2024~2025学年八年级数学下学期第一次月考卷
考试范围：第1章二次根式+第2章一元二次方程
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 楚雄州期末）若代数式有意义，则应满足的条件为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据二次根式有意义的条件可得：
，
，
故选．
2．（2024秋 青龙县期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为
A． B．0 C．2 D．4
【答案】
【解析】将代入，得：，
．
故选．
3．（2024秋 邗江区校级期末）下列四组二次根式，不是同类二次根式的是
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】
【解析】、，
与是同类二次根式，
故不符合题意；
、，，
与是同类二次根式，
故不符合题意；
、，，
与不是同类二次根式，
故符合题意；
、，
与是同类二次根式，
故不符合题意；
故选．
4．（2024秋 管城区校级期末）下列运算结果正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】．2与不能合并，所以选项不符合题意；
．与不能合并，所以选项不符合题意；
．，所以选项符合题意；
．，所以选项不符合题意．
故选．
5．（2024秋 平舆县期末）定义运算：☆，例如：3☆，则方程☆的解为
A．， B．，
C．， D．，
【答案】
【解析】根据题中的新定义得：，
，
，
或，
，．
故选．
6．（2024秋 安新县期末）嘉嘉和淇淇在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，淇淇在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为3和6，则原来的方程是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由条件可知两根之和，
当时，；
由条件可知两根之积，
当时，，
正确的方程是．
故选．
7．（2024秋 市中区校级期中）已知，，则值是
A．6 B． C．3 D．
【答案】
【解析】，，
，，
，，
原式
，
故选．
8．（2024春 滨海新区期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数为
A．20 B．10 C．5 D．4
【答案】
【解析】，
是整数，
则满足条件的最小正整数，
此时满足条件．
故选．
9．（2024秋 临澧县期末）如图，在宽为，长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽，若设小路的宽为 ，则根据题意所列方程正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】如图所示，利用平移，原图可转化为：
设小路宽为米，则有，
故选．
10．（2024 湖州一模）对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述：
①当，，时，方程一定没有实数根；
②当，，时，方程一定有实数根；
③当，时，方程一定没有实数根；
④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是
A．① B．② C．③ D．④
【答案】
【解析】①当，，时，满足，，，
此时△，即方程有两个不相等的实数根，
故①错误；
②，，
，
，
，
△，即方程有两个不相等的实数根，
故②正确；
③当，，时，满足，，
此时△，即方程有两个不相等的实数根，
故③错误；
④，，，
，，
△，即方程有两个相等的实数根，
故④错误；
综上，正确的是②，
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 太康县期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ．
【答案】．
【解析】方程是关于的一元二次方程，
，且．
解得．
故答案为：．
12．（2024秋 任丘市期末）已知，都是实数，且，则 64 ．
【答案】64．
【解析】，
，，
，
将代入，
得：，
．
故答案为：64．
13．（2024秋 鼓楼区校级期末）已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简 ．
【答案】．
【解析】由数轴得，，
，
，
故答案为：．
14．（2025 鼓楼区校级模拟）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 11 ．
【答案】11．
【解析】，是一元二次方程的两个实数根，
，，且，
则，
．
故答案为：11．
15．（2024春 青秀区校级期中）阅读材料：在进行二次根式运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化成有理数，这就是分母有理化．例如：，，根据材料化简： ．
【答案】．
【解析】由题意知，，
故答案为：．
16．（2024秋 双城区月考）利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由，就可以求出多项式的最小值为．例如：求多项式的最小值，解：，，，当时，的最小值为1，多项式的最小值为1．根据上述方法，多项式的最小值为 6 ．
【答案】6．
【解析】，
，
，
最小值为6．
故答案为：6．
三．解答题（共8小题）
17．（2025 江北区校级开学）计算：
（1）；
（2）．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
18．（2024秋 贵州期末）用适当的方法解下列一元二次方程．
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】（1），
，
，．
（2），
，
．
（3）；
，
，
，
，．
19．（2024秋 铜官区期末）根据以下素材，探索完成任务
素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑 1000件，同年9月份制作泥塑1440件．
素材2 泥塑的制作成本为30元件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为 40元件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少 10件．
问题解决
任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率；
任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元件？
【解析】任务1：设7月份到9月份的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（舍，
答：7月份到9月份的月平均增长率为；
任务2：设该泥塑的售价应定为元件，
由题意得：，
解得：，，
要尽可能让顾客得到实惠，则，
答：该泥塑的售价应定为50元件．
20．（2024秋 清江浦区期末）已知关于的方程为常数）．
（1）求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是，求的值．
【解析】（1）证明：△，
方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：方程有一个根是，
，
，
21．（2024春 庐江县期中）现有两块同样大小的长方形纸片，丽丽采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片，．
（1）裁出的正方形纸片的边长为 ．
（2）求图①中阴影部分的面积．
（3）小明想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积是的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由．
【解析】（1）根据题意得：截出的正方形纸片的边长为，的边长为，
故答案为：；
（2）根据题意得：截出的正方形纸片的边长为，
则长方形的长为，宽为，
阴影部分的面积；
（3）不能截出，理由如下：
面积为的两个正方形纸片的边长均为，
，
不能在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板．
22．（2024 吉首市模拟）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：．再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：；
（2）化简：．
（3）若，且，，为正整数，求的值．
【解析】（1）；
（2）；
（3），
且，
且，
，，为正整数，
当，时；
当，时，．
所以的值为：14或46．
23．（2023秋 蓬江区校级期中）请阅读下列材料：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，
把代入已知方程，得．
化简，得，故所求方程为，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
（2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根．
【解析】（1）设所求方程的根是，则，所以，
把代入，
得，
故答案为：；
（2）设所求方程的根是，则，
所以，
把代入方程，得
，
化简，得；
（3）一元二次方程整理后可得：，
令，
，
则方程 的两根比两根大1，
所以方程 的两根分别是4、．
24．（2024秋 锦江区校级期末）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求我们可以把和看成是一个整体，令，，则这样，我们不用求出，，就可以得到最后的结果．
（1）计算： 26 ．
（2）是正整数，，，且，求．
（3）已知，求的值．
【解析】（1）原式
；
（2）
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：或（舍去）；
（3）设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷
考试范围：第1章二次根式+第2章一元二次方程
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 楚雄州期末）若代数式有意义，则应满足的条件为
A． B． C． D．
2．（2024秋 青龙县期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为
A． B．0 C．2 D．4
3．（2024秋 邗江区校级期末）下列四组二次根式，不是同类二次根式的是
A．与 B．与
C．与 D．与
4．（2024秋 管城区校级期末）下列运算结果正确的是
A． B． C． D．
5．（2024秋 平舆县期末）定义运算：☆，例如：3☆，则方程☆的解为
A．， B．，
C．， D．，
6．（2024秋 安新县期末）嘉嘉和淇淇在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，淇淇在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为3和6，则原来的方程是
A． B． C． D．
7．（2024秋 市中区校级期中）已知，，则值是
A．6 B． C．3 D．
8．（2024春 滨海新区期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数为
A．20 B．10 C．5 D．4
9．（2024秋 临澧县期末）如图，在宽为，长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽，若设小路的宽为 ，则根据题意所列方程正确的是
A． B．
C． D．
10．（2024 湖州一模）对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述：
①当，，时，方程一定没有实数根；
②当，，时，方程一定有实数根；
③当，时，方程一定没有实数根；
④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是
A．① B．② C．③ D．④
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 太康县期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ．
12．（2024秋 任丘市期末）已知，都是实数，且，则 ．
13．（2024秋 鼓楼区校级期末）已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简 ．
14．（2025 鼓楼区校级模拟）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
15．（2024春 青秀区校级期中）阅读材料：在进行二次根式运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化成有理数，这就是分母有理化．例如：，，根据材料化简： ．
16．（2024秋 双城区月考）利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由，就可以求出多项式的最小值为．例如：求多项式的最小值，解：，，，当时，的最小值为1，多项式的最小值为1．根据上述方法，多项式的最小值为 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2025 江北区校级开学）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024秋 贵州期末）用适当的方法解下列一元二次方程．
（1）；
（2）；
（3）．
19．（2024秋 铜官区期末）根据以下素材，探索完成任务
素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑 1000件，同年9月份制作泥塑1440件．
素材2 泥塑的制作成本为30元件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为 40元件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少 10件．
问题解决
任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率；
任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元件？
20．（2024秋 清江浦区期末）已知关于的方程为常数）．
（1）求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是，求的值．
21．（2024春 庐江县期中）现有两块同样大小的长方形纸片，丽丽采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片，．
（1）裁出的正方形纸片的边长为 ．
（2）求图①中阴影部分的面积．
（3）小明想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积是的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由．
22．（2024 吉首市模拟）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：．再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：；
（2）化简：．
（3）若，且，，为正整数，求的值．
23．（2023秋 蓬江区校级期中）请阅读下列材料：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，
把代入已知方程，得．
化简，得，故所求方程为，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
（2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根．
24．（2024秋 锦江区校级期末）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求我们可以把和看成是一个整体，令，，则这样，我们不用求出，，就可以得到最后的结果．
（1）计算： ．
（2）是正整数，，，且，求．
（3）已知，求的值．
