1.1.2 子集和补集
[学习目标] 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.2.能用符号和Venn图表示两个集合间的关系.3.理解空集与子集、真子集之间的关系.4.理解补集的含义,能求给定集合的补集.
一、子集与真子集
问题1 观察下列各组集合,你能发现两个集合间的关系吗
(1)A={3,5,7},B=(2,8];
(2)A={等边三角形},B={等腰三角形};
(3)A={x|x=2k,k∈Z},B={偶数}.
知识梳理
1.子集
名称 自然语言 符号语言 图形语言
A是B的子集 如果集合A的 都是集合B的元素,就说 ,或者说 (或 )读作“ ”(或“ ”)
2.集合相等
如果 并且 ,就说两个集合相等,记作A=B.
3.真子集
如果 但 ,就说A是B的真子集,记作A B,读作“ ”.
4.空集包含于 集合,是 集合的子集.
5.传递性:若A B,B C,则 ;若A?B,B C,则 .
例1 (1)(多选)下列各对集合M,N中,满足M是N的子集的是( )
A.M={-1,1},N={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}
B.M={x|-1
D.M={x|x=2n-1,n∈N+},N={x|x=2n+1,n∈N+}
(2)集合{a,b,c}的子集有 ;
其中真子集有 .
反思感悟 求元素个数有限的集合的子集的两个关注点
(1)要注意两个特殊的子集: 和自身.
(2)按集合中含有元素的个数由少到多分类一一写出,保证不重不漏.
跟踪训练1 (1)已知A={x|x是正数},B={x|x是正整数},C={x|x是实数},那么A,B,C之间的关系是( )
A.A B C B.B A C
C.C A B D.A=B C
(2)满足{1,2}?M {1,2,3,4,5}的集合M有 个.
二、补集
问题2 如果我们把某次活动中的客人看成集合的元素,所有的客人组成集合U,先到的客人组成集合A,未到的客人组成集合B,集合A,B与集合U有什么样的关系
知识梳理
1.全集:如果在某个特定的场合,要讨论的对象都是集合U的 ,就可以把集合U约定为全集(或基本集).
2.补集
自然语言 若A是全集U的子集,U中所有不属于A的元素组成的集合叫作A的补集,记作 ,当U可以从上下文确定时,A的补集也可以记作
符号语言 UA=
图形语言
例2 (1)已知全集U={x|-3
B.(-3,-2)∪[1,3)
C.[-2,1)
D.(-3,-2]∪(1,3)
(2)已知全集U={-1,1,3},集合A={a+2,a2+2},且 UA={-1},则a的值是( )
A.-1 B.1
C.3 D.±1
反思感悟 求补集的方法
若所有的集合是有关不等式的集合,则常借助于数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后再根据补集的定义求解,注意端点值的取舍.
跟踪训练2 (1)已知全集U={x|x≥-3},集合A={x|-3
三、由集合间的关系求参数
例3 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B?A,求实数m的取值范围.
延伸探究 若本例条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2
(1)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值.
(2)此类问题还要注意“空集”的情况,因为空集是任何集合的子集.
跟踪训练3 已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B A,求实数a的取值范围.
1.知识清单:
(1)子集、真子集的概念与性质.
(2)子集的个数.
(3)补集.
(4)由集合间的关系求参数.
2.方法归纳:分析法、观察法、元素特征法、数形结合法、分类讨论法.
3.常见误区:
(1)在解决问题时,容易遗忘空集.
(2)求含参的问题时,容易遗漏端点的取值,应注意讨论.
1.(多选)下列选项错误的是( )
A.{1}∈{0,1,2} B.{1,-3}={-3,1}
C.{0,1,2} {1,0,2} D. ∈{0}
2.设全集U={x|x是小于5的非负整数},A={2,4},则 UA等于( )
A.{1,3} B.{1,3,5}
C.{0,1,3} D.{0,1,3,5}
3.集合A={0,2,4,6}的子集个数是( )
A.8 B.12
C.15 D.16
4.已知集合A={x|x≥1或x≤-2},B={x|x≥a},若B?A,则实数a的取值范围是 .
答案精析
问题1 (1)(2)中集合A的每个元素都是集合B的元素.(3)中集合A，B的元素相同.
知识梳理
1.每个元素 A包含于B B包含A A B B A A包含于B B包含A
2.A B B A
3.A B A≠B A真包含于B
4.任一 任一
5.A C A?C
例1 (1)BC
(2) ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}
跟踪训练1 (1)B
(2)7
问题2 集合U是我们研究对象的全体，A U，B U.
知识梳理
1.元素和子集
2. UA {x|x∈U，且x A}
例2 (1)D
(2)A [∵ UA={-1}，∴A={1，3}，
∵a2+2≥2，∴
解得a=-1.]
跟踪训练2 (1){x|x=-3或x>4}
(2)-3
解析 ∵ UA={1，2}，∴A={0，3}，
∴0，3是方程x2+mx=0的两个根，∴m=-3.
例3 解 (1)当B= 时，
由m+1>2m-1，得m<2；
(2)当B≠ 时，如图所示.
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}.
延伸探究 解 (1)当B= 时，
由m+1>2m-1，得m<2.
(2)当B≠ 时，如图所示.
∴解得2≤m<3，
综上可得，m的取值范围是{m|m<3}.
跟踪训练3 解 (1)当B= 时，
2a>a+3，即a>3.显然满足题意.
(2)当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或
解得a<-4或2
随堂演练
1.AD 2.C 3.D 4.[1，+∞)(共55张PPT)
第1章
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1.1.2 子集和补集
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
2.能用符号和Venn图表示两个集合间的关系.
3.理解空集与子集、真子集之间的关系.
4.理解补集的含义,能求给定集合的补集.
学习目标
我们知道,两个实数之间有相等关系、大小关系,如5＝5,5<7,5>3等等,两个集合之间是否也有类似的关系呢
导 语
一、子集与真子集
二、补集
课时对点练
三、由集合间的关系求参数
随堂演练
内容索引
子集与真子集
一
观察下列各组集合,你能发现两个集合间的关系吗
(1)A＝{3,5,7},B＝(2,8];
(2)A＝{等边三角形},B＝{等腰三角形};
(3)A＝{x|x＝2k,k∈Z},B＝{偶数}.
问题1
提示 (1)(2)中集合A的每个元素都是集合B的元素.
(3)中集合A,B的元素相同.
名称 自然语言 符号语言 图形语言
A是B的子集 如果集合A的_________都是集合B的元素,就说______ ____,或者说________ ______(或______)读作“__________”(或“_________”)
1.子集
每个元素
A包含
于B
B包含A
A B
B A
A包含于B
B包含A
2.集合相等
如果_____并且______,就说两个集合相等,记作A＝B.
3.真子集
如果_____但_____,就说A是B的真子集,记作A B,读作“____________”.
4.空集包含于_____集合,是_____集合的子集.
5.传递性:若A B,B C,则______;若A B,B C,则______.
B A
A B
A B
A≠B
A真包含于B
任一
任一
A C
A C
(1)“A是B的子集”的含义:由任意x∈A,都能推出x∈B.
(2)在真子集的定义中,A B首先要满足A B,其次至少有一个x∈B,但x A.
(3)任何一个集合都是它本身的子集,即A A.
(4)空集是任何非空集合的真子集.
注 意 点
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(1)(多选)下列各对集合M,N中,满足M是N的子集的是
A.M＝{-1,1},N＝{(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}
B.M＝{x|-1
D.M＝{x|x＝2n-1,n∈N＋},N＝{x|x＝2n＋1,n∈N＋}
例 1
√
√
A中,集合M的代表元素是数,集合N的代表元素是有序实数对,故M与N之间无包含关系;
B中,集合N＝{x|x<5},用数轴表示集合M,N,如图所示,由图可知M N;
C中,正方形是特殊的矩形,故M N;
D中,两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N＋,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故N M.
(2)集合{a,b,c}的子集有 ;其中真子集有 .
,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}
(1)要注意两个特殊的子集: 和自身.
(2)按集合中含有元素的个数由少到多分类一一写出,保证不重不漏.
反
思
感
悟
求元素个数有限的集合的子集的两个关注点
(1)已知A＝{x|x是正数},B＝{x|x是正整数},C＝{x|x是实数},那么A,B,C之间的关系是
A.A B C B.B A C
C.C A B D.A＝B C
跟踪训练 1
√
集合A,B,C的关系如图.
(2)满足{1,2} M {1,2,3,4,5}的集合M有 个.
由{1,2} M {1,2,3,4,5},可以确定集合M必含有元素1,2,且含有元素3,4,5中的至少一个,因此依据集合M的元素个数分类如下:
含有三个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};
含有四个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5};
含有五个元素:{1,2,3,4,5}.
故满足题意的集合M共有7个.
7
二
补集
提示 集合U是我们研究对象的全体,A U,B U.
如果我们把某次活动中的客人看成集合的元素,所有的客人组成集合U,先到的客人组成集合A,未到的客人组成集合B,集合A,B与集合U有什么样的关系
问题2
1.全集:如果在某个特定的场合,要讨论的对象都是集合U的____________,就可以把集合U约定为全集(或基本集).
元素和子集
自然语言 若A是全集U的子集,U中所有不属于A的元素组成的集合叫作A的补集,记作_____,当U可以从上下文确定时,A的补集也可以记作____
符号语言 UA＝______________
图形语言
2.补集
UA
{x|x∈U,且x A}
(1)“全集”是一个相对的概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题加以选择的.
(2)补集是集合之间的一种运算关系,求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也不同,因此它们是相互依存、不可分割的两个概念.
(3) UA包含三层含义:①A U;② UA是一个集合,且 UA U;③ UA是U中所有不属于A的元素构成的集合.
注 意 点
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(1)已知全集U＝{x|-3
C.[-2,1) D.(-3,-2]∪(1,3)
例 2
√
方法一 因为全集U＝(-3,3),A＝(-2,1],所以 UA＝(-3,-2]∪(1,3).
方法二 因为1∈A,所以1 UA,可排除A选项和B选项;
0∈A,所以0 UA,可排除C选项.
(2)已知全集U＝{-1,1,3},集合A＝{a＋2,a2＋2},且 UA＝{-1},则a的值是
A.-1 B.1
C.3 D.±1
√
∵ UA＝{-1},∴A＝{1,3},
∵a2＋2≥2,∴
解得a＝-1.
反
思
感
悟
若所有的集合是有关不等式的集合,则常借助于数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后再根据补集的定义求解,注意端点值的取舍.
求补集的方法
(1)已知全集U＝{x|x≥-3},集合A＝{x|-3
{x|x＝-3或x>4}
借助数轴得 UA＝{x|x＝-3或x>4}.
(2)设U＝{0,1,2,3},A＝{x|x2＋mx＝0},若 UA＝{1,2},则实数m＝ .
-3
∵ UA＝{1,2},∴A＝{0,3},
∴0,3是方程x2＋mx＝0的两个根,∴m＝-3.
由集合间的关系求参数
三
已知集合A＝{x|-2≤x≤5},B＝{x|m＋1≤x≤2m-1},若B A,求实数m的取值范围.
例 3
(1)当B＝ 时,由m＋1>2m-1,得m<2;
(2)当B≠ 时,如图所示.
解这两个不等式组,得2≤m≤3.
综上可得,m的取值范围是{m|m≤3}.
若本例条件“A＝{x|-2≤x≤5}”改为“A＝{x|-2
(2)当B≠ 时,如图所示.
延伸探究
综上可得,m的取值范围是{m|m<3}.
反
思
感
悟
(1)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值.
(2)此类问题还要注意“空集”的情况,因为空集是任何集合的子集.
利用集合间的关系求参数的关注点
已知集合A＝{x|x<-1或x>4},B＝{x|2a≤x≤a＋3},若B A,求实数a的取值范围.
跟踪训练 3
(1)当B＝ 时,2a>a＋3,即a>3.显然满足题意.
(2)当B≠ 时,根据题意作出如图所示的数轴,
解得a<-4或2
1.知识清单:
(1)子集、真子集的概念与性质.
(2)子集的个数.
(3)补集.
(4)由集合间的关系求参数.
2.方法归纳:分析法、观察法、元素特征法、数形结合法、分类讨论法.
3.常见误区:
(1)在解决问题时,容易遗忘空集.
(2)求含参的问题时,容易遗漏端点的取值,应注意讨论.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)下列选项错误的是
A.{1}∈{0,1,2} B.{1,-3}＝{-3,1}
C.{0,1,2} {1,0,2} D. ∈{0}
√
√
1
2
3
4
A应是{1} {0,1,2};
对于B,集合中的元素有无序性,故B正确;
对于C,任何集合都是本身的子集,故{0,1,2} {1,0,2}正确;
D应是 {0}.
2.设全集U＝{x|x是小于5的非负整数},A＝{2,4},则 UA等于
A.{1,3} B.{1,3,5}
C.{0,1,3} D.{0,1,3,5}
1
2
3
4
√
3.集合A＝{0,2,4,6}的子集个数是
A.8 B.12
C.15 D.16
1
2
3
4
√
4.已知集合A＝{x|x≥1或x≤-2},B＝{x|x≥a},若B A,则实数a的取值范围是 .
1
2
3
4
[1,＋∞)
∵B A,∴a≥1.
课时对点练
五
1.下列各选项中,表示M N的是
1
2
3
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9
10
11
12
13
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15
16
基础巩固
√
由M N知,表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中.
2.已知集合M＝[-2,2),N＝{x|-1
C.M＝N D.M,N互不包含
1
2
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4
5
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16
√
∵N＝{x|0
3.设全集U＝{x∈N|x≥2},集合A＝{x∈N|x2≥5},则 UA等于
A. B.{2}
C.[2,) D.{5}
√
1
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4
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16
A＝{x∈N|x≥},∴ UA＝{2}.
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16
由{1,0} B可得1∈B且0∈B,根据B为{-1,0,1,2}的真子集,
可得B＝{1,0}或B＝{1,0,-1}或B＝{1,0,2},故满足条件的集合B的个数为3.
4.已知集合{1,0} B {-1,0,1,2},则满足条件的集合B的个数为
A.3 B.4
C.5 D.6
√
5.(多选)已知集合A＝{0,1},则下列式子正确的是
A.0∈A B.{1}∈A
C. A D.{0,1} A
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16
√
√
√
∵{1} A,∴B项错误,其余均正确.
6.(多选)已知集合A＝{2,-1},集合B＝{m2-m,-1},且A＝B,则实数m等于
A.2 B.-1
C.-2 D.4
1
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16
√
∵A＝B,∴m2-m＝2,∴m＝2或m＝-1.
√
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6
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(4,8]
7.已知集合A＝(-1,4],S＝{x|-1
2
3
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6
7
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16
∵集合A＝[-4,4],集合B＝{x|x≥a},若A B,则a≤-4,
则实数a的取值范围是(-∞,-4].
(-∞,-4]
8.已知集合A＝[-4,4],B＝{x|x≥a},且A B,则实数a的取值范围为_______.
9.已知集合A＝{1,3,-x2},B＝{x＋2,1},是否存在实数x,使得B是A的子集 若存在,求出集合A,B;若不存在,请说明理由.
1
2
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16
存在,理由如下:由题意知,若x＋2＝3,则x＝1,符合题意.若x＋2＝-x2,则x2＋x＋2＝0无实根,故不成立,综上所述,存在实数x＝1,使得B是A的子集,此时A＝{1,3,-1},B＝{1,3}.
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16
10.已知全集U＝{2,3,a2＋2a-3},B＝{|2a-1|,2},若 UB＝{5},求实数a的值.
11.已知全集U＝[1,a],A＝{x|1≤x≤b},若 UA＝(2,5],则的值为
A. B.2
C. D.5
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3
4
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16
√
综合运用
画出数轴如图所示,
∵ UA＝(2,5],∴b＝2,a＝5,
∴.
12.设集合A＝{-1,1},集合B＝{x|x2-2ax＋1＝0},若B≠ ,B A,则a等于
A.-1 B.0
C.1 D.±1
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16
√
当B＝{-1}时,x2-2ax＋1＝0有两个相等的实根-1,即a＝-1;
当B＝{1}时,x2-2ax＋1＝0有两个相等的实根1,即a＝1;
当B＝{-1,1}时,不成立.故a＝±1.
13.(多选)集合A＝{x|(a-1)x2＋3x-2＝0}有且仅有两个子集,则a的值为
A.1 B.
C.-1 D.-
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16
√
√
由集合有两个子集可知,该集合是单元素集,
当a＝1时,满足题意.当a≠1时,
由Δ＝9＋8(a-1)＝0可得a＝-.
故a的值为1或-.
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14.已知非空集合P满足:(1)P {1,2,3,4,5};(2)若a∈P,则6-a∈P.符合上述条件的集合P的个数为 .
7
由a∈P,6-a∈P,且P {1,2,3,4,5}可知,P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选,2,4同时选,3可单独选,可一一列出满足条件的全部集合P为{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,5,2,4},{1,2,3,4,5},共有7个.
15.设集合Sn＝{1,2,3,…,n},若X Sn,把X中的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素,则该元素的值即为它的容量,规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数,则称X为Sn的奇(偶)子集,若n＝4,则Sn的所有偶子集的容量之和为 .
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拓广探究
112
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16
当n＝4时,S4＝{1,2,3,4},S4的所有偶子集为 ,{2},{4},{1,2},{1,4},{2,3},
{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}.
所以S4的所有偶子集的容量之和为0＋2＋4＋2＋4＋6＋8＋12＋6＋8＋12＋24＋24＝112.
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16.已知集合M＝{x|x2＋2x-a＝0}.
(1)若 M,求实数a的取值范围;
由题意得,方程x2＋2x-a＝0有实数根,
∴Δ＝22-4×(-a)≥0,得a≥-1,
∴实数a的取值范围是{a|a≥-1}.
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16
∵N＝{x|x2＋x＝0}＝{0,-1},且M N,
∴当M＝ 时,Δ＝22-4×(-a)<0,得a<-1;
当M≠ 时,当Δ＝0时,a＝-1,
此时M＝{-1},满足M N,符合题意,
当Δ>0时,a>-1,M中有两个元素,
若M N,则M＝N,
.
综上,实数a的取值范围为{a|a≤-1}.
(2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M N,求实数a的取值范围.作业3 子集和补集
(分值:100分)
单选题每小题5分,共30分;多选题每小题6分,共18分
1.下列各选项中,表示M N的是 ( )
2.已知集合M＝[-2,2),N＝{x|-1
C.M＝N D.M,N互不包含
3.设全集U＝{x∈N|x≥2},集合A＝{x∈N|x2≥5},则 UA等于 ( )
A. B.{2}
C.[2,) D.{5}
4.已知集合{1,0} B?{-1,0,1,2},则满足条件的集合B的个数为 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
5.(多选)已知集合A＝{0,1},则下列式子正确的是 ( )
A.0∈A B.{1}∈A
C. A D.{0,1} A
6.(多选)已知集合A＝{2,-1},集合B＝{m2-m,-1},且A＝B,则实数m等于 ( )
A.2 B.-1
C.-2 D.4
7.(5分)已知集合A＝(-1,4],S＝{x|-1
9.(10分)已知集合A＝{1,3,-x2},B＝{x＋2,1},是否存在实数x,使得B是A的子集 若存在,求出集合A,B;若不存在,请说明理由.
10.(10分)已知全集U＝{2,3,a2＋2a-3},B＝{|2a-1|,2},若 UB＝{5},求实数a的值.
11.已知全集U＝[1,a],A＝{x|1≤x≤b},若 UA＝(2,5],则的值为 ( )
A. B.2
C. D.5
12.设集合A＝{-1,1},集合B＝{x|x2-2ax＋1＝0},若B≠ ,B A,则a等于 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.±1
13.(多选)集合A＝{x|(a-1)x2＋3x-2＝0}有且仅有两个子集,则a的值为 ( )
A.1 B.
C.-1 D.-
14.(5分)已知非空集合P满足:(1)P {1,2,3,4,5};(2)若a∈P,则6-a∈P.符合上述条件的集合P的个数为 .
15.(5分)设集合Sn＝{1,2,3,…,n},若X Sn,把X中的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素,则该元素的值即为它的容量,规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数,则称X为Sn的奇(偶)子集,若n＝4,则Sn的所有偶子集的容量之和为 .
16.(12分)已知集合M＝{x|x2＋2x-a＝0}.
(1)若 ?M,求实数a的取值范围;(5分)
(2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M N,求实数a的取值范围.(7分)
答案精析
1.C 2.B 3.B 4.A 5.ACD
6.AB [∵A=B，∴m2-m=2，
∴m=2或m=-1.]
7.(4，8]
8.(-∞，-4]
9.解 存在，理由如下：由题意知，若x+2=3，则x=1，符合题意.若x+2=-x2，则x2+x+2=0无实根，故不成立，综上所述，存在实数x=1，使得B是A的子集，
此时A={1，3，-1}，B={1，3}.
10.解 ∵ UB={5}，
∴
解得∴a=2.
11.C 12.D 13.AD
14.7
解析 由a∈P，6-a∈P，且P {1，2，3，4，5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1，5同时选，2，4同时选，3可单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，5，2，4}，{1，2，3，4，5}，共有7个.
15.112
解析 当n=4时，S4={1，2，3，4}，S4的所有偶子集为 ，{2}，{4}，{1，2}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}.
所以S4的所有偶子集的容量之和为0+2+4+2+4+6+8+12+6+8+12+24+24=112.
16.解 (1)由题意得，
方程x2+2x-a=0有实数根，
∴Δ=22-4×(-a)≥0，得a≥-1，
∴实数a的取值范围是{a|a≥-1}.
(2)∵N={x|x2+x=0}={0，-1}，且M N，
∴当M= 时，Δ=22-4×(-a)<0，得a<-1；
当M≠ 时，当Δ=0时，a=-1，
此时M={-1}，满足M N，符合题意，
当Δ>0时，a>-1，M中有两个元素，
若M N，则M=N，
从而无解.
综上，实数a的取值范围为
{a|a≤-1}.
