7.1相交线 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．如图所示，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，下列工具的图片中，有对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
4．以下说法中：①同角的余角相等 ②对顶角相等 ③平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直 ④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．其中正确的有（ ）
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，两条直线AB，CD交于点O，射线OM是∠AOC的平分线，若∠BOD＝80°，则∠BOM等于（ ）
A．140° B．120° C．100° D．80°
6．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，则∠BOD的度数为（ ）
A．22° B．34° C．56° D．72°
7．下列事实中，利用“垂线段最短”依据的是（ ）
A．把一根木条固定在墙上至少需要两个钉子
B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程
C．体育课上，老师测量同学们脚后跟到起跳线的垂直距离作为跳远成绩
D．火车运行的铁轨永远不会相交
8．如图点P是直线a外一点，PB⊥a，A、B、C、D都在直线a上，下列线段中最短的是（ ）
A．PA B．PB C．PC D．PD
9．如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B（AB⊥CD于点B）处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（ ）
A．垂线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短
10．如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（ ）
A．60° B．70° C．80° D．85°
二．填空题（共6小题）
11．如图，直线AB、CD相交于点O，∠1＝50°，则∠2＝ 度．
12．如图，三条直线两两相交于点O，∠AOE的对顶角是 ，∠AOD的邻补角是 ．
13．如图，CO⊥AB于O，DE经过点O，∠AOE＝40°，则∠COD＝ ．
14．如图，要把河中的水引到农田P处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P作PQ垂直河边l，垂足为点Q，然后沿PQ开挖水渠，其依据是 ．
15．如图，是李晓松同学在运动会跳远比赛中最好的一跳，甲、乙、丙三名同学分别测得PA＝5.52米，PB＝5.37米，MA＝5.60米，那么他的跳远成绩应该为 米．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是 ．
三．解答题（共4小题）
17．如图，直线AB、CD相交于点O，∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4的度数．
18．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM＝90°，∠DON＝90°．
（1）若∠COM＝∠AOC，求∠AOD的度数；
（2）若∠COM∠BOC，求∠AOC和∠MOD．
19．如图，直线AB与CD相交于O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线．
（1）写出∠DOE的补角；
（2）若∠DOE＝30°，求∠BOC和∠EOF的度数；
（3）试问射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系？为什么？
20．【动手实践】
在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．
请你利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究．
【实验操作】
（1）如图1，边BA和边BE重合摆成图1的形状，则∠CBD＝ 度；
（2）保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，请问：当∠ABE是多少度时，BD⊥BC？请说明理由；（∠ABE＜180°）
【拓展延伸】
（3）试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，使得∠ABD与∠ABE中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的∠ABE的度数．（∠ABE＜180°）
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C C A A C B A B
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：A、∠1和∠2是邻补角，故此选项错误；
B、∠1和∠2没有公共顶点，故此选项错误；
C、∠1和∠2有一边不是互为反向延长线，故此选项错误；
D、∠1和∠2是对顶角，故此选项正确；
故选：D．
2．【解答】解：根据对顶角的定义可知，选项B是对顶角，其它都不是，
故选：B．
3．【解答】解：A图中，∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；
B图中，∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；
C图中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角，符合题意；
D图中，∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意．
故选：C．
4．【解答】解：①同角的余角相等
②对顶角相等
③平面内，过一点有一条直线与已知直线垂直，故③错误；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
故选：C．
5．【解答】解：∵∠BOD＝80°，
∴∠AOC＝80°，∠COB＝100°，
∵射线OM是∠AOC的平分线，
∴∠COM＝40°，
∴∠BOM＝40°+100°＝140°，
故选：A．
6．【解答】解：∵∠COE是直角，∠COF＝34°，
∴∠EOF＝90°﹣34°＝56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝56°，
∴∠AOC＝56°﹣34°＝22°，
∴∠BOD＝∠AOC＝22°．
故选：A．
7．【解答】解：A选项的依据是：两点确定一条直线．
B选项的依据是：两点之间，线段最短．
C选项的依据是：点到直线，垂线段最短．
D选项的依据是：平行线没有交点．
故选：C．
8．【解答】解：如图，PB是点P到a的垂线段，
∴下列线段中最短的是PB．
故选：B．
9．【解答】解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B（AB⊥CD于点B）处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故选：A．
10．【解答】解：如图，
∵BM⊥CD，
∴∠CBM＝90°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠ABE+∠FBM＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∵∠ABE＝∠FBM，
∴∠ABE＝∠FBM＝20°，
∴∠EBC＝20°+50°＝70°．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．【解答】解：∠2＝∠1＝50°
故答案为：50°
12．【解答】解：由图可得，∠AOE的对顶角是∠BOF，
∠AOD的邻补角是∠AOC和∠DOB．
故答案为：∠BOF；∠AOC、∠DOB．
13．【解答】解：∵CO⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOE＝40°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOE﹣∠AOC＝180°﹣40°﹣90°＝50°．
故答案为：50°．
14．【解答】解：要把河中的水引到农田P处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P作PQ垂直河边l，垂足为点Q，然后沿PQ开挖水渠，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
15．【解答】解：根据跳远规则，李晓松的跳远成绩为点P到踏板的距离，
∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，
∴他的跳远成绩应该为线段PB的长度，
∵PB＝5.37米，
∴他的跳远成绩应该为5.37米．
故答案为：5.37．
16．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：△ABC的面积 AB PC AC BC，
∴5PC＝4×3，
∴PC，
故答案为：．
三．解答题（共4小题）
17．【解答】解；∵∠1＝40°，∠1＝∠2，
∴∠2＝40°，
∵∠1＝40°，∠1+∠3＝180°，
∴∠3＝140°，
又∵∠3＝∠4，
∴∠4＝140°．
故答案为：40°，140°，140°．
18．【解答】解：（1）∵∠COM＝∠AOC，
∴∠AOC∠AOM，
∵∠BOM＝90°，
∴∠AOM＝90°，
∴∠AOC＝45°，
∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°；
（2）设∠COM＝x°，则∠BOC＝4x°，
∴∠BOM＝3x°，
∵∠BOM＝90°，
∴3x＝90，
x＝30，
∴∠AOC＝60°，∠MOD＝90°+60°＝150°．
19．【解答】解：（1）∠DOE 的补角为：∠COE，∠AOD，∠BOC．
（2）∵OD是∠BOE 的平分线，
∴，∠BOE＝60°；
∵∠BOC＝180°﹣∠BOD，
∴∠BOC＝150°；
∵∠AOE＝180°﹣∠BOE，
∴∠AOE＝120°；
又∵OF是∠AOE 的平分线，
．
（3）射线OD与OF互相垂直．理由如下：
∵OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，
∴∠DOF＝∠DOE+∠EOF∠BOE∠EOA（∠BOE+∠EOA）180°＝90°．
∴OD⊥OF．
即射线OD、OF的位置关系是垂直．
20．【解答】解：（1）根据图示∠CBD＝∠CBA+∠EBD＝45°+60°＝105°，
故答案为：105：
（2）∠ABE＝15°或∠ABE＝165°，理由如下：
如图，∵BD⊥BC
∴∠CBD＝90°
∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°
∴∠ABE＝∠EBD+∠ABC﹣∠CBD
＝60°+45°﹣90°
＝15°；
如图，∵BD⊥BC
∴∠CBD＝90°
∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°
∴∠ABE＝360°﹣（∠EBD+∠ABC+∠CBD）
＝360°﹣（60°+45°+90°）
＝165°．
（3）
当边BE在边AB右侧时如图3，设∠ABE＝x，则有2x＝x+60，解得x＝60°，或者x＝2（x﹣60）解得x＝120°，
当边BE在边AB左侧时如图2，设∠ABE＝x，则有x+2x＝60°，解得x＝20°，或者x＝2（60﹣x），解得x＝40°．
综上分析，∠ABE的度数为20°，40°，60°，120°．
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