初中几何辅助线进阶训练——菱形的辅助线
一、阶段一（较易）
1．如图，菱形中，，为中点，，，，交于点，交于点.
（1）求证：四边形是矩形.
（2）求的度数.
（3）求菱形的面积.
2．在中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作交BE的延长线于点F.
（1）求证：；
（2）证明：四边形ADCF是菱形：
（3）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积.
3．如图，四边形为菱形，点E是的中点，点F，H是对角线上两点，且，点G在边上．若四边形是矩形，则菱形的周长为 ．
4．如图1，平行四边形中，点E、点F分别是上的点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）如图2，当点E是AD中点时，与交于点O，连接，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积等于面积3倍．
5．如图，在菱形中，，点F为的中点，于E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形．则AE的长是（ ）
A．15 B．20 C． D．
7．如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点O，，．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，求四边形的面积．
8．如图，在菱形中，点、分别是、的中点，连接交对角线于点，连接若，，则的长为 ．
9．如图，菱形ABCD中，，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为N，连结CP，则∠BPC＝ 度．
10．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE=BF，连接AE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）试连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
二、阶段二（中等）
11．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，△CEF的面积最大值是（ ）
A．4 B． C．3 D．
12．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，点、在对角线上，若四边形是菱形．则的长是（ ）
A．15 B．20 C． D．
13．如图，，点，分别在，上，连接，、的平分线交于点，、的平分线交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）过作，分别交，于点，，过作，分别交，于点，，得到四边形，此时，求证四边形是菱形．
14．如图，菱形ABCD的边长是4，∠A=60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，连接PB．则PB= ．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是AD边上一点，且 ．若 ， ，则AE的长是 ．
16．如图，在平行四边形 中， ， 于点 ， 为 的中点，连结 ， ，下列结论：① ，② ；③ ；④ ，其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17． ABCD 中， ∠BAD的平分线交直线 BC 于点 E，线 DC于点 F
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求 .
18．（问题发现）数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：
图1 图2 图3
（1）若四边形 是菱形， ，点 是射线 上一动点，以 为边向右侧作等边 ，如图1，当点E在菱形 内部或边上时，连接 ，则 与 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；
（2）（类比探究）数学小组对该问题进行进一步探究：
若四边形 是正方形，点P是射线 上一动点，以 为直角边在 边的右侧作等腰 ，其中 .
①如图2，当点 在对角线 上时，小组发现点 恰好在射线 上，求 与 之间的数量关系（过程只用说明点 在线段 上的情况即可）；
②如图3，当P是对角线 的延长线上一动点时，小组发现点 恰好在射线 上，连接 ，若 ，求 的面积．
19．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF。
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，BE和EF的数量关系是 ；
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断(1)中 的结论是否成立？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；
（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，(1)中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。
20．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=120°，过对角线AC延长线上的一点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为E、F，则PE-PF= 。
三、阶段三（较难）
21．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线上有P，Q两个动点，且，已知点，当周长最小时，点P的坐标为 .
22．在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化.
（1）如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
（2）如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积.
23．如图，在菱形中，，、分别为线段、上的两点．且，，相交于点
（1）证明：≌；
（2）求的度数；
（3）证明：．
24．菱形的边长为，，点是对角线中点，是线段上任一点，连接，作，边与直线相交于点．
小南和小浦观察以上问题时，猜想，老师引导他们用“从特殊到一般”的思想方法去尝试研究．
（1）【特例发现】
小南发现：当点与点 重合时，与的长度相等，为 ；
（2）【探究证明】
小浦认为当在线段上时，均有“”，请帮助完成证明．
（3）【拓展运用】
①连结交于点，求证：为定值．
②当时， ▲ ．
25．小明同学学习了菱形的知识后，结合之前学习的赵爽弦图，编了一个菱形版“赵爽弦图”如图，菱形中，，四边形是矩形，若，则矩形的面积为 ．
26．已知，菱形ABCD（∠C＜90°）的对角线长分别为6和8，点E在边BC上，BE＝1，若点F在直线AB上，且AE＝DF，则BF的长为 .
27．如图，四边形ABCD是菱形，点M在CD边上，点N在菱形ABCD外部，且满足MN∥AD，CM＝MN，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC.
（1）探究BE与AC的关系；
（2）若∠ABC＝120°，探究线段BE、AD、CM所满足的等量关系；
（3）若∠ABC＝60°，M在DC的延长线上时，其余条件不变，CM＝1，AD＝3，请求出BE的长度.
28．如图，菱形ABCD中，AB＝12，∠BAD＝60°，E为线段BC的中点.若点P是线段AB上的一动点，Q为线段AD上一动点，则 PQE的周长的最小值是 .
29．如图，在菱形中，，E是对角线上一点，F是线段延长线上一点且，连接．
（1）如图，若E是线段的中点，连接，其他条件不变，直接写出线段与的数量关系；
（2）如图，若E是线段上任意一点，连接，其他条件不变，猜想线段与的数量关系是什么？并证明你的猜想；
（3）如图，若E是线段延长线上一点，其他条件不变，且，菱形的周长为，直接写出的长度．
30．如图，在 ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC，BD相交于点E，F，O．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）在 ABCD中，若AB＝2.5，AD＝4，有两动点P，Q分别从B，D两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是x，点Q运动的路程是y，当四边形BPDQ是平行四边形时，则请直接写出x+y的值为 ．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形.
（2）解：连接，如图所示：
为中点，，
，
，
，
，
在等边三角形中，，
，
同理，
，
，，，
，
.
（3）解：，，
，
菱形的面积.
2．【答案】（1）证明：∵，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，
∴；
（2）证明：由（1）知，，
则AF＝DB，
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∵，
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）解：连接DF，如图所示：
∵，，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝4，
∵四边形ADCF是菱形，
∴菱形ADCF的面积.
3．【答案】12
4．【答案】（1）解：如图1，
∵平行四边形中，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
又∵平行四边形中，，，
∴AD=CD=BC=AB，
四边形是菱形；
（2）解：连接DO，如图，
如图2，符合条件的三角形有：，，，，
理由如下：
在（1）已证得：，则有∠DFA=∠DEC，DE=DF，∠DAF=∠DCE，
∴∠AEO=180°-∠DEC=180°-∠DFA=∠CFO，
∵根据（1）中证得平行四边形ABCD是菱形，且E、F是AD、DC中点，
∴AD=DC，
∴AE=ED=DF=FC，
∵∠EOA=∠FOC，
∴△AEO≌△CFO，
∴EO=OF，AO=OC，
∴△ADO≌△CDO，△EDO≌△FDO，
∵△AEO与△DOE同高等底，
∴，
∴，
∴，
∴△ADF满足条件，
∴根据全等的性质可知△DEC满足条件，
∵，DE=AE，
∴，
∴△AEB满足条件，
∵，DF=FC，
∴，
∴△BCF满足条件，
则满足条件的三角形有：，，，．
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
如图，连接AE交OB于点M．
由（1）知，四边形 是菱形，
∴ ， 互相垂直平分，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积 ．
8．【答案】
9．【答案】72
10．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
．
（2）解：当平分时，四边形是菱形．
理由：如图 ，连接AF，CE，
平分，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，
．
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
11．【答案】D
12．【答案】A
13．【答案】（1）证明：∵EH平分∠BEF，FH平分∠DFE，∴∠FEH，∠EFH∠DFE，∵，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∴∠FEH+∠EFH180°＝90°，∴∠EHF＝90°，同理可得：∠EGF＝90°，∵EG平分∠AEF，EH平分∠BEF，∴∠GEF∠AEF，∠FEH∠BEF，∵点A、E、B在同一条直线上，∴∠FEG+∠FEH180°＝90°，即∠GEH＝90°，∴四边形EGFH是矩形．
（2）证明：如图，延长EH交CD于点O，延长交与点，
∵，，∴四边形MNQP为平行四边形．∴MN＝PQ，∵∠PEO＝∠FEO，∠PEO＝∠FOE，∴∠FOE＝∠FEO，∴EF＝FO，由（1）知四边形EGFH是矩形，∴，， ∴FH⊥EO，∴HE＝HO，∵∠EHP＝∠OHQ，∠EPH＝∠OQH，∴ ，∴， 同理可得，∵MN＝PQ，∴GM＝HP，∵，∴四边形MGHP为平行四边形，∴GH＝MP，∵，，∴四边形MEFN为平行四边形，∴MN＝EF，∵GH＝EF，GH＝MP，∴MN＝MP，又∵四边形MNQP为平行四边形，∴平行四边形MNQP为菱形．
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】D
17．【答案】（1）证明： 平分 ，
，
又 ，
，
，
，
，
；
（2）解：连接 ， ，如图所示：
，
， ，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 为菱形，
， ， ， 为等边三角形，
， ， ，
在 和 中， ，
≌ ，
， ，
，
为等边三角形，
.
18．【答案】（1）解：BP=CE，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=60°，
又∵△PAE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∴∠BAP+∠PAC=∠EAC+∠PAC，
∴∠BAP=∠EAC，
∴△ABP≌ACE（SAS）
∴BP=CE；
（2）解：① ，理由如下：
如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，∠ABD=∠ACE=∠BAC=45°，
∴ ，
∴ ，
∵△APE为等腰直角三角形，∠APE=90°，
∴∠PAE=45°，
∴∠BAP+∠PAC=∠EAC+∠PAC，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△BAP∽△CAE，
∴ ，
∴
②连接AC交BD于F，过点E作EG⊥BD于G，
∵四边形ABCD是正方形， ，
∴ ，∠ABD=∠BAC=45°，∠AFB=∠AFD=90°，
∴
∴∠FAP+∠AFP=90°，
又∵△APE是等腰直角三角形，
∴AP=EP，∠APE=90°，
∴∠APF+∠EPG=90°，
∴∠FAP=∠EPF，
又∵∠AFP=∠EGP=90°，
∴△AFP≌△PGE（AAS），
∴ ，
设FP=GE=x，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ，
∴ ．
19．【答案】（1）BE=EF
（2）解：成立，理由如下：
过E作EG
过E作EG∥BF，
∵△ABC是等边三角形，
∴△AGE是等边三角形，
∴AE=GE，
∴GE=CF，
∵∠BGE=180°-∠AGE=120°=∠ECF，
∵AB=AC，
∴AB-AG=AC-AE，
∴BG=EC，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE=EF；
（3）解决：成立，理由如下：
过E作EG∥BF，
∵△ABC是等边三角形，
∴△AGE是等边三角形，
∴GE=GE，
∴GE=CF，
∵∠BGE=∠ECF=60°，
∵AB=AC，
∴AG-AB=AE-AC，
∴BG=EC，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE=EF.
20．【答案】2
21．【答案】
22．【答案】（1）BP⊥CE；CE⊥BC
（2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：
如图，连接，
∴，为等边三角形，
在和中，，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
设与交于点H，
同理可得，
∴，
又∵，
∴.
（3）或
23．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
，是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌．
（2）解：≌，
，
．
（3）证明：如图，作于，，交的延长线于．
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
平分，
即，
在中，，
，
在和中，
，
≌，
，
≌，
，
，
即．
24．【答案】（1）C；30
（2）证明：如图2中，过点作于点，于点．
四边形是菱形，
平分，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
≌，
∴MD=MN
（3）解：①证明：如图3中，
，，
，
，
定值．
②
25．【答案】
26．【答案】 或6
27．【答案】（1）解：BE垂直平分AC，
理由如下：如图1，连接CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ACD＝∠BCD，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵AD∥MN，
∴∠ADC＝∠DMN，
∵CM＝MN，
∴∠MCN＝∠MNC，
∴∠DMN＝∠MCN+∠MNC＝2∠MCN＝∠ADC，
∵∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠ADC+∠BCD＝90°，
∴∠MCN+∠ACD＝90°＝∠ACN，
∵点E是AN的中点，∠ACN＝90°，
∴AE＝CE，
∵AE＝CE，AB＝BC，
∴BE垂直平分AC；
（2）解：BE＝AD+CM；
理由如下：如图2，设BE与AC交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴AD＝BC＝AB，
∵AB＝BC，BE垂直平分AC，
∴∠ABO＝∠CBO＝60°，∠BOC＝90°，AO＝CO，
∴∠BCA＝30°，
∴BO＝BC＝AD，
∵AO＝OC，点E是AN的中点，
∴EO＝CN，
∵CM＝CN，∠MCN＝∠ADC＝60°，
∴CM＝CN，
∴BE＝BO+OE＝AD+CM；
（3）解：如图3，延长BE交AC于点O，连接CE，过点M作MH⊥CN于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝3，AB∥CD，∠ABC＝∠D＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∠ABC＝∠BCM＝60°，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝3，
∵MN∥AD，
∴∠D+∠NMC＝180°，
∴∠NMC＝120°，
∵MN＝MC，
∴∠MCN＝∠MNC＝30°，
∴∠BCN＝30°，
∴∠ACN＝∠ACB+∠BCN＝90°，
∵点E是AN中点，
∴AE＝EC，
∵AB＝BC，AE＝EC，
∴BE垂直平分AC，
∴AO＝CO，BO⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，BO⊥AC，
∴∠OBC＝30°，OC＝AC＝，
∴BO＝CO＝，
∵CM＝MN＝1，MH⊥CN，
∴NH＝CH，
∵∠MCN＝30°，
∴HM＝CM＝，CH＝HM＝，
∴CN＝2CH＝，
∵AO＝CO，点E是AN中点，
∴EO＝CN＝，
∴BE＝BO﹣EO＝.
28．【答案】
29．【答案】（1）解：；理由如下：
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
是线段的中点，
，，
，
，
，
，
．
故答案为；
（2）解：猜想线段与的数量关系为：；
证明：过点E作交于点G，如图所示：
四边形为菱形，，
，，，与都是等边三角形，
，，
，
又，
，
又，
是等边三角形，
，
，，
又，
，
在和中，
，
，
；
（3）7
30．【答案】（1）证明：∵EF为线段BD的垂直平分线
∴BE=DE，BF=FD，BO=DO．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴．
∴在和中， ，
∴，
∴，
∴BE=DE=BF=FD
∴四边形BEDF为菱形．
（2）6.5
