广东省广州市某中学2025届高三上学期第一次模拟训练数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的真子集的个数为( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数的定义域为，则的定义域为( )
A. B. C. D.
4.已知直线，，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知向量，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知、分别是双曲线：的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知圆台的高为，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且对任意，满足，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，且，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.直线与抛物线相交于两点，下列说法正确的是( )
A. 抛物线的准线方程为
B. 拋物线的焦点为
C. 若为原点，则
D. 若，则
11.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是( )
A. 当，最大 B. 使得成立的最小自然数
C. D. 中最小项为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 ．
13.已知单位向量满足，则与的夹角为 ．
14.已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知向量，且．
求角的大小；
若，求周长的取值范围．
16.本小题分
已知数列满足．
证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式．
求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面是边长为的菱形，其对角线交于点且平面．
求证：平面；
若，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上
求椭圆的标准方程和离心率；
已知直线与椭圆交于、两点，且，求面积的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数在处切线方程；
求函数的单调区间；
若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.【详解】由，得，由正弦定理，得，
即，
而，，则，
又，．
由正弦定理得：，则，，
，
由锐角，得，即，，
因此，即
所以周长的范围为．
16.【详解】根据题意由易知，
即可得为定值，
由此可得数列是以为首项，公差的等差数列，
所以，可得；
即数列的通项公式为；
由知，，
所以，
所以，
所以
，
所以
17.解：证明：因为四边形是菱形，所以，
又因为平面，且平面，所以．
又平面，所以平面．
方法，由，四边形为菱形，，
则是边长为的等边三角形．
所以．
因为平面，则以点为坐标原点，
所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，故，
易知平面的一个法向量为，
则平面与平面夹角的余弦值
，
故平面与平面夹角的余弦值为；
方法，由，四边形为菱形，，
则是边长为的等边三角形，
所以，
所以．
取中点，连接，
在等腰直角中，且，
由勾股定理得．
因为，则，．
注意到，平面平面，
所以平面与平面的夹角即为．
在中，，则，
即，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：设椭圆的方程为，
依题意：解得
椭圆的方程为．
椭圆的离心率为．
当直线不垂直于坐标轴时，直线的斜率存在且不为，
设其方程为，
由，
消去得，
则，
直线，
同理，
则的面积
，
令，
则
当直线垂直于坐标轴时，由对称性，不妨令，
则，
所以面积的取值范围是．
19.【详解】当时，，则，
所以，，故在处切线方程为，
所以．
由题设，且，
当时，，即的递增区间为，无递减区间；
当时，有，有，
此时的递增区间为，递减区间为．
原条件等价于在上存在实数解．
所以在上存在实数解，
令，则，
在上，得，故在上单调递增，
所以的最小值为，故时不等式在上存在实数解．
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