1.1 集合的概念与表示
［学习目标］ 1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系.2.初步掌握集合的表示方法——列举法、描述法、区间，感受集合语言的意义和作用.3.会用集合的表示方法表示一些简单集合.
一、集合的概念
问题1 观察下面几个例子，讨论它们的研究对象是什么？有什么共同特点？
（1）1~10之间的所有偶数；
（2）某中学今年入学的全体高一学生；
（3）所有正方形；
（4）到直线l的距离等于定长d的所有的点；
（5）方程x2-3x+2=0的所有实数根；
（6）地球上的四大洋.
知识梳理
1.集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母_________表示.
2.元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母_______表示.
例1 （多选）下列选项中正确的是 （ ）
A.组成集合的元素必须是数
B.组成集合的元素一定是有限个
C.本班所有学生组成的集合中的元素是每个学生
D.2024年参加第十四届全国人民代表大会第二次会议的所有人员可以组成集合
反思感悟 集合是一个整体，所有满足条件的对象都在这个集合中，集合中的元素是我们研究的对象，可以有多个也可以只有一个.
跟踪训练1 请写出下列集合中的元素.
（1）大于1小于10的奇数构成的集合： ；
（2）我国四大名著构成的集合：_____________________________.
二、集合的基本属性及常用数集
问题2 “我国的小河流”“有趣的书”“高一年级跑得快的同学”等能组成集合吗？
问题3 由0，1，2，3，|-3|组成一个集合，集合中有5个元素吗？
问题4 高一（1）班的全体同学组成一个集合，将学生的座位重新调整，这个集合变了吗？
知识梳理
1.集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的（确定性）、互不相同的（互异性）、顺序任意的（无序性）.
2.元素与集合的关系
关系 说法 记法
属于 元素a属于集合A a A
不属于 元素a不属于集合A a A
3.常用的数集及表示符号
数集 自然 数集 正整 数集 有理 数集 正实 数集
符号 Z R R+
例2 （1）（多选）下列选项中，关于集合的说法正确的是 （ ）
A.中国古代四大发明可以构成集合
B.接近的所有实数可以构成集合
C.汉字“光”“明”“正”“大”组成的集合与“正”“大”“光”“明”组成的集合相等
D.单词HarmonyOS的字母（不区分大小写）构成的集合中有9个元素
（2）用符号∈或 填空：
① N；②-1 Z；③0 N+；④3.1 N+；⑤32 N；⑥π____Q.
（3）已知集合A是由a-2，2a2+5a，12三个元素组成的，且-3∈A，求实数a.
反思感悟 （1）判断元素和集合关系的方法
直接法：判断该元素在已知集合中是否出现即可.
推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
（2）由集合中元素的特性求参数值（范围）
①根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对所求参数值进行检验.
②利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.
跟踪训练2 （1）（多选）下列说法正确的是（ ）
A.R中最小的元素是0 B.若a∈Z，则-a Z
C.若a∈Q，则|a|∈Q D.若a∈R，则a2∈R
（2）已知集合A中元素x满足2x+a>0，a∈R，若2∈A，则实数a的取值范围为 .
三、集合的表示
问题5 用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用哪种方法表示集合？请把集合A中的所有元素逐一列举出来.
问题6 请用列举法表示不等式x-7<3的解集.
知识梳理
1.列举法
把集合中的元素 出来写在 内表示集合的方法叫作列举法，一般可将集合表示为｛a，b，c，…｝.
2.描述法
通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法.一般可将集合表示为 ，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的 .
3.有限集、无限集、空集
含有 元素的集合叫作有限集；含有 元素的集合叫作无限集；不含任何元素的集合叫作 ，记作 .
例3 （1）用列举法表示下列集合：
①方程x2=2x的所有实数根组成的集合；
②一次函数y=2x+1的图象与y轴的交点组成的集合；
③由所有正整数构成的集合.
（2）用描述法表示下列集合：
①使y=有意义的实数x的集合；
②坐标平面上第一、三象限内点的集合；
③函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上所有点的集合.
反思感悟 （1）用列举法表示集合应注意
①应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素.
②若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
（2）利用描述法表示集合应注意
①写清楚该集合的代表元素.
②在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.
跟踪训练3 用适当的方法表示下列集合：
（1）不小于1且不大于17的合数组成的集合A；
（2）所有正奇数组成的集合B；
（3）二次函数y=x2-4的函数值的全体组成的集合C；
（4）在平面直角坐标系中，函数y=x2上的点组成的集合D.
四、区间及其表示
问题7 你能用除描述法之外的方法表示不等式x-7<3的解集吗？
知识梳理
1.区间的概念（a，b为实数，且a
｛x|a≤x≤b｝ 闭区间
｛x|a
定义 R ｛x|x≥a｝ ｛x|x>a｝ ｛x|x≤b｝ ｛x|x
例4 （1）不等式x-2≥0的所有解组成的集合表示成区间是 （ ）
A.（2，+∞） B.［2，+∞）
C.（-∞，2） D.（-∞，2］
（2）已知区间（4p-1，2p+1），则p的取值范围为 .
反思感悟 区间表示的注意事项
（1）区间左端点值小于右端点值.
（2）区间两端点之间用“，”隔开.
（3）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号.
跟踪训练4 区间（-3，2］用集合可表示为（ ）
A.｛-2，-1，0，1，2｝ B.｛x|-3
（1）元素与集合的概念、元素与集合的关系.
（2）常用数集的表示.
（3）集合中元素的特性及应用.
（4）集合的表示.
（5）区间及其表示.
2.方法归纳：等价转化、分类讨论.
3.常见误区：
（1）忽视集合中元素的互异性.
（2）点集与数集的区别.
1.（多选）下列各组对象可以构成集合的是（ ）
A.著名的数学家
B.不超过30的所有非负整数
C.方程x2-4=0的所有实数根
D.平面直角坐标系中第一象限内的点
2.（多选）下列选项正确的是（ ）
A.0∈N B.- Q
C.0 Q D.8∈Z
3.集合｛x∈N+|x-2≤1｝的另一种表示方法是（ ）
A.｛0，1，2，3｝ B.｛1，2，3｝
C.｛0，1，2，3，4｝ D.｛1，2，3，4｝
4.若a∈｛1，a2-2a+2｝，则实数a的值为 .
答案精析
问题1 数、学生、正方形、点、实数根、海洋（研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等）.它们的共同特点是都是“所有的”，即某种研究对象的全体.
知识梳理
1.A，B，C，…
2.a，b，c，…
例1 CD ［组成集合的元素可以是数、点、人、物体等，故A不正确；组成集合的元素可以是无限个，如所有自然数组成的集合，故B不正确；本班学生是由所有学生组成的集合，每个学生都是组成这个集合的元素，故C正确；所有参会人员组成集合，故D正确.］
跟踪训练1 （1）3，5，7，9 （2）《三国演义》《水浒传》《西游记》《红楼梦》
问题2 不能.其中的元素不确定.“小”“有趣”“跑得快”是一些含糊不清的概念，具有相对性，多么“小”才算“小”没有明确的标准，也就是说，是一些不能够确定的对象，因此，不能构成集合.
问题3 集合中只有0，1，2，3，共4个元素.
问题4 没有变.
知识梳理
2.∈
3.整数集 实数集 N N+或N* Q
例2 （1）AC
（2）① ②∈ ③ ④ ⑤∈
⑥
（3）解 由-3∈A，可得-3=a-2或-3=2a2+5a，
∴a=-1或a=-.
当a=-1时，a-2=-3，2a2+5a=-3，不符合集合中元素的互异性，故a=-1应舍去；
当a=-时，a-2=-，2a2+5a=-3，符合集合中元素的互异性，
∴a=-.
跟踪训练2 （1）CD （2）a>-4
问题5 （1）这是用自然语言法表示集合；
（2）我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有男生的学号一一写出.
问题6 不等式x-7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为｛x∈R|x<10｝.
知识梳理
1.一一列举 花括号“｛｝”
2.｛x及x的范围|x满足的条件｝
共同特征
3.有限个 无限个 空集
例3 （1）解 ①方程x2=2x的根是x=0或x=2，所以方程的根组成的集合为｛0，2｝.
②将x=0代入y=2x+1，得y=1，即交点是（0，1），
故交点组成的集合是｛（0，1）｝.
③正整数有1，2，3，…，
所求集合为｛1，2，3，…｝.
（2）解 ①要使y=有意义，
则x-6≠0，即x≠6，
故满足题意的实数x的集合是｛x∈R|x≠6｝.
②第一、三象限内点的特征是横、纵坐标符号相同，因此满足题意的点的集合是｛（x，y）|xy>0，x∈R，y∈R｝.
③满足题意的点的集合是｛（x，y）|y=ax2+bx+c（a≠0），x∈R｝.
跟踪训练3 解 （1）不小于1且不大于17的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，
用列举法表示为
A=.
（2）设x∈B，则x是一个正奇数，
用描述法表示为
B=.
（3）二次函数y=x2-4中，y的取值满足y≥-4，可以用集合表示为C=.
（4）在平面直角坐标系中，函数y=x2上的点，用描述法表示为
D=.
问题7 可以，区间.
知识梳理
1.［a，b］ （a，b） ［a，b） （a，b］
2.（-∞，+∞） ［a，+∞） （a，+∞）
（-∞，b］ （-∞，b）
例4 （1）B ［不等式x-2≥0的所有解组成的集合为｛x|x≥2｝，表示成区间为［2，+∞）.］
（2）（-∞，1）
解析 由题意知，区间（4p-1，2p+1），则满足4p-1<2p+1，
解得p<1，
即p的取值范围为（-∞，1）.
跟踪训练4 C
随堂演练
1.BCD 2.ABD 3.B 4.2(共80张PPT)
第一章
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1.1 集合的概念与表示
1.通过实例了解集合与元素的含义,利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题,能判断元素与集合的关系.
2.初步掌握集合的表示方法——列举法、描述法、区间,感受集合语言的意义和作用.
3.会用集合的表示方法表示一些简单集合.
学习目标
蓝蓝的天空,一群鸟在欢快地飞翔;
茫茫的草原,一群羊在悠闲地走动;
清清的湖水,一群鱼在自由地游泳.
鸟群、羊群、鱼群都是同一类对象汇集在一起.
在小学和初中我们学习过把自然数放在一起形成自然数的集合,圆是同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等,为了更有效地使用集合语言,我们需要进一步了解集合的有关知识.
导 语
一、集合的概念
二、集合的基本属性及常用数集
随堂演练
三、集合的表示
四、区间及其表示
内容索引
课时对点练
一
集合的概念
观察下面几个例子,讨论它们的研究对象是什么 有什么共同特点
(1)1~10之间的所有偶数;
(2)某中学今年入学的全体高一学生;
(3)所有正方形;
(4)到直线l的距离等于定长d的所有的点;
(5)方程x2-3x+2=0的所有实数根;
(6)地球上的四大洋.
问题1
提示 数、学生、正方形、点、实数根、海洋(研究对象可以是数、点、代数式,也可以是现实生活中各种各样的事物或人等).它们的共同特点是都是“所有的”,即某种研究对象的全体.
1.集合:一般地,我们把指定的某些对象的全体称为集合,通常用大写英文字母 表示.
2.元素:集合中的每个对象叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母______ _表示.
A,B,C,…
a,b,c,…
(多选)下列选项中正确的是
A.组成集合的元素必须是数
B.组成集合的元素一定是有限个
C.本班所有学生组成的集合中的元素是每个学生
D.2024年参加第十四届全国人民代表大会第二次会议的所有人员可以组成集合
例 1
√
组成集合的元素可以是数、点、人、物体等,故A不正确;
组成集合的元素可以是无限个,如所有自然数组成的集合,故B不正确;
本班学生是由所有学生组成的集合,每个学生都是组成这个集合的元素,故C正确;
所有参会人员组成集合,故D正确.
√
集合是一个整体,所有满足条件的对象都在这个集合中,集合中的元素是我们研究的对象,可以有多个也可以只有一个.
反
思
感
悟
请写出下列集合中的元素.
(1)大于1小于10的奇数构成的集合: ;
(2)我国四大名著构成的集合:____________________________________
___________.
跟踪训练 1
3,5,7,9
《三国演义》《水浒传》《西游记》
《红楼梦》
二
集合的基本属性及常用数集
提示 不能.其中的元素不确定.“小”“有趣”“跑得快”是一些含糊不清的概念,具有相对性,多么“小”才算“小”没有明确的标准,也就是说,是一些不能够确定的对象,因此,不能构成集合.
“我国的小河流”“有趣的书”“高一年级跑得快的同学”等能组成集合吗
问题2
提示 集合中只有0,1,2,3,共4个元素.
由0,1,2,3,|-3|组成一个集合,集合中有5个元素吗
问题3
提示 没有变.
高一(1)班的全体同学组成一个集合,将学生的座位重新调整,这个集合变了吗
问题4
1.集合中元素的特性:给定的集合,它的元素必须是确定的(确定性)、互不相同的(互异性)、顺序任意的(无序性).
2.元素与集合的关系
关系 说法 记法
属于 元素a属于集合A a A
不属于 元素a不属于集合A A A
∈
3.常用的数集及表示符号
数集 自然数集 正整数集 _______ 有理数集 _______ 正实数集
符号 ___ _______ Z ___ R R+
整数集
实数集
N
N+或N*
Q
(1)元素与集合之间是属于或不属于的关系,注意符号的书写.
(2)0属于自然数集.
(3)通常情况下,N,N+,N*,Z,Q,R,R+等,不用来表示其他集合,以免“混乱”.
注 意 点
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(1)(多选)下列选项中,关于集合的说法正确的是
A.中国古代四大发明可以构成集合
B.接近的所有实数可以构成集合
C.汉字“光”“明”“正”“大”组成的集合与“正”“大”“光”
“明”组成的集合相等
D.单词HarmonyOS的字母(不区分大小写)构成的集合中有9个元素
例 2
√
√
在A中,中国古代四大发明具有确定性,能构成集合,故A正确;
在B中,“接近的所有实数”标准不明确,不能构成集合,故B错误;
在C中,集合中的元素具有无序性,故C正确;
在D中,集合中的元素是互不相同的,o出现了两次,集合中共有8个元素,故D错误.
(2)用符号∈或 填空:
① N;②-1 Z;③0 N+;④3.1 N+;⑤32 N;
⑥π Q.
∈
∈
(3)已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的,且-3∈A,求实数a.
由-3∈A,可得-3=a-2或-3=2a2+5a,
∴a=-1或a=-.
当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互异性,故a=-1应舍去;
当a=-时,a-2=-,2a2+5a=-3,符合集合中元素的互异性,∴a=-.
反
思
感
悟
(1)判断元素和集合关系的方法
直接法:判断该元素在已知集合中是否出现即可.
推理法:判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
(2)由集合中元素的特性求参数值(范围)
①根据集合中元素的确定性,可以解出参数的所有可能值,再根据集合中的元素的互异性对所求参数值进行检验.
②利用集合中元素的互异性解题时,要注意分类讨论思想的应用.
(1)(多选)下列说法正确的是
A.R中最小的元素是0 B.若a∈Z,则-a Z
C.若a∈Q,则|a|∈Q D.若a∈R,则a2∈R
跟踪训练 2
√
实数集中没有最小的元素,故A不正确;
对于B,若a∈Z,则-a也是整数,故-a∈Z,故B不正确;
C,D显然正确.
√
(2)已知集合A中元素x满足2x+a>0,a∈R,若2∈A,则实数a的取值范围为 .
因为2∈A,所以2×2+a>0,即a>-4.
a>-4
三
集合的表示
提示 (1)这是用自然语言法表示集合;
(2)我们可以把所有男生的名字写出来,或者把所有男生的学号一一写出.
用A表示“本班所有的男生”组成的集合,这是利用哪种方法表示集合 请把集合A中的所有元素逐一列举出来.
问题5
提示 不等式x-7<3的解是x<10,因为满足x<10的实数有无数个,所以x-7<3的解集无法用列举法表示.但是,我们可以利用解集中元素的共同特征,即x是实数,且x<10,把解集表示为{x∈R|x<10}.
请用列举法表示不等式x-7<3的解集.
问题6
1.列举法
把集合中的元素 出来写在 内表示集合的方法叫作列举法,一般可将集合表示为{a,b,c,…}.
2.描述法
通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法.一般可将集合表示为 ,即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的
.
一一列举
花括号“{}”
{x及x的范围|x满足的条件}
共同特征
3.有限集、无限集、空集
含有 元素的集合叫作有限集;含有 元素的集合叫作无限集;不含任何元素的集合叫作 ,记作 .
有限个
无限个
空集
(1)列举法元素间用“,”隔开,把元素一一列举出来并用“{}”括起来即可.对于无限集,有时也可用列举法,比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5,…}.
(2)“{}”本身既表示集合的意思,也表示了“所有”“全体”的意思,所以“{}”里不能出现“全体”“所有”等字眼.
(3)描述法应写清该集合中元素的代表符号,代表元素的取值(或变化)范围,从上下文的关系来看,若x∈R是明确的,则x∈R可省略不写.
(4)在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素.如{直角三角形},{自然数}等.
注 意 点
<<<
(1)用列举法表示下列集合:
①方程x2=2x的所有实数根组成的集合;
例 3
方程x2=2x的根是x=0或x=2,所以方程的根组成的集合为{0,2}.
②一次函数y=2x+1的图象与y轴的交点组成的集合;
将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}.
③由所有正整数构成的集合.
正整数有1,2,3,…,所求集合为{1,2,3,…}.
(2)用描述法表示下列集合:
①使y=有意义的实数x的集合;
要使y=有意义,则x-6≠0,即x≠6,
故满足题意的实数x的集合是{x∈R|x≠6}.
②坐标平面上第一、三象限内点的集合;
第一、三象限内点的特征是横、纵坐标符号相同,因此满足题意的点的集合是{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R}.
③函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上所有点的集合.
满足题意的点的集合是{(x,y)|y=ax2+bx+c(a≠0),x∈R}.
反
思
感
悟
(1)用列举法表示集合应注意
①应先弄清集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他元素.
②若集合中的元素是点,则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
(2)利用描述法表示集合应注意
①写清楚该集合的代表元素.
②在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.
用适当的方法表示下列集合:
(1)不小于1且不大于17的合数组成的集合A;
跟踪训练 3
不小于1且不大于17的合数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,
用列举法表示为A=.
(2)所有正奇数组成的集合B;
设x∈B,则x是一个正奇数,用描述法表示为B=.
(3)二次函数y=x2-4的函数值的全体组成的集合C;
二次函数y=x2-4中,y的取值满足y≥-4,可以用集合表示为C=.
(4)在平面直角坐标系中,函数y=x2上的点组成的集合D.
在平面直角坐标系中,函数y=x2上的点,
用描述法表示为D=.
四
区间及其表示
提示 可以,区间.
你能用除描述法之外的方法表示不等式x-7<3的解集吗
问题7
1.区间的概念(a,b为实数,且a
{x|a≤x≤b} 闭区间 _____
{x|a
(a,b)
[a,b)
(a,b]
2.特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤b} {x|x
(-∞,+∞)
[a,+∞)
(a,+∞)
(-∞,b]
(-∞,b)
(1)因为区间[a,b]((a,b))中a
(3)在数轴上表示区间时,要区分实心点与空心点.
注 意 点
<<<
(1)不等式x-2≥0的所有解组成的集合表示成区间是
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,2]
例 4
√
不等式x-2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2},表示成区间为[2,+∞).
(2)已知区间(4p-1,2p+1),则p的取值范围为 .
由题意知,区间(4p-1,2p+1),
则满足4p-1<2p+1,解得p<1,
即p的取值范围为(-∞,1).
(-∞,1)
反
思
感
悟
(1)区间左端点值小于右端点值.
(2)区间两端点之间用“,”隔开.
(3)含端点值的一端用中括号,不含端点值的一端用小括号.
区间表示的注意事项
区间(-3,2]用集合可表示为
A.{-2,-1,0,1,2} B.{x|-3
√
1.知识清单:
(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系.
(2)常用数集的表示.
(3)集合中元素的特性及应用.
(4)集合的表示.
(5)区间及其表示.
2.方法归纳:等价转化、分类讨论.
3.常见误区:
(1)忽视集合中元素的互异性.
(2)点集与数集的区别.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.(多选)下列各组对象可以构成集合的是
A.著名的数学家
B.不超过30的所有非负整数
C.方程x2-4=0的所有实数根
D.平面直角坐标系中第一象限内的点
√
√
√
1
2
3
4
对于A,著名的数学家无明确的标准,对某个数学家是否著名无法客观地判断,因此A不能构成一个集合;
对于B,任给一个整数,可以明确地判断它是不是“不超过30的非负整数”,因此B能构成一个集合;
类似地,C也能构成一个集合;
对于D,“在第一象限内”不仅可以用坐标系进行图示,也可以通过点的横纵坐标都大于0来表示,标准是明确的,因此D能构成一个集合.
2.(多选)下列选项正确的是
A.0∈N B.- Q
C.0 Q D.8∈Z
1
2
3
4
√
√
√
3.集合{x∈N+|x-2≤1}的另一种表示方法是
A.{0,1,2,3} B.{1,2,3}
C.{0,1,2,3,4} D.{1,2,3,4}
1
2
3
4
√
因为x-2≤1,x∈N+,所以x≤3,x∈N+,从而x=1,2,3.
4.若a∈{1,a2-2a+2},则实数a的值为 .
1
2
3
4
因为a∈{1,a2-2a+2},
则a=1或a=a2-2a+2,
当a=1时,a2-2a+2=1,
与集合元素的互异性矛盾,舍去;
当a≠1时,a=a2-2a+2,
解得a=1(舍去)或a=2.
综上,a=2.
2
课时对点练
六
1.(多选)下列各组对象能构成集合的有
A.接近于1的所有正整数
B.小于0的实数
C.(2 024,1)与(1,2 024)
D.未来世界的高科技产品
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
√
√
1
2
3
4
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A中,接近于1的所有正整数标准不明确,不能构成集合;
B中,小于0是一个明确的标准,能构成集合;
C中,(2 024,1)与(1,2 024)是两个不同的点,是确定的,能构成集合;
D中,未来世界的高科技产品不能构成一个集合.
2.集合{2,4,6,8,10}用描述法表示为
A.{x|1
C.{x|x≤10,x∈N}
D.{x|x=2n,n∈N,1≤n≤5}
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√
集合{2,4,6,8,10}用描述法表示出来应是{x|x=2n,n∈N,1≤n≤5}.
3.如果A={x|x>-1},那么
A.-2∈A B.1 A
C.-3∈A D.0∈A
√
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4.下列集合是空集的是
A.{x|x>0或x<-5} B.{x|x>4}
C.{x|x2≤0} D.{x|x>5且x<-4}
√
A,B,C选项的集合中均含有元素,均不为空集;
D中集合没有任何元素,为空集.
5.若集合中三个元素为边可构成一个三角形,那么该三角形一定不可能是
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
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√
由集合中元素的互异性可知,这个三角形的三边必须都不相同,因此不可能为等腰三角形.
6.(多选)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中的元素可以为
A.5 B.6 C.7 D.9
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√
1,2,3与4,5分别相加可得5,6,6,7,7,8,根据集合中元素的互异性可得集合M中的元素可以为5,6,7,8.
√
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7.已知集合A={x|2x+a>0},且1 A,则实数a的取值范围是 .
{a|a≤-2}
∵1 {x|2x+a>0},
∴2×1+a≤0,即a≤-2.
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8.下列六种表示方法:
①{x=1,y=4}; ②; ③{1,4};
④(1,4); ⑤{(1,4)}; ⑥{x,y|x=1或y=4}.
其中,能表示“一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合”的是
(把所有正确答案的序号填在横线上).
9.用适当的方法表示下列集合:
(1)一年中有31天的月份的全体;
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{1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}.
(2)大于-3.5小于12.8的整数的全体;
{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.
(3)梯形的全体构成的集合;
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{a|a是梯形}或{梯形}.
(4)所有能被3整除的数的集合;
{x|x=3n,n∈Z}.
(5)方程(x-1)(x-2)=0的所有实数根;
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{1,2}.
(6)不等式2x-1>5的解集.
{x|x>3}.
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10.用区间表示下列集合:
(1){x|x≥-1};
{x|x≥-1}=[-1,+∞).
(2){x|x<0};
{x|x<0}=(-∞,0).
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(3){x|-1
R=(-∞,+∞).
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(5){x|-2
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综合运用
∵P={x|2
12.设a,b,c为非零实数,则x=+++的所有值所组成的集合为
A.{0,4} B.{-4,0}
C.{-4,0,4} D.{0}
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∵a,b,c为非零实数,
∴当a>0,b>0,c>0时,x=+++=1+1+1+1=4;
当a,b,c中有一个小于0时,
不妨设a<0,b>0,c>0,
∴x=+++=-1+1+1-1=0;
当a,b,c中有两个小于0时,
不妨设a<0,b<0,c>0,
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∴x=+++=-1-1+1+1=0;
当a<0,b<0,c<0时,x=+++=-1-1-1-1=-4;
∴x的所有值组成的集合为{-4,0,4}.
13.用列举法表示集合A== .
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{5,4,2,-2}
∵x∈Z,∈N,∴6-x∈{1,2,4,8},此时x∈{5,4,2,-2},即A={5,4,2,-2}.
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14.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合A={-1,1,2} (填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三
个元素的可倒数集 .(答案不唯一)
由于2的倒数不在集合A中,故集合A不是可倒数集.若一个元素a∈A,则∈A.
若集合中有三个元素,故必有一个元素a=,即a=±1,
故可取的集合有,等.
不是
15.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或正奇数时,m※n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n =mn,则在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=16}中的元素个数是
A.18 B.17
C.16 D.15
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拓广探究
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因为1+15=16,2+14=16,3+13=16,4+12=16,5+11=16,6+10=16,7+9=16,
8+8=16,9+7=16,10+6=16,11+5=16,12+4=16,13+3=16,14+2=16,15+1=16, 1×16=16,16×1=16,集合M中的元素是有序数对(a,b),
所以集合M中的元素共有17个.
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16.已知集合A={x|ax2-3x+2=0},其中a为常数,且a∈R.
(1)若A中至少有一个元素,求a的取值范围;
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当A中恰有一个元素时,
若a=0,则方程化为-3x+2=0,此时关于x的方程ax2-3x+2=0只有一个实数根x=;
若a≠0,则由Δ=9-8a=0,解得a=,此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个相等的实数根.
当A中有两个元素时,
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则a≠0,且Δ=9-8a>0,解得a<,且a≠0,此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根.
综上,a的取值范围为.
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(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
当A中没有元素时,
则a≠0,Δ=9-8a<0,解得a>,此时关于x的方程ax2-3x+2=0没有实数根.
当A中恰有一个元素时,由(1)知,
此时a=0或a=.
综上,a的取值范围为.作业1 集合的概念与表示
（分值：100分）
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1.（多选）下列各组对象能构成集合的有 （ ）
A.接近于1的所有正整数
B.小于0的实数
C.（2 024，1）与（1，2 024）
D.未来世界的高科技产品
2.集合｛2，4，6，8，10｝用描述法表示为 （ ）
A.｛x|1
C.｛x|x≤10，x∈N｝
D.｛x|x=2n，n∈N，1≤n≤5｝
3.如果A=｛x|x>-1｝，那么 （ ）
A.-2∈A B.1 A C.-3∈A D.0∈A
4.下列集合是空集的是 （ ）
A.｛x|x>0或x<-5｝
B.｛x|x>4｝
C.｛x|x2≤0｝
D.｛x|x>5且x<-4｝
5.若集合中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是 （ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
6.（多选）设集合A=｛1，2，3｝，B=｛4，5｝，M=｛x|x=a+b，a∈A，b∈B｝，则M中的元素可以为 （ ）
A.5 B.6 C.7 D.9
7.已知集合A=｛x|2x+a>0｝，且1 A，则实数a的取值范围是 .
8.下列六种表示方法：
①｛x=1，y=4｝；
②；
③｛1，4｝；
④（1，4）；
⑤｛（1，4）｝；
⑥｛x，y|x=1或y=4｝.
其中，能表示“一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合”的是 （把所有正确答案的序号填在横线上）.
9.（12分）用适当的方法表示下列集合：
（1）一年中有31天的月份的全体；（2分）
（2）大于-3.5小于12.8的整数的全体；（2分）
（3）梯形的全体构成的集合；（2分）
（4）所有能被3整除的数的集合；（2分）
（5）方程（x-1）（x-2）=0的所有实数根；（2分）
（6）不等式2x-1>5的解集.（2分）
10.（10分）用区间表示下列集合：
（1）｛x|x≥-1｝；（2分） （2）｛x|x<0｝；（2分）
（3）｛x|-1
A.｛0，4｝ B.｛-4，0｝
C.｛-4，0，4｝ D.｛0｝
13.用列举法表示集合A== .
14.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A=｛-1，1，2｝ （填“是”或“不是”）可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集 .（答案不唯一）
15.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn，则在此定义下，集合M=｛（a，b）|a※b=16｝中的元素个数是 （ ）
A.18 B.17
C.16 D.15
16.（11分）已知集合A=｛x|ax2-3x+2=0｝，其中a为常数，且a∈R.
（1）若A中至少有一个元素，求a的取值范围；（6分）
（2）若A中至多有一个元素，求a的取值范围.（5分）
答案精析
1.BC 2.D 3.D 4.D 5.D 6.ABC
7.｛a|a≤-2｝ 8.②⑤
9.解 （1）｛1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月｝.
（2）｛-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12｝.
（3）｛a|a是梯形｝或｛梯形｝.
（4）｛x|x=3n，n∈Z｝.
（5）｛1，2｝.
（6）｛x|x>3｝.
10.解 （1）｛x|x≥-1｝=［-1，+∞）.
（2）｛x|x<0｝=（-∞，0）.
（3）｛x|-1
（5） ｛x|-2
11.B
12.C ［∵a，b，c为非零实数，
∴当a>0，b>0，c>0时，x=+++=1+1+1+1=4；
当a，b，c中有一个小于0时，不妨设a<0，b>0，c>0，
∴x=+++
=-1+1+1-1=0；
当a，b，c中有两个小于0时，不妨设a<0，b<0，c>0，
∴x=+++
=-1-1+1+1=0；
当a<0，b<0，c<0时，x=+++=-1-1-1-1=-4；
∴x的所有值组成的集合为｛-4，0，4｝.］
13.｛5，4，2，-2｝
解析 ∵x∈Z，∈N，
∴6-x∈｛1，2，4，8｝，
此时x∈｛5，4，2，-2｝，
即A=｛5，4，2，-2｝.
14.不是
解析 由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集.若一个元素a∈A，则∈A.
若集合中有三个元素，故必有一个元素a=，即a=±1，
故可取的集合有，等.
15.B ［因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16，9+7=16，10+6=16，11+5=16，12+4=16，13+3=16，14+2=16，15+1=16，1×16=16，16×1=16，集合M中的元素是有序数对（a，b），
所以集合M中的元素共有17个.］
16.解 （1）当A中恰有一个元素时，
若a=0，则方程化为-3x+2=0，此时关于x的方程ax2-3x+2=0只有一个实数根x=；
若a≠0，则由Δ=9-8a=0，
解得a=，
此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个相等的实数根.
当A中有两个元素时，
则a≠0，且Δ=9-8a>0，
解得a<，且a≠0，此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根.
综上，a的取值范围为.
（2）当A中没有元素时，
则a≠0，Δ=9-8a<0，解得a>，此时关于x的方程ax2-3x+2=0没有实数根.
当A中恰有一个元素时，由（1）知，
此时a=0或a=.
综上，a的取值范围为.
