初中几何辅助线进阶训练——矩形的辅助线
一、阶段一（较易）
1． 如图，四边形是矩形，点是延长线一点，连接，垂直平分，垂足为，点在上，点在上，且.
（1）若，，求；
（2）若，求证：.
2．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，GC＝，AE平分∠BAG交BC于点E，E是BC的中点，则AG的长为 .
3．如图，四边形和四边形是两个矩形，点B在边上，若，则矩形的面积为（ ）
A．3 B． C． D．6
4．如图，长方形ABCD中，，，，点M是射线BD上一点（不与点B，D重合），连接AM，过点M作交直线BC于点N，若是等腰三角形，则 ．
5．如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．
6．如图，在中，，为边上的中线，点E为AD的中点，作点B关于点E的对称点F，连接，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，求的长．
7．如图，△ABC中，AB=AC，AD为BC上的高线，E为AB边上一点，EF⊥BC于点F，交CA的延长线于点G. 已知EF=2，EG=3. 则AD的长为 ．
8．已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，EF．
（1）如图①，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形；
（2）如图②，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长．
9．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，那么△ECD的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
10．如图，在矩形中，，点M在边上，若平分，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、阶段二（一般）
11．如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则 ， .
12．如图，在矩形中，点E是对角线上一点，有且，点P是上一动点，则点P到边，的距离之和的值（ ）
A．有最大值a B．有最小值 C．是定值 D．是定值
13．矩形与矩形如图放置，点、、共线，点、、共线，连接，取的中点，连接若，，则（ ）
A． B． C． D．
14．如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，若，则 度
15．AM∥BN，ABBN，垂足为B， 点C在直线BN上，ACCD，AC=CD，DEAM，垂足为E．
（1）如图①，求证：DE+BC=AB；
（2）如图②、图③，请分别写出线段DE，BC与AB之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，AC=100，AB-BC =2，则线段DE= ．
16．如图，矩形ABCD中，交CD于点E，点F在AD上，连接CF交AE于点G，，若，则CD的值为 ．
17．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为 ．
18．如图，点E为 ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF=BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝65°，∠DEC＝40°，求∠ECD的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：．
19．如图，矩形 中， ， 分别是边 ， 的中点， 于 ， 的延长线交 于 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点H，G分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝8，则GH的长度为（ ）
A．2 B． C． D．5
三、阶段三（较难）
21．如图，在矩形中，交于点，点在上，连接交于点，且，若，则的值是 （ ）
A． B． C． D．8
22．如图：在平面直角坐标系内有长方形，点A，C分别在y轴，x轴上，点在上，点E在上，沿折叠，使点B与点O重合，点C与点重合．若点P在坐标轴上，且面积是18，则点P坐标为 ．
23．阅读下列材料，完成相应任务．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1，△ABC中，，BD是斜边AC上的中线．求证：BD＝AC． 分析：要证明BD等于AC的一半，可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2．延长BD到E，使得DE＝BD． 连接AE，CE．可证BE＝AC，进而得到BD＝AC．
（1）请你按材料中的分析写出证明过程；
（2）如图3，点C是线段AB上一点，CD⊥AB，点E是线段CD上一点，分别连接AD，BE，点F，G分别是AD和BE的中点，连接FG．若AB＝12，CD＝8，CE＝3，则 ．
24．如图，在长方形中，，．点、点分别在、上，且，点是边上的动点，点是边上的动点．则的是小值是 ．
25．在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，点P是直线AB上一点，且不与点A，点B重合，连接CP，作等边三角形PCE．
（1）如图1，若点P在线段AB上，连接DE，则线段PB，DE之间的数量关系是 ；
（2）如图2，若点P在线段AB的延长线上，连接AE，求证：EA＝EP；
（3）如图3，若点P在线段BA的延长线上，顺次连接四边形ABCE各边的中点，则所得四边形的形状是 ．
26．如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠BAM的平分线，BE⊥AN，垂足为E.已知AD＝4，BD＝3.
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）如图2，延长AD至点F，使AF＝AB，连接BF，G为BF的中点，连接EG，DG.求EG的长.
（3）如图3，在（2）问的条件下，P为BE边上的一个动点，连接PG并延长交AD延长线于点Q，连接CQ，H为CQ的中点，求点P从E点运动到B点时，点H所经过的路径长.
27．如图1，已知 ， ，点D在 上，连接 并延长交 于点F，
（1）猜想：线段 与 的数量关系为 ；
（2）探究：若将图1的 绕点B顺时针方向旋转，当 小于 时，得到图2，连接 并延长交 于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展：图1中，过点E作 ，垂足为点G.当 的大小发生变化，其它条件不变时，若 ， ，直接写出 的长.
28．将一块直角三角板的直角顶点和矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O重合，如图（①→②→③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．
（1）图①（三角板一直角边与OD重合）中，连接DN，则BN与DN的数量关系是 ，进而得到BN，CD，CN的数量关系是 ；
（2）写出图③（三角板一边与OC重合）中，CN，BN，CD的数量关系是 ；
（3）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．
29．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥CD于E，BF平分∠ABC与AD交于F.AE与BF交于G.
（1）延长DC到H，使CH＝DE，连接BH.求证：四边形ABHE是矩形.
（2）在（1）所画图形中，在CH的延长线上取HK＝AG，当AE＝AF时，求证：CK＝AD.
30．如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，N，M分别是AC，PQ的中点，则MN的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：如图，连接，
，，
，
垂直平分，
，，
，
，
；
（2）证明：如图，在上截取，在上截取，连接，
在和中，
，
≌，
，，
，
又，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
，
.
2．【答案】
3．【答案】B
4．【答案】
5．【答案】（1）证明：∵OC＝AO，OD＝BO
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AC＝2AO，BD＝2BO
又∵AO＝BO
∴AC＝BD
∴四边形ABCD是矩形
（2）解：如图：连接OE与BD交于F
∵四边形AOBE是平行四边形
∴AE＝BO
又∵AO＝BO
∴AO＝AE
∵CE⊥AE
∴∠AEC＝90°
∵OC＝OA
∴OE＝AC＝AO
∴OE＝AO＝AE
∴△AOE是等边三角形，
∴∠OAE＝60°
∵∠OAE＋∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝120°．
6．【答案】（1）证明：如图：连接DF，
点E为AD的中点，点B与点F关于点E对称，
，BE=FE，
四边形ABDF为平行四边形，
， ，
，
是等腰三角形，
又 为 边上的中线，
， ，
CD=AF，
四边形ADCF为平行四边形，
四边形 为矩形
（2）解：设AD=BC=x，则 ，
在 中， ，
得 ，
解得 或 （舍去），
AD=BC=4，
四边形 为矩形，
，
在 中， ．
7．【答案】3.5
8．【答案】（1）证明： ，
，
．
四边形 是矩形，
， ， ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
，
是直角三角形，且 ；
（2）解：作 于 ，
则 ．
平分 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
．
设 ，则 ， ，
，
在 中， ，
，
，
即 ．
9．【答案】A
10．【答案】D
11．【答案】117；9
12．【答案】D
13．【答案】A
14．【答案】18
15．【答案】（1）证明：延长ED交BN于点F，如图所示：
∵DEAM， ABBN
∴∠AED=90 ，∠ABC=90
∴∠BAC+∠ACB=90
∵AM∥BN
∴∠DFC=180 -∠AED=90
∵ACCD
∴∠ACB+∠DCF=90
∴∠BAC=∠DCF
∵AC=CD
∴△ABC≌△CFD（AAS）
∴BC=DF
∵∠ABC=∠DFC=∠AED=90
∴四边形ABFE是矩形
∴AB=EF
∵DE+DF=EF
∴DE+BC=AB．
（2）解：图②结论：BC-DE=AB；理由如下：
延长ED交BN于点F，如图所示：
∵DEAM， ABBN
∴∠AED=∠AEF=90 ，∠ABC=90
∴∠BAC+∠ACB=90
∵AM∥BN
∴∠DFC=∠AED=90
∵ACCD
∴∠ACB+∠DCF=90
∴∠BAC=∠DCF
∵AC=CD
∴△ABC≌△CFD（AAS）
∴BC=DF
∵∠ABC=∠DFC=∠AEF=90
∴四边形ABFE是矩形
∴AB=EF
∵DE+EF=DF
∴BC-DE=AB；
图③结论：DE-BC=AB；理由如下：
设DE交CN于点F，如图所示：
∵DEAM， ABBN
∴∠AED=90 ，∠ABC=90 ，
∴∠BAC+∠ACB=90
∵AM∥BN
∴∠DFC=∠AED=90 ，即∠BFE=90°，
∵ACCD
∴∠ACB+∠DCF=90
∴∠BAC=∠DCF
∵AC=CD
∴△ABC≌△CFD（AAS）
∴BC=DF
∵∠ABC=∠BFE=∠AEF=90
∴四边形ABFE是矩形
∴AB=EF
∵DE =DF+EF
∴DE-BC=AB．
（3）2或14
16．【答案】
17．【答案】或
18．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAE＝65°，
∴∠BAE＝∠BCD＝65°，
，∠DEC＝40°，
，
；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（3）证明：连接EH，CH，
∵CE＝CG，FH＝HG，
∴CH＝EF，CH∥EF，
∵EB＝BF＝EF，
∴BE＝CH，
∴四边形EBHC是平行四边形，
∴OB＝OC= ，OE＝OH=，
∵OC＝OH，
∴BC=EH，
∴平行四边形EBHC是矩形，
∴∠FEG＝90°，
∴EF⊥EG．
19．【答案】D
20．【答案】B
21．【答案】A
22．【答案】或或或
23．【答案】（1）证明：如图2，延长到E，使得．连接，
则，
是斜边上的中线，
，
在和中，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
，
．
（2）
24．【答案】41
25．【答案】（1）PB＝DE
（2）证明：如图，连接DE．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝DA，∠ADC＝120°，．
∴∠CBP＝∠BCD＝60°．
∵△PCE是等边三角形，
∴EC＝EP＝CP，∠ECP＝60°．
∴∠ECD＝∠BCP．
∴△DCE≌△BCP．
∴∠CDE＝∠CBP＝60°．
∴∠ADE＝120°-60°=60°．
∴∠ADE＝∠CDE．
∵DE＝DE，AD=CD，
∴△ADE≌△CDE，
∴EA＝EC，
∴EA＝EP．
（3）矩形
26．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，∠ABC=∠C，
∵AN为△ABC的外角∠BAM的平分线，
∴∠MAN=∠BAN，
∵∠BAM=∠ABC+∠C，
∴∠MAN=∠C，
∴AN∥BC，
∴∠DAE=∠ADC=∠ADB=90°，
∵BE⊥AN，
∴∠AEB=∠DAE=∠ADB=90°，
∴四边形ADBE是矩形；
（2）解：如图，连接AG，
∵矩形ADBE中，AD=4，BD=3，
∴BE=AD=4，AE=BD=3，∠ADB=∠DBE=∠BDF=90°，
∴ ，
∴DF=1，
∴
∵G是BF的中点，
∴DG=BG ，
∴∠BDG=∠DBG，
∴∠ADG=∠EBG，
∴△AGD≌△BEG，
∴EG=AG，
∵AG
∴ ；
（3）解：由题意知点H运动的轨迹是一条线段，当P与E重合时，Q的位置在 ，当P与B重合时，Q的位置在F，此时H分别在 、 的位置，
∵BE∥AD，
∴∠BEG=∠D G，
∴△EBG≌△ FG，
∴ F=BE=4，
由题意知 是△C F的中位线，
∴ .
27．【答案】（1）AF=EF
（2）解：仍旧成立，理由如下：
延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，如下图所示
设BD延长线DM交AE于M点，
∵ ，
∴DE=AC，BD=BC，
∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠MDF，
∴∠MDF=∠DCB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠EDB=90°，
∴∠MDF+∠FDE=90°，
∴∠ACD=∠FDE，
又延长DF使得FG=DC，
∴FG+DF=DC+DF，
∴DG=CF，
在△ACF和△EDG中，
，
∴△ACF △EDG(SAS)，
∴GE=AF，∠G=∠AFC，
又∠AFC=∠GFE，
∴∠G=∠GFE
∴GE=EF，
∴AF=EF，
故AF与EF的数量关系为：AF=EF.
（3）12
28．【答案】（1）；
（2）
（3）解： 、 、 、 这四条线段之间的数量关系为： ，理由如下：
延长 交 于 ，连接 、 ，如图②所示：
四边形 是矩形，
， ， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
．
29．【答案】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB CD，AB＝CD，
∵CH＝DE，
∴CH＋CE＝DE＋CE，
即EH＝CD，
∴四边形ABHE是平行四边形，
∵AE⊥CD，
∴∠AEH＝90°，
∴平行四边形ABHE是矩形.
（2）证明：连接BK，如图2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AB＝AF，
∵AE＝AF，
∴AE＝AB，
由（1）得：四边形ABHE是矩形，
∴∠ABH＝∠BHE＝90°，AE＝BH，
∴∠BHK＝90°，AB＝BH，
∵AB CD，AE⊥CD，
∴AE⊥AB，
∴∠BAG＝90°，
在△BHK和△BAG中，
，
∴△BHK≌△BAG（SAS），
∴∠HBK＝∠ABG，
∴∠HBK＋∠HBF＝∠ABG＋∠HBF＝∠ABH＝90°，
∵∠CBK＋∠CBF＝90°，∠K＋∠HBK＝90°，
∴∠CBK＝∠K，
∴CK＝CB，
∴CK＝AD.
30．【答案】C
