＝2，
∴AD＝，
∴④正确，
故选：C．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）．
13．【解答】解：＝＝3．
故答案为：3．
14．【解答】解：∵两个最简二次根式与能合并，
∴两个最简二次根式与是同类二次根式，
∴3a﹣1＝2a+3，
解得：a＝4．
故答案为：4．
15．【解答】解：如图所示，AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米，
过C作CE⊥AB于E，
则CE＝BD＝12，AE＝AB﹣CD＝5，
在直角三角形AEC中，
AC＝＝＝13．
答：小鸟至少要飞13米．
故答案为：13．
16．【解答】解：如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵四边形OABC是菱形，OA＝4，∠AOC＝60°，
∴，
∴OD＝OC+CD＝4+2＝6，
∴，
故答案为：．
17．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBF，
∵∠ABC的角平分线交AD于点E，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠AEB＝∠ABF，
∴AB＝AE，
∵AB＝4cm，AD＝7cm，
∴DE＝3cm．
故答案为：3．
18．【解答】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，
∴BN＝ND，
∴DN+MN＝BN+MN，
连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
BN+MN＝BP+PM＝BM，
BN+MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，
∴BM＝＝10，
∴DN+MN的最小值是10．
故答案为：10．
三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写文字说明，演算步骤或证明过程．
19．【解答】（1）原式＝2﹣2×
＝2﹣2；
（2）原式＝﹣
＝18﹣12
＝6．
20．【解答】解：当a＝﹣2，b＝+2时，
（1）a2+2ab+b2，
＝（a+b）2，
＝（﹣2++2）2，
＝（2）2，
＝12；
（2）a2b﹣ab2，
＝ab（a﹣b），
＝（﹣2）（+2）（﹣2﹣﹣2），
＝[（）2﹣22]×（﹣4），
＝﹣1×（﹣4），
＝4．
21．【解答】解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为：＝24（米）；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米），
根据勾股定理得：25＝，
解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
22．【解答】解：（I）∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，
∴AB＝BC＝2，∠BCA＝∠DCA＝∠BCD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2．
（Ⅱ）∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴，BO＝DO，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO＝＝＝，
∴．
∴．
23．【解答】解：如图，连接BC，设对角线交于点O．
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴OA＝OD，OB＝OC．
∵AE＝DF，
∴OA﹣AE＝OD﹣DF，
∴OE＝OF．
∴四边形BECF是平行四边形．
24．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC．
∴∠AGD＝∠CDG，∠DCF＝∠BFC．
∵DG、CF分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠CDG＝∠ADG，∠DCF＝∠BCF．
∴∠ADG＝∠AGD，∠BFC＝∠BCF
∴AD＝AG，BF＝BC．
∴AF＝BG；
（2）∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵DG、CF分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠EDC+∠ECD＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴∠FEG＝90°，
∴△EFG是直角三角形．
25．【解答】解：（I）由题意得，AE＝t，CD＝2t，
则AD＝AC﹣CD＝12﹣2t，
∵DF⊥BC，∠C＝30°，
∴DF＝CD＝t；
（Ⅱ）∵∠ABC＝90°，DF⊥BC，
∴AB∥DF，
∵AE＝t，DF＝t，
∴AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（Ⅲ）当t＝3时，四边形EBFD是矩形，
理由如下：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴AB＝AC＝6cm，
∵BE∥DF，
∴BE＝DF时，四边形EBFD是平行四边形，即6﹣t＝t，
解得，t＝3，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EBFD是矩形，
∴t＝3时，四边形EBFD是矩形．
