四川省泸州市合江县马街中学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题
1．（2024高一下·合江期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】。
故答案为：C.
【分析】利用诱导公式得出的值。
2．（2024高一下·合江期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
所以，
故选：C.
【分析】利用对数函数的单调性解不等式先化简集合B，进而利用交集的定义求出 即可 .
3．（2024高一下·合江期中）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：A、函数是定义在上的奇函数，故选项A错误；
B、函数的定义域为，是非奇非偶函数，故选项B错误；
C、函数是R上的偶函数，当时，在上单调递减，故选项C正确；
D、函数是R上的偶函数，但在上不单调，故选项D错误.
故选：C.
【分析】结合函数的奇偶性及单调性逐一进行判断分析即可.
4．（2024高一下·合江期中）在中，点D是AB的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意可知，
故选：D.
【分析】根据向量的线性运算法则计算求出即可.
5．（2024高一下·合江期中）已知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由，可得，所以，
则在上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】根据单位向量的定义和数量积求投影向量的方法，从而由得出在上的投影向量.
6．（2024高一下·合江期中）中国历史文化名楼之一的越王楼，位于四川省绵阳市游仙区涪江畔，更因历代诗人登楼作诗而流芳后世.如图，某同学为测量越王楼的高度，在越王楼的正东方向找到一座建筑物，高约为49m，在地面上点处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，越王楼顶部的仰角分别为和，在A处测得楼顶部的仰角为，则越王楼的高度约为（ ）
A．69m B．95m C．98m D．99m
【答案】C
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，（m），
在中，可知
所以，
由正弦定理，可得（m），
在中，（m），
所以越王楼的高度约为98m.
故选：C.
【分析】求出AC，，在△ACM中，由正弦定理求出MC的长度，进而可求得MN的长度，即越王楼的高度 .
7．（2024高一下·合江期中）在中，角所对的边分别为，若，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
【答案】A
【知识点】余弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由余弦定理得，整理得，
所以是等腰三角形.
故选：A.
【分析】根据给定条件结合余弦定理进行角化边整理可得a=b，进而即可判断 的形状.
8．（2024高一下·合江期中）在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图所示，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，，，，，
所以，
因为，所以，所以的取值范围是.
故选：D．
【分析】建立适当的平面直角坐标系，设，求出其他各点的坐标，进而利用向量的数量积的坐标公式表示出，结合的范围即可求出的取值范围.
9．（2024高一下·合江期中）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：A、，故选项A正确；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D正确，
故选：AD.
【分析】利用二倍角的余弦公式即可判断选项A；利用二倍角的正弦公式即可判断选项B；利用两角和差的正弦公式即可判断选项C、D.
10．（2024高一下·合江期中）已知为两个非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．若，则A、B、C三点共线
B．，则A、B、C三点共线
C．若，则A、B、C三点共线
D．若，则A、B、C三点共线
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：A、若，则共线且的终点是的起点，所以A、B、C三点共线，故选项A正确；
B、因为，所以不共线，所以A、B、C三点不共线，故选项B错误；
C、因为，所以，即，所以A、B、C三点共线，故选项C正确；
D、因为，所以，所以A、B、C三点共线，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】，即可得出共线，进而可判断选项A；根据共线向量的坐标运算即可判断选项B；利用向量的线性运算可知，即可得到，进而可判断选项C；根据共线向量的坐标运算即可判断选项D.
11．（2024高一下·合江期中）函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）
A．
B．函数为奇函数
C．若，则
D．函数的图象关于点成中心对称
【答案】A,D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由题意可知，，所以，
所以，
又点在图像上，所以，
所以，解得，
因为，所以，故选项A正确；
B、所以，因为，所以，故选项B错误；
C、因为，所以，，则，故选项C错误；
D、因为，所以函数的图象关于点成中心对称，故选项D正确；
故选：AD.
【分析】根据函数的部分图象可知A和周期T，进而可求得，再结合图像上的点即可求得的值，即可判断选项A；得到，即可判断选项B；根据x的取值范围，结合正弦函数图象的性质即可判断选项C；求出的值即可判断选项D.
12．（2024高一下·合江期中）已知两个单位向量、的夹角为，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量加、减运算的坐标表示；平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【解答】解：A、由题意可得，，，
所以，所以的斜坐标为，故选项A正确；
B、，在与不垂直时，，故选项B错误；
C、，因此的斜坐标是，故选项C正确；
D、，在与不垂直时，，故选项D错误；
故选：AC．
【分析】根据向量线性运算、向量模的定义、数量积的定义逐项分析判断即可．
13．（2024高一下·合江期中）已知，则 .
【答案】
【知识点】平面向量加、减运算的坐标表示；平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得，.
故答案为：.
【分析】利用向量的坐标运算求解即得 .
14．（2024高一下·合江期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】存在量词命题
【解析】【解答】解：，，为真命题，所以，解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根的判别式可知，解不等式即可求得实数的取值范围 .
15．（2024高一下·合江期中）已知，且，则的值为 .
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】利用同角三角函数基本关系以及二倍角公式可知即可计算求出 的值 .
16．（2024高一下·合江期中）已知函数在有且仅有三个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，，所以，
又因为在有且仅有三个零点，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】先求得的范围，根据在有且仅有三个零点结合正弦函数的性质列出不等式即可求出的取值范围 .
17．（2024高一下·合江期中）已知：.
（1）化简；
（2）若是第二象限角，且，求.
【答案】（1）解：
（2）解：因为是第二象限角，且，
所以，
所以
.
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【分析】（1）利用二倍角正弦公式化简即可；
（2）利用同角三角函数关系先求出，进而利用两角和的余弦公式即可求得 .
（1）.
（2）因为是第二象限角，所以，且，
所以，
故
.
18．（2024高一下·合江期中）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ．
（1）若 ，求 的值．
（2）若 的面积为 ，求 的值．
【答案】解：在 中， ， ∴ ， 即 （ ）若 的面积为 ，求 的值． 解：∵ ，解得 ， 又∵ ， ∴ ， ∴
（1）解：在 中， ，
∴ ，
即
（2）解：∵ ，解得 ，
又∵ ，
∴ ，
∴
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由 ， ． ，根据正弦定理可得 ；（2）由 ，解得 ，再由余弦定理可得 ，从而得
19．（2024高一下·合江期中） 已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，
（1）若与垂直，求实数的值；
（2）若的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可得，
由与垂直，所以，即，
解得.
（2）解：由（1）知，，
由的夹角为锐角，得，且不共线，
于是，解得且，
所以实数的取值范围是.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用垂直关系可知，结合数量积的运算律求解即可求得实数的值；
（2）由的夹角为锐角，可得，且不共线，利用向量的夹角公式，结合共线向量的坐标表示求解即可得实数的取值范围 .
（1）依题意，，则
由与垂直，得，即，
所以.
（2）由（1）知，，
由的夹角为锐角，得，且不共线，
于是，解得且，
所以实数的取值范围是.
20．（2024高一下·合江期中）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在上恰有一解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：函数，
令，解得，
函数的单调递增区间为.
（2）解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
若关于的方程在上恰有一解，
即在上恰有一解，
即在上恰有一解，
当时，，
函数，当时，单调递增；
当时，单调递减；
而，，，
所以或，解得或，
即实数的取值范围为．
【知识点】简单的三角恒等变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，利用整体代换法结合正弦函数的性质即可解出的单调递增区间；
（2）根据函数图象变换，先求得函数的图象，先结合条件将问题转化为在上恰有一解，然后分析的单调性以及函数值，从而列出关于的不等式，进而求出实数m的取值范围．
（1）函数，
令，
，
函数的单调递增区间为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
若关于的方程在上恰有一解，
即在上恰有一解，
即在上恰有一解，
当时，，
函数，当时，单调递增，
当时，单调递减，
而，，，
或，解得或，
即实数的取值范围为．
21．（2024高一下·合江期中） 在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在中，角，，所对的边分别为，，，且 ．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，，求面积的取值范围．
【答案】（1）解：选①，由正弦定理得，
即，即，
因为，所以，所以，
又因为，
所以.
选②，
，
解得，
所以，
又因为，
所以.
选③，由，
得，
即，
由正弦定理得，
由余弦定理可得，
又因为，
所以.
（2）解：由正弦定理可得，
所以，
因为，所以，令，
由为锐角三角形，得，则，，
则的面积
所以面积的取值范围是.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）选①时结合正弦定理进行边化角，再利用两角和的正弦公式化简即得，结合A的范围即可求得角的值；选②，先利用二倍角公式化简求解，再利用诱导公式即得，结合A的范围即可求得角的值；选③，先展开化简，结合正弦定理进行角化边，再利用余弦定理求得，结合A的范围即可求得角的值；
（2）由（1）及已知，利用正弦定理可得，由，令，且，，再利用三角形面积公式及和差角的正弦化简可得，进而即可求出面积的取值范围 .
（1）选①，由正弦定理得，
即，即，
而，，则，又，
所以.
选②，
，
解得，，而，
所以.
选③，由，
得，
即，由正弦定理得，
由余弦定理知，而，
所以.
（2）由（1）得，又，由正弦定理，
得，而，令，
由为锐角三角形，得，则，，
则的面积
所以面积的取值范围是.
22．（2024高一下·合江期中）已知函数为上的偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的范围．
【答案】（1）解：因为函数为R上的偶函数，
所以，所以.
即，解得.
当时，
.
.
则，即为R上的偶函数；
（2）解：因为对任意恒成立，即，
令，因为函数在上单调递增，所以.
令，则，当且仅当，即时取等号.
而函数为单调递增函数，所以，
所以，即．
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由偶函数定义找特例，列方程即可求得k，后验证其符合条件即可；
（2）对任意恒成立，等价于.令，，令，则，进而可求得函数f(x)的最小值，即可求得a的取值范围.
（1）由函数为R上的偶函数，
则，即.
即，解得.
当时，
.
.
则，即为R上的偶函数；
（2）对任意恒成立，即，
令，因函数在上单调递增，则.
令，则，当且仅当，即时取等号.
而函数为单调递增函数，所以，
所以，即．
四川省泸州市合江县马街中学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题
1．（2024高一下·合江期中）（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·合江期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·合江期中）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·合江期中）在中，点D是AB的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一下·合江期中）已知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·合江期中）中国历史文化名楼之一的越王楼，位于四川省绵阳市游仙区涪江畔，更因历代诗人登楼作诗而流芳后世.如图，某同学为测量越王楼的高度，在越王楼的正东方向找到一座建筑物，高约为49m，在地面上点处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，越王楼顶部的仰角分别为和，在A处测得楼顶部的仰角为，则越王楼的高度约为（ ）
A．69m B．95m C．98m D．99m
7．（2024高一下·合江期中）在中，角所对的边分别为，若，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
8．（2024高一下·合江期中）在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·合江期中）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一下·合江期中）已知为两个非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．若，则A、B、C三点共线
B．，则A、B、C三点共线
C．若，则A、B、C三点共线
D．若，则A、B、C三点共线
11．（2024高一下·合江期中）函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）
A．
B．函数为奇函数
C．若，则
D．函数的图象关于点成中心对称
12．（2024高一下·合江期中）已知两个单位向量、的夹角为，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024高一下·合江期中）已知，则 .
14．（2024高一下·合江期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 .
15．（2024高一下·合江期中）已知，且，则的值为 .
16．（2024高一下·合江期中）已知函数在有且仅有三个零点，则的取值范围是 .
17．（2024高一下·合江期中）已知：.
（1）化简；
（2）若是第二象限角，且，求.
18．（2024高一下·合江期中）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ．
（1）若 ，求 的值．
（2）若 的面积为 ，求 的值．
19．（2024高一下·合江期中） 已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，
（1）若与垂直，求实数的值；
（2）若的夹角为锐角，求实数的取值范围.
20．（2024高一下·合江期中）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在上恰有一解，求实数m的取值范围．
21．（2024高一下·合江期中） 在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在中，角，，所对的边分别为，，，且 ．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，，求面积的取值范围．
22．（2024高一下·合江期中）已知函数为上的偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】。
故答案为：C.
【分析】利用诱导公式得出的值。
2．【答案】C
【知识点】交集及其运算；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
所以，
故选：C.
【分析】利用对数函数的单调性解不等式先化简集合B，进而利用交集的定义求出 即可 .
3．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：A、函数是定义在上的奇函数，故选项A错误；
B、函数的定义域为，是非奇非偶函数，故选项B错误；
C、函数是R上的偶函数，当时，在上单调递减，故选项C正确；
D、函数是R上的偶函数，但在上不单调，故选项D错误.
故选：C.
【分析】结合函数的奇偶性及单调性逐一进行判断分析即可.
4．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意可知，
故选：D.
【分析】根据向量的线性运算法则计算求出即可.
5．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由，可得，所以，
则在上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】根据单位向量的定义和数量积求投影向量的方法，从而由得出在上的投影向量.
6．【答案】C
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，（m），
在中，可知
所以，
由正弦定理，可得（m），
在中，（m），
所以越王楼的高度约为98m.
故选：C.
【分析】求出AC，，在△ACM中，由正弦定理求出MC的长度，进而可求得MN的长度，即越王楼的高度 .
7．【答案】A
【知识点】余弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由余弦定理得，整理得，
所以是等腰三角形.
故选：A.
【分析】根据给定条件结合余弦定理进行角化边整理可得a=b，进而即可判断 的形状.
8．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图所示，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，，，，，
所以，
因为，所以，所以的取值范围是.
故选：D．
【分析】建立适当的平面直角坐标系，设，求出其他各点的坐标，进而利用向量的数量积的坐标公式表示出，结合的范围即可求出的取值范围.
9．【答案】A,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：A、，故选项A正确；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D正确，
故选：AD.
【分析】利用二倍角的余弦公式即可判断选项A；利用二倍角的正弦公式即可判断选项B；利用两角和差的正弦公式即可判断选项C、D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：A、若，则共线且的终点是的起点，所以A、B、C三点共线，故选项A正确；
B、因为，所以不共线，所以A、B、C三点不共线，故选项B错误；
C、因为，所以，即，所以A、B、C三点共线，故选项C正确；
D、因为，所以，所以A、B、C三点共线，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】，即可得出共线，进而可判断选项A；根据共线向量的坐标运算即可判断选项B；利用向量的线性运算可知，即可得到，进而可判断选项C；根据共线向量的坐标运算即可判断选项D.
11．【答案】A,D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由题意可知，，所以，
所以，
又点在图像上，所以，
所以，解得，
因为，所以，故选项A正确；
B、所以，因为，所以，故选项B错误；
C、因为，所以，，则，故选项C错误；
D、因为，所以函数的图象关于点成中心对称，故选项D正确；
故选：AD.
【分析】根据函数的部分图象可知A和周期T，进而可求得，再结合图像上的点即可求得的值，即可判断选项A；得到，即可判断选项B；根据x的取值范围，结合正弦函数图象的性质即可判断选项C；求出的值即可判断选项D.
12．【答案】A,C
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量加、减运算的坐标表示；平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【解答】解：A、由题意可得，，，
所以，所以的斜坐标为，故选项A正确；
B、，在与不垂直时，，故选项B错误；
C、，因此的斜坐标是，故选项C正确；
D、，在与不垂直时，，故选项D错误；
故选：AC．
【分析】根据向量线性运算、向量模的定义、数量积的定义逐项分析判断即可．
13．【答案】
【知识点】平面向量加、减运算的坐标表示；平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得，.
故答案为：.
【分析】利用向量的坐标运算求解即得 .
14．【答案】
【知识点】存在量词命题
【解析】【解答】解：，，为真命题，所以，解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根的判别式可知，解不等式即可求得实数的取值范围 .
15．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】利用同角三角函数基本关系以及二倍角公式可知即可计算求出 的值 .
16．【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，，所以，
又因为在有且仅有三个零点，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】先求得的范围，根据在有且仅有三个零点结合正弦函数的性质列出不等式即可求出的取值范围 .
17．【答案】（1）解：
（2）解：因为是第二象限角，且，
所以，
所以
.
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【分析】（1）利用二倍角正弦公式化简即可；
（2）利用同角三角函数关系先求出，进而利用两角和的余弦公式即可求得 .
（1）.
（2）因为是第二象限角，所以，且，
所以，
故
.
18．【答案】解：在 中， ， ∴ ， 即 （ ）若 的面积为 ，求 的值． 解：∵ ，解得 ， 又∵ ， ∴ ， ∴
（1）解：在 中， ，
∴ ，
即
（2）解：∵ ，解得 ，
又∵ ，
∴ ，
∴
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由 ， ． ，根据正弦定理可得 ；（2）由 ，解得 ，再由余弦定理可得 ，从而得
19．【答案】（1）解：由题意可得，
由与垂直，所以，即，
解得.
（2）解：由（1）知，，
由的夹角为锐角，得，且不共线，
于是，解得且，
所以实数的取值范围是.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用垂直关系可知，结合数量积的运算律求解即可求得实数的值；
（2）由的夹角为锐角，可得，且不共线，利用向量的夹角公式，结合共线向量的坐标表示求解即可得实数的取值范围 .
（1）依题意，，则
由与垂直，得，即，
所以.
（2）由（1）知，，
由的夹角为锐角，得，且不共线，
于是，解得且，
所以实数的取值范围是.
20．【答案】（1）解：函数，
令，解得，
函数的单调递增区间为.
（2）解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
若关于的方程在上恰有一解，
即在上恰有一解，
即在上恰有一解，
当时，，
函数，当时，单调递增；
当时，单调递减；
而，，，
所以或，解得或，
即实数的取值范围为．
【知识点】简单的三角恒等变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，利用整体代换法结合正弦函数的性质即可解出的单调递增区间；
（2）根据函数图象变换，先求得函数的图象，先结合条件将问题转化为在上恰有一解，然后分析的单调性以及函数值，从而列出关于的不等式，进而求出实数m的取值范围．
（1）函数，
令，
，
函数的单调递增区间为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
若关于的方程在上恰有一解，
即在上恰有一解，
即在上恰有一解，
当时，，
函数，当时，单调递增，
当时，单调递减，
而，，，
或，解得或，
即实数的取值范围为．
21．【答案】（1）解：选①，由正弦定理得，
即，即，
因为，所以，所以，
又因为，
所以.
选②，
，
解得，
所以，
又因为，
所以.
选③，由，
得，
即，
由正弦定理得，
由余弦定理可得，
又因为，
所以.
（2）解：由正弦定理可得，
所以，
因为，所以，令，
由为锐角三角形，得，则，，
则的面积
所以面积的取值范围是.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）选①时结合正弦定理进行边化角，再利用两角和的正弦公式化简即得，结合A的范围即可求得角的值；选②，先利用二倍角公式化简求解，再利用诱导公式即得，结合A的范围即可求得角的值；选③，先展开化简，结合正弦定理进行角化边，再利用余弦定理求得，结合A的范围即可求得角的值；
（2）由（1）及已知，利用正弦定理可得，由，令，且，，再利用三角形面积公式及和差角的正弦化简可得，进而即可求出面积的取值范围 .
（1）选①，由正弦定理得，
即，即，
而，，则，又，
所以.
选②，
，
解得，，而，
所以.
选③，由，
得，
即，由正弦定理得，
由余弦定理知，而，
所以.
（2）由（1）得，又，由正弦定理，
得，而，令，
由为锐角三角形，得，则，，
则的面积
所以面积的取值范围是.
22．【答案】（1）解：因为函数为R上的偶函数，
所以，所以.
即，解得.
当时，
.
.
则，即为R上的偶函数；
（2）解：因为对任意恒成立，即，
令，因为函数在上单调递增，所以.
令，则，当且仅当，即时取等号.
而函数为单调递增函数，所以，
所以，即．
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由偶函数定义找特例，列方程即可求得k，后验证其符合条件即可；
（2）对任意恒成立，等价于.令，，令，则，进而可求得函数f(x)的最小值，即可求得a的取值范围.
（1）由函数为R上的偶函数，
则，即.
即，解得.
当时，
.
.
则，即为R上的偶函数；
（2）对任意恒成立，即，
令，因函数在上单调递增，则.
令，则，当且仅当，即时取等号.
而函数为单调递增函数，所以，
所以，即．
