衡阳县四中2024-2025学年下学期高二第一次月考卷
数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．若复数是纯虚数，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，三棱锥中，底面，则该三棱锥的内切球半径与外接球半径的和为（ ）
A． B． C． D．
6．某校为了宣传青少年身心健康的重要性，随机抽查了高一、高二、高三的名同学进行了跑步测试，按照最终测试成绩的分数进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，估计该名同学测试得分的上四分位数为（ ）
A．82.5 B．81 C．80 D．79.5
7．设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（ ）
A．60 B．70 C．75 D．85
8．椭圆的左右焦点为，经过的直线与椭圆C相交于A，B．若的周长为8，则（ ）
A． B． C．2 D．4
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．已知数列满足，（），的前项和为，则（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C． D．
10．如图，在棱长为2的正方体中，E、F、G、M、N均为所在棱角中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ）
A．P在BC中点时，平面平面GMN
B．E、F、G、M、N在同一个球面上
C．异面直线EF、GN所成角的余弦值为
D．，则P点轨迹长度为
11．已知双曲线的左，右焦点分别是，下列说法正确的有（ ）
A．若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为
B．若双曲线的通径长为2，则
C．若是双曲线与以为直径的圆的交点，则的面积为2
D．若点在双曲线上，则
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知直线被圆截得的最短弦长为，则 ．
13．过椭圆内一点引一条直线与椭圆相交于两点．若是线段的中点，则直线的斜率 ．
14．如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 m．（，结果精确到0.1）
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）已知数列满足．
(1)若，求证：为等差数列；
(2)求数列的前项和．
16．（15分）在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由.
17．（15分）已知椭圆经过点，其右焦点为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若点在椭圆上，右顶点为A，且满足直线与的斜率之积为，求证：直线PQ过定点.
18．（17分）如图，在平面四边形中，，是边长为2的正三角形，，为的中点，将沿折到的位置，．
(1)求证：面；
(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
19．（17分）已知正项数列的前项和为.若.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
数学答案
1．【答案】A
【解析】因为，，
所以，，
则向量在向量方向上.
故选：A
2．【答案】C
【解析】由题意可知，，，
得，根据选项可知，只有满足条件.
故选：C
3．【答案】A
【解析】由题意，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则高为，如下图所示：
则圆台的体积为.
故选：A.
4．【答案】B
【解析】由直观图作出直角梯形的平面图形，如图.
按照斜二测画法规则，由，
得直角梯形中，，.
过作，交于，
则，
所以直角梯形边的长度为，
故选：B.
5．【答案】D
【解析】因为底面底面，所以.
又因为，所以，而，所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长 宽 高，
因此该三棱锥外接球的半径，设该三棱锥的内切球的半径为，
因为，所以.
因为，
所以，故为等边三角形，
由三棱锥的体积公式可得
，
三棱锥的内切球半径与外接球半径的和为，
故选：D
6．【答案】A
【解析】因为,
,
所以上四分位数位于内，且设其为，
故，
解得，故A正确.
故选：A
7．【答案】A
【解析】设，
因为数列是等差数列，且公差，，
所以，解得，
所以.
故选：A.
8．【答案】D
【解析】由题意的周长，
解得，故.
故选：D
9．【答案】BC
【解析】对于AB，因为数列中，，（），
则，，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，故A错误，B正确；
对于C，，即有，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC.
10．【答案】ABD
【解析】对于A：取的中点，连接，
在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，
易得，平面，
因平面，则，
又平面，，
故平面，因平面，故①，
连接，是正方形，，
因平面，平面，则，
因平面，，
故平面，又平面，则②，
因平面，又，
由① ，②可得平面，又平面，故平面平面，故A正确；
对于B：记正方体的中心为点，则，
所以在以为球心，以为半径的球面上，故B正确；
对于C：取的中点，连接，则，
所以或其补角是异面直线所成的角，
又，则，故C错误；
对于D：因为，且为的中点，
所以，故，
所以点轨迹是过点与平行的线段，且，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11．【答案】ABC
【解析】在双曲线中，.
若离心率，则，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，A正确．
将代入，得，
又，所以 ，解得．
由题意得，解得，B正确．由题意，得．
不妨设点在第一象限，，则，
所以，解得，所以的面积，C正确．
因为点在双曲线上，所以，解得 ．
因为点在第一象限，所以，D错误．
故选：ABC.
12．【答案】
【解析】由题意，圆，可得圆心，半径，
过定点
则圆心到直线的距离为，
可得截得弦长为，
弦长取得最小值时，.
故答案为：.
13．【答案】/
【解析】设,
则，相减可得，
故答案为：
14．【答案】13.8
【解析】根据题意得，在中，，,
在中，,,
.
故答案为：13.8
15．【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：因为，所以，
即
因为，所以．
又因为，
所以是以2为首项，2为公差的等差数列
（2）由（1）得，所以，
所以．
所以
16．【答案】(1)
(2)相交，
【解析】（1）因，则线段的中点的坐标为，
且直线的斜率,
于是线段的垂直平分线所在直线方程为 ,
则由，解得，
∴圆心，半径,
∴圆的方程为；
（2）由圆得：
∴ 圆心，半径，
∵ 圆的圆心坐标为，半径，
由，，
因 ，故圆与圆相交 ；
设圆与圆的两个交点分别为点，如图，
由左右分别相减，整理得,
∴直线的方程为,
∴ 圆心到直线的距离 ,
∴，
综上：圆与圆相交，两圆的公共弦长为.
17．【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）依题可得，，解得，
所以椭圆的方程为.所以离心率.
（2）由（1）知，易知直线与的斜率存在且同号，所以直线不垂直于轴，
故可设，
由可得，，
所以，
，而，即，
化简可得，
即，
即，
化简得，所以或，
所以直线或，
因为直线不经过点A，所以直线经过定点.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）依题意是边长为2的正三角形，为的中点，所以，
所以，，，，，
则，所以，又，即，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，平面，所以平面．
（2）
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，令，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由题意，得，则，
因为是正项数列，则，所以，
由可得，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可得，所以，
依题意，得，
所以.
