湖南省邵阳市2025年中考一模数学试题
注意事项：
1.本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效.
2.答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚.
3.答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回.
4.本试卷共三道答题，26道小题，满分120分，时量共120分钟.
阅卷人 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）
得分
1．实数的倒数是（ ）
A．3 B． C． D．
2．我国第一款游戏《黑神话：悟空》自年月在全球发售，累计销售收入已经超过亿人民币，游戏取材于我国四大名著之一《西游记》，凭借精美的制作，吸引很多外国玩家自发去了解西游故事，展现了我国传统文化的巨大魅力．数据亿用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列每个几何体均由六个相同的小正方体搭成，其中与如图所示的几何体主视图相同的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知二次函数，下列结论不正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象经过点
C．对称轴是直线 D．与轴有两个交点
6．某同学现有一装有若干个黄球的袋子，为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了30个白球(所有球除颜色外其余均相同)，摇匀后随机抓取70个，其中白球共计10个，则袋子中黄球的数量约为（ ）
A．200 B．180 C．240 D．150
7．如图所示，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为.以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标是（ ）.
A． B． C． D．
8．湖湘饮食文化源远流长，“大碗米粉”是湖南地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“大碗”（图①）的形状示意图.是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，.已知，碗深，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
9．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A． B．
C． D．
10．在矩形中，已知两条邻边与的长分别为2和3，若是边的中点，连接，过点作，垂足为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
阅卷人 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）
得分
11．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是 ．
12．函数中自变量x的取值范围是 ．
13．分解因式： ．
14．如图，五边形为的内接正五边形，则 ．
15．已知m，n 是方程的两实数根，则 ．
16．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为 ．
17．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则 ．
18．如图，点A在双曲线上，轴于B，若的面积为5，则 ．
阅卷人 三、解答题（本大题共8个小题，第19-25题每题8分，第26题10分，共66分；解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
得分
19．计算：
（1）；
（2）sin45°﹣cos30°tan60°．
20．先化简，再求值：，化简后，从的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值．
21．如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），点，，均在格点上．
（1） 在网格图中画出绕点顺时针旋转90°后的．
（2）在（1）的条件下，求旋转过程中，点所经过的弧长．（结果保留）
22．育才中学音乐组围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其他活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两种统计图.请根据统计图解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽查了 名学生；扇形统计图中喜欢“声乐”部分扇形的圆心角为 度.
（2）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率.
23．如图，已知在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，菱形的面积为40，求的长.
24．中国书法的工具和材料基本上是由笔、墨、纸、砚演变而来的，人们通常把它们称为“文房四宝”，实验中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团．经过市场调研后最终确定为学生购买甲、乙两种“文房四宝”，已知购买2套甲种“文房四宝”和3套乙种“文房四宝”一共需要430元，买3套甲种“文房四宝”比买1套乙种“文房四宝”贵150元．
（1）每套甲种“文房四宝”和每套乙种“文房四宝”的价格分别是多少元？
（2）若学校需购进甲、乙两种“文房四宝”共100套，总费用不超过8360元，并且根据学生需求，要求购进甲种“文房四宝”的数量低于乙种“文房四宝”数量的2倍，共有几种购买方案？最低费用是多少元？
25．如图，某货船以24n mile/h的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东的方向上，该货船航行30min后到达B处，此时再测得该岛在北偏东的方向上，已知在岛C周围9n mile的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由.
26．平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣，均为常数）与y轴相交于点A，与x轴相交于B（﹣3两点，连接AB，过点C作CD∥AB交抛物线于点D．
（1）求出该抛物线的函数表达式及点D的坐标；
（2）如图1，已知点G是线段AB上方抛物线上一点，过点G作GP∥y轴交CD于P，在线段AC和线段CD上分别有两个动点K、L，且满足KL＝2，M是KL的中点，当GP+DP取得最大值时，在线段AB上是否存在一点R，使得RP+RM的值最小？若存在，请求出P点的坐标以及RP+RM的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，E是线段BO上一定点，且满足OE：OB＝4：9，连接AE，将线段AE沿y轴向下平移6个单位至HF，连接EF，T是线段EF上一动点，点A、H同时绕点T逆时针旋转90°，应对点分别是A'、H'．在旋转过程中，当△EA'H'是直角三角形时，请直接写出此时A'的坐标．
答案解析部分
1．C
2．D
3．C
4．C
5．C
6．B
7．B
8．A
9．D
10．B
11．1
12．且
13．
14．
15．9
16．96
17．
18．
19．（1）解：原式＝1﹣|1﹣|﹣2+
＝1+1﹣﹣2+2
＝；
（2）解：原式＝﹣×
＝﹣
＝．
20．
21．（1）如图，△OB1C1即为所求；
（2）解：∵OC＝ ，
∴点C所经过的弧长＝ ．
22．（1）50；57.6
（2）解：画树状图如下（用A、B、C、D分别表示“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目）：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的有2种结果，
∴恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率为：.
23．（1）证明：如图，
因为，所以，
因为是的中点，所以，
在和中，
所以，所以，
因为为边上的中线，所以，所以，
因为，所以四边形是平行四边形，
因为，是的中点，所以，
所以平行四边形是菱形.
（2）解：因为是的中点，所以，
所以.
24．（1）每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是80元，90元
（2）有3种购买方案；最低费用是8340元
25．若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．
26．（1）解：由题意得，
y＝﹣，
∴A（0，3），
∴tan∠ABC＝，
∵CD∥AB，
∴tan∠BCD＝tan∠ABC＝，
设点D（m，﹣），
∴，
∴m＝﹣4，
∴y＝﹣＝﹣5，
∴D（﹣4，﹣5）
（2）解：如图1，
设G（t，﹣），P（t，），则PD＝2（yP﹣yD）＝2
∴GP+DP＝﹣t2﹣t+10，
∴当t＝﹣时，GP+DP最大，
∴，
∴P
作点P关于AB的对称点P'，PP'交AB于V，作P'W⊥PG于W，
∴∠IP'P＝∠IPP'＝30°，
∴∠P'IW＝60°，
∵tan∠ACB＝，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝90°，
∴P'V＝PV＝AC＝2OC＝2，
∴PP'＝4，
∴P'W＝
∵﹣
∴P'（﹣），
∵∠ACD＝∠ACB+∠BCP＝60°+30°＝90°，点M是KL的中点，
∴CM＝1，
∴点M在以C为圆心，1为半径的圆上运动，
连接CP'，交AB于R，交⊙C于M，此时BP+RM最小，
∵CP'＝
∴BP+RM的最小值为：；
（3）解：如图2，
∵OB＝3，OE：OB＝4：9，
∴OE＝4，
∴E（﹣4，0），F（﹣4，﹣6，），H（0，﹣3），
点A、H绕点E，F逆时针旋转90°分别至X，Y，及S，T，
∴X（﹣7，4），Y（﹣13，﹣2），S（﹣1，4），T（﹣7，﹣2），
∴XY的解析式为：y＝x+11，直线ST的解析式为：y＝x+5，
把x＝﹣4代入y＝x+5得，y＝1，此时∠A'H'E＝﹣90°，
当y＝1时，x+11＝1，
∴x＝﹣10，
∴A'1（﹣10，1），
设A'（n﹣11，n），H'（n﹣5，n）此时A'H'的中点T（n﹣8，n），
当ET＝A'H'＝3时，∠A'EH'＝90°，
∴（n﹣8+4）2+n2＝32，
∴n＝，
∴n﹣11＝，
∴A'2，
综上所述：A'（﹣10，1）或
