宁夏回族自治区2025年初中学业水平模拟考试
数学试题(五)
一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.在月球表面某天白天的最高温度为零上126 ℃,记作+126 ℃,夜间的最低温度为零下150 ℃,可记作(A)
A.-150 ℃ B.-24 ℃ C.+24 ℃ D.+150 ℃
【解析】“正”和“负”相对,所以在月球表面某天白天的最高温度为零上126 ℃,记作+126 ℃,夜间的最低温度为零下150 ℃,可记作-150 ℃.
2.下列计算正确的是(B)
A.2a·3a=6a B.(-a3)2=a6 C.6a÷2a=3a D.a2+a3=a5
【解析】2a·3a=6a2,故选项A不符合题意;
(-a3)2=a6,故选项B符合题意;
6a÷2a=3,故选项C不符合题意;
a2+a3不能合并,故选项D不符合题意.
3.共筑冰雪梦,共绘同心圆.第九届亚洲冬季运动会于2025年2月14日晚在哈尔滨圆满闭幕.在过去8天里,来自亚洲34个国家和地区的1 200多名运动员在这里突破自我、展现风采、成就梦想、收获友谊,以高超竞技水平和顽强拼搏精神,书写了亚洲冰雪运动新辉煌.其中数据1 200用科学记数法表示为(D)
A.1.2×104 B.12×102 C.0.12×104 D.1.2×103
【解析】1 200=1.2×103.
4.下列语句所描述的事件中,是不可能事件的是(C)
A.一岁一枯荣 B.黄河入海流 C.手可摘星辰 D.处处闻啼鸟
【解析】A.“一岁一枯荣”是必然事件,故本选项不符合题意;
B.“黄河入海流”是必然事件,故本选项不符合题意;
C.“手可摘星辰”是不可能事件,故本选项符合题意;
D.“处处闻啼鸟”是随机事件,故本选项不符合题意.
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,分别以A,B两点为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于M,N两点,直线MN交AC于点D,交AB于点E,若CD=3,则AC的长度为(D)
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】由作法得MN垂直平分AB,
∴DA=DB,∴∠DBA=∠A=30°,
∵∠ABC=90°-∠A=60°,
∴∠CBD=30°,
在△BCD中,BD=2CD=6,
∴AD=6,∴AC=AD+CD=6+3=9.
6.如图,已知△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形,相似比为2∶3,则下列说法错误的是(D)
A.△BCO∽△B'C'O B.△A'B'C'与△ABC的周长比为2∶3
C.S△A'B'C'∶S△ABC=4∶9 D.OB'∶BB'=3∶2
【解析】∵△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形,相似比为2∶3,
∴△A'B'C'∽△ABC,AC∥A'C',BC∥B'C',
∴S△A'B'C'∶S△ABC=4∶9,△BCO∽△B'C'O,
△A'B'C'与△ABC的周长比为2∶3,
∴OB'∶OB=2∶3,
∴OB'∶BB'=2∶1
故选项A,B,C正确,选项D错误.
7.如图,直线y=x+6交坐标轴于点A,B,将△AOB沿x轴负半轴平移4个单位长度得△CDE,则图中阴影部分面积为(C)
A.14 B.16 C.18 D.20
【解析】直线y=x+6交坐标轴于点A,B,
∴令x=0,y=6;令y=0,x=-8;
∴A(-8,0),B(0,6),即OA=8,OB=6,
∵△AOB沿x轴负半轴平移4个单位长度得△CDE,
∴OD=4,AD=4,D(-4,0),
设AB,DE交于点F,
∴点F在直线y=x+6的图象上,且点F的横坐标与点D的横坐标相同,
∴当x=-4时,y=×(-4)+6=3,
∴F(-4,3),即DF=3,
∵S四边形ACEF+S△ADF=S△ADF+S梯形DFBO,
∴S四边形ACEF=S梯形DFBO,
∵S梯形DFBO===18,
∴图中阴影部分面积为18.
8.如图,将正六边形纸片的空白部分剪下,得到三部分图形,记Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ部分的面积分别为S1,SⅡ,SⅢ.给出以下结论:①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形;②Ⅲ中最大的内角是150°;③SⅢ=2(S1+SⅡ).其中正确的是(B)
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【解析】如图,将图中的正六边形可以分割成6个全等的三角形,
于是Ⅰ部分、Ⅱ部分相当于其中的1个三角形,Ⅲ部分相当于4个这样的三角形,
所以①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形是正确的;②Ⅲ中最大的内角是=120°,因此②是不正确的;③SⅢ=2(S1+SⅡ)是正确的;
综上所述,正确的有①③.
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
9.因式分解:a3-4a2+4a= a(a-2)2 .
【解析】由题意知,a3-4a2+4a=a(a2-4a+4)=a(a-2)2.
10.若抛物线y=2(x+1)2+a的顶点在直线y=2x上,则a的值为 -2 .
【解析】∵抛物线为y=2(x+1)2+a,
∴顶点为(-1,a).
又∵顶点在直线y=2x上,
∴a=2×(-1),
∴a=-2.
11.一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球.从袋中任意摸出一个球,是白球的概率为,则白球的个数为 4 .
【解析】设白球的个数为n,
依题意,得=,解得n=4,
经检验,n=4是分式方程的解,且符合要求.
12.若关于x的方程x2-4x-c=0有两个不相等的实数根,则c的取值范围为 c>-4 .
【解析】∵关于x的方程x2-4x-c=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=(-4)2-4×1×(-c)=16+4c>0,
解得c>-4.
13.传统服饰日益受到关注,如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙,如图2马面裙可以近似地看作扇环,其中长度为π米,裙长AB为0.6米,圆心角∠AOD=60°,则马面裙的面积为 π 平方米.
【解析】∵圆心角∠AOD=60°,
∴的长为=π(米),
∴OA=1米,
∴OB=OA+AB=1+0.6=1.6(米),
∴马面裙的面积为-=π(平方米).
14.如图,在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(0,3),将△ABO沿直线AB翻折后得到△ABC,若反比例函数y=(x<0)的图象经过点C,则k= - .
【解析】过点C作CD⊥x轴,过点B作BE⊥y轴,与DC的延长线相交于点E,
由翻折得:OA=AC=1,OB=BC=3,∠ACB=∠AOB=90°,
∴∠ACD=90°-∠ECB=∠EBC,
又∵∠E=∠CDA,
∴△ACD∽△CBE,∴==,
设CD=m,则BE=3m,CE=3-m,AD=3m-1,
在Rt△ACD中,由勾股定理得:AD2+CD2=AC2,
即:(3m-1)2+m2=12,解得m1=,m2=0(舍去);
∴CD=,BE=OD=,
∴C(-,)代入y=(x<0)得,k=-×=-.
15.如图1所示,圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断,既美观又实用,彰显出中国元素的韵味.图2是一款拱门的示意图,其中拱门最下端AB=18分米,C为AB的中点,D为拱门最高点,圆心O在线段CD上,CD=27分米,则拱门所在圆半径的长为 15 分米.
【解析】连接AO,
∵CD过圆心,C为AB的中点,
∴CD⊥AB,
∵AB=18分米,∴AC=BC=9分米,
设圆的半径为x分米,则OA=OD=x分米,
∵CD=27分米,
∴OC=(27-x)分米,
在Rt△OAC中,由勾股定理得:AC2+OC2=OA2,
∴92+(27-x)2=x2,∴x=15,
即拱门所在圆的半径是15分米.
16.甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步,先到终点的人原地休息,已知甲先出发3秒,在跑步过程中,甲、乙两人的距离y(米)与乙出发的时间t(秒)之间的关系如图所示,有如下四个结论:
①甲的速度是4米/秒;
②甲从起点到终点共用80秒;
③离开起点后,甲、乙两人第一次相遇时,距离起点60米;
④甲、乙两人相距的最大距离为68米.其中正确结论的序号是 ①③④ .
【解析】由题图可知:甲3秒跑了12米,
∴甲的速度是4米/秒,故①正确;
∴甲跑完全程所用时间为:400÷4=100(秒),故②错误;
由题图知,乙用80秒跑400米,
∴乙的速度为5米/秒,
∴乙追上甲用的时间为12÷(5-4)=12(秒),
∴此时距起点的距离为:12×5=60(米),故③正确;
乙出发80秒时,甲跑的路程是12+80×4=332(米),
此时甲、乙两人相距距离为:400-332=68(米),
∵68>60,
∴甲、乙两人相距的最大距离为68米,
故④正确.
三、解答题(本题共10小题,其中17~22题每小题6分,23、24题每小题8分,25、26题每小题10分,共72分)
17.计算:(-1)2 025+-+|2-|.
【解析】原式=-1+2-3+2-=-.
18.下面是一道例题及其解答过程的一部分,其中M是整式,请写出整式M,并写出完整的解答过程.
例:先化简,再求值:-,其中a=2 025. 解:原式=- ……
(1)整式M=______________;
(2)请写出完整的解答过程.
【解析】(1)根据题意可得:=,
∴M=a.
答案:a
(2)原式=-
=
=
=,
当a=2 025时,
原式==.
19.周末,小颖和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯,其截面如图所示,四边形ABCD是一个菱形内框架,四边形AECF是其外部框架,且点E,B,D,F在同一直线上,BE=DF.
(1)求证:四边形外框AECF是菱形;
(2)若外框AECF的周长为160 cm,EF=64 cm,BE=14 cm,求AB的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA,
∴∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB.
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB,
∴∠ABE=∠CBE=∠CDF=∠ADF.
∵BE=DF,∴△ABE≌△CBE(SAS),
∴AE=CE,
同理:AE=AF,CE=CF,
∴AE=CE=CF=AF,
∴四边形AECF是菱形.
(2)如图,连接AC,交EF于点O,
∵四边形AECF是菱形,周长为160 cm,EF=64 cm,
∴AE=40 cm,OE=OF=32 cm,AC⊥EF,
∴OB=OE-BE=32-14=18(cm),∠AOB=90°,
∴OA===24(cm),
∴AB===30(cm).
20.“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动,也是营造文明城市,做文明市民的重要标准,电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔.某商场欲购进一批头盔,已知购进2个甲型头盔和1个乙型头盔需要125元,购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元.
(1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元
(2)若该商场准备购进50个这两种型号的头盔,总费用不超过2 550元,则最多可购进乙型头盔多少个
【解析】(1)设购进1个甲型头盔需要x元,购进1个乙型头盔需要y元,
根据题意得解得
答:购进1个甲型头盔需要30元,购进1个乙型头盔需要65元.
(2)设购进乙型头盔m个,则购进甲型头盔(50-m)个,
根据题意得:65m+30(50-m)≤2 550,
解得m≤30,∴m的最大值为30.
答:最多可购进乙型头盔30个.
21.如图所示,CD和BA表示前后两幢楼,按照有关规定两幢楼间的间距不得小于楼的高度,即图中AC大于等于CD.小明想测量一下他家所住AB楼与前面CD楼是否符合规定,于是他在AC间的点M处架了测角仪,测得CD楼顶D的仰角为45°,已知AM=4米,测角仪距地面MN=1.5米.
(1)两楼的间距是否符合规定 并说出理由.
(2)为了知道前面CD楼的高度,小明又到家里(点P处),用测角仪再次测得CD楼顶D的仰角为α,若AP=7.5米,sin α=0.6,请计算CD楼的高度.
【解析】(1)如图,过点N作NG⊥DC于点G,
在Rt△DNG中,∵∠DNG=45°,
∴NG=DG,
∵AC=AM+NG,DC=DG+GC,AM=4米,MN=1.5米,
∴AC>DC,
∴两楼的间距符合规定.
(2)如图,延长DP,GN交于点H,GH交AB于点J,
则∠H=α,PJ=AP-MN=7.5-1.5=6(米),
∵sin α=0.6,
∴tan α=,∴HJ==8米,
设NG=DG=x米,则HG=8+4+x=(12+x)米,
∵tan α=,
∴=,
解得x=36,即DG=36米,
∴DC=DG+GC=36+1.5=37.5(米),
∴CD楼的高度为37.5米.
22.2024年3月,全国两会在北京顺利召开,意义非凡.为了解学生对两会精神的知晓程度,某校从八年级A,B两个班中各随机抽查了20名学生进行两会知识测试,分别对学生的测试成绩(满分为100分)进行收集、整理和分析(测试成绩用x表示,x都为整数,结果分为四个类型:x<70为不了解;70≤x<80为比较了解;80≤x<90为了解;90≤x≤100为非常了解).
【收集数据】抽取的A班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为84,86,86,87, 88,89;
抽取的B班学生的测试成绩为66,68,69,81,84,85,86,87,87,87,88,89,95,97,98, 98,98,98,99,100.
【整理数据】A,B两班的数据整理如下:
A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图
B班学生对两会精神知晓程度的条形统计图
【分析数据】A,B两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示:
平均数 中位数 众数 方差
A班 88 a 86 104.8
B班 88 87.5 b 106.1
根据以上信息,解答下列问题:
(1)填空:A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图中,“非常了解”所对应的圆心角度数为_______ ,a=______________,b=______________,请补全条形统计图;
(2)假设该校八年级学生有1 200人,请估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生人数;
(3)从平均数、中位数、众数、方差中,任选一个统计量,解释其在本题中的意义.
【解析】(1)抽取的A班学生对于两会精神“了解”的有6人,
∴×100%=30%,
∴非常了解:100%-30%-15%-10%=45%,
对应圆心角度数:360°×0.45=162°,
中位数a==88.5,
B班成绩中最多的数是98,所以众数b=98,
补全条形统计图如图:
答案:162° 88.5 98
(2)1 200×=450(人).
答:估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生有450人.
(3)从平均数看,A,B两班学生测试成绩的平均水平一样;从中位数看,B班学生测试成绩的中位数低于A班学生测试成绩的中位数,说明A班的整体水平好一些;从众数看,A班学生测试成绩的众数低于B班学生测试成绩的众数,说明B班学生测试成绩的高分集中趋势高一些;从方差看,A班学生测试成绩的方差低于B班学生测试成绩的方差,说明A班学生测试成绩的波动小一些.
23.【综合实践】
如图所示,是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境(杠杆原理:阻力×阻力臂=动力×动力臂,如图1,即FA×L1=FB×L2),受桔槔的启发,小杰组装了如图所示的装置.其中,杠杆可绕支点O在竖直平面内转动,支点O距左端L1=1 m,距右端L2=0.4 m,在杠杆左端悬挂重力为80 N的物体A.
(1)若在杠杆右端挂重物B,杠杆在水平位置平衡时,重物B所受拉力为_______ N.
(2)为了让装置有更多的使用空间,小杰准备调整装置,当重物B的重力变化时,L2的长度随之变化.设重物B的重力为x N,L2的长度为y cm.则:
①y关于x的函数解析式是____________.
②完成下表:
x/N … 10 20 30 40 50 …
y/cm … 8 a 2 b …
a=_______ ;b=_______ .
③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象.
【解析】(1)∵FA×L1=FB×L2,
∴FB===200(N),∴重物B所受拉力为200 N.
答案:200
(2)①∵FA×L1=FB×L2,∴L2=,即y==.
答案:y=(x>0)
②由①得a==4,b==,
答案:4
③函数图象如图所示:
24.图1是龙门出土的第一枚外国金币(公元602-610年铸造)的图片,梁劲同学为找最接近它外接圆的圆心,在其边缘标注了点A,B,C.
(1)请利用直尺(无刻度)和圆规,在图2中画出圆心O(不写作法,保留作图痕迹).
(2)如图3,梁劲同学正确地画出了圆心O,并连接AB,BC,AC,OC和OB,点D是半径OB与AC的交点,BD=OD,过点C作☉O的切线PC,交AB的延长线于点P,量得AB=BC=5 cm.
①求证:OC∥AP;
②在①的条件下,求PC的长.
【解析】(1)如图所示,点O为所求作的圆心.
画法如下:①连接AB,分别以点A,B为圆心,以大于AB的长为半径画弧,分别交于点M,N,作直线MN.②连接BC,分别以点B,C为圆心,以大于BC的长为半径画弧,分别交于点S,T,作直线ST,交直线MN于点O,则点O为所求作的圆心.
(2)①由题意知:AB=BC,
∴=.∵OB是☉O的半径,∴OB⊥AC,∴AD=CD,∠ACB=∠BAC.
∵∠BOC=2∠BAC,∴∠BOC=∠BAC+∠ACB.
∵∠PBC=∠BAC+∠ACB,∴∠PBC=∠BOC.又∵BD=OD,∴AC是OB的垂直平分线,
∴BC=OC,∴BC=OC=OB,∴∠OCB=∠BOC=60°,∴∠PBC=∠OCB,∴OC∥AP.
②由①知:∠PBC=∠OCB=60°,BC=5 cm.
∵PC是☉O的切线,
∴∠OCP=90°.∵OC∥AP,
∴∠APC+∠OCP=180°,
∴∠APC=90°.
在Rt△BPC中,PC=BC·sin ∠PBC,
∴PC=5×sin 60°=(cm).
25.利用以下素材解决问题.
问题驱动 十一假期时,我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动,某小组探究的一座拱桥如图1,图2是其桥拱的示意图,测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离AC=BC=10 m,拱顶离水面的距离CD=5 m.
设计方案 方案一:圆弧型 方案二:抛物线型
任务一 设计成圆弧型,求该圆弧所在圆的半径. 设计成抛物线型,以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立坐标系,求桥拱的函数解析式.
任务二 如图,一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH,测得EF=3.5 m,EH=10 m.请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁.
【解析】任务一:
方案一:
∵AC=BC=10 m,
∴=.
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,AD=BD=AB,直线CD过点O.
∵CD=5 m,
∴CD=AC.
∴∠CAD=30°.
∴∠ACD=90°-∠CAD=60°.
∵OA=OC,
∴△OAC是等边三角形.
∴OA=AC=10 m.
所以该圆弧所在圆的半径为10 m.
方案二:
∵顶点C坐标为(0,5),
∴设桥拱的函数解析式为y=ax2+5.
∵AD=BD==5 m,
∴B(5,0).
代入函数解析式得0=75a+5.
解得a=-.
故函数解析式为y=-x2+5.
任务二:
方案一:
如图,连接OE,设EH交OC于I.
由上知OE=10 m,
∵矩形EFGH中,EH∥FG,
∴OC⊥EH.
∴EI=EH=5 m.
∴OI==5 m.
∵OD=OC=5 m,
∴DI=OI-OD=5-5≈3.66 m>3.5 m.
故货船能顺利通过.
方案二:
如图,∵EI=HI=EH=5 m,
∴点H横坐标为5.
∴y=-×52+5=<3.5.
故货船不能顺利通过.
26.综合与实践
【问题背景】
如图1,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,点E为边BC上一点,沿直线DE将矩形折叠,使点C落在AB边上的点C'处.
【问题解决】
(1)填空:AC'的长为______________ .
(2)如图2,展开后,将△DC'E沿线段AB向右平移,使点C'的对应点与点B重合,得到△D'BE',D'E'与BC交于点F,求线段EF的长.
【拓展探究】
(3)如图1,将△DC'E绕点C'旋转至A,C',E三点共线时,请直接写出CD的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=90°,AB=CD=5,BC=AD=4,
由折叠的性质得:C'D=CD=5,
∴AC'===3.
答案:3
(2)由(1)得:AC'=3,
∴BC'=AB-AC'=2,
由折叠的性质得:C'E=CE,
设BE=x,则C'E=CE=4-x,
在Rt△BEC'中,BE2+BC'2=C'E2,
即x2+22=(4-x)2,解得x=,
即BE=,CE=4-=.连接EE',如图所示:
由平移的性质得:E'E=BC'=2,EE'∥AB∥CD,D'E'∥DE,
∴△FEE'∽△FCD'∽△ECD,
∴===,∴EF=EE'=1.
(3)如图1,当A,E,C'共线时,过点D作DM⊥BC交CB的延长线于点M,
由(2)得:BC'=2,C'E=,∴BE=.
由旋转的性质得:∠DC'B=90°,
∴DC'∥CM,BE∥DM,
∴四边形BC'DM是平行四边形,
∴DM=BC'=2,BM=C'D=5,
∴CM=9,
∴CD==;
如图2,当A,C',E共线时,过点D作DN⊥BC交BC的延长线于点N,则DN=BC'=2,BN=C'D=5,
∴CN=1,
∴CD==.综上所述,CD的长为或.
- 23 -宁夏回族自治区2025年初中学业水平模拟考试
数学试题(五)
一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.在月球表面某天白天的最高温度为零上126 ℃,记作+126 ℃,夜间的最低温度为零下150 ℃,可记作( )
A.-150 ℃ B.-24 ℃ C.+24 ℃ D.+150 ℃
2.下列计算正确的是( )
A.2a·3a=6a B.(-a3)2=a6 C.6a÷2a=3a D.a2+a3=a5
3.共筑冰雪梦,共绘同心圆.第九届亚洲冬季运动会于2025年2月14日晚在哈尔滨圆满闭幕.在过去8天里,来自亚洲34个国家和地区的1 200多名运动员在这里突破自我、展现风采、成就梦想、收获友谊,以高超竞技水平和顽强拼搏精神,书写了亚洲冰雪运动新辉煌.其中数据1 200用科学记数法表示为( )
A.1.2×104 B.12×102 C.0.12×104 D.1.2×103
4.下列语句所描述的事件中,是不可能事件的是( )
A.一岁一枯荣 B.黄河入海流 C.手可摘星辰 D.处处闻啼鸟
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,分别以A,B两点为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于M,N两点,直线MN交AC于点D,交AB于点E,若CD=3,则AC的长度为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
6.如图,已知△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形,相似比为2∶3,则下列说法错误的是( )
A.△BCO∽△B'C'O B.△A'B'C'与△ABC的周长比为2∶3
C.S△A'B'C'∶S△ABC=4∶9 D.OB'∶BB'=3∶2
7.如图,直线y=x+6交坐标轴于点A,B,将△AOB沿x轴负半轴平移4个单位长度得△CDE,则图中阴影部分面积为( )
A.14 B.16 C.18 D.20
8.如图,将正六边形纸片的空白部分剪下,得到三部分图形,记Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ部分的面积分别为S1,SⅡ,SⅢ.给出以下结论:①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形;②Ⅲ中最大的内角是150°;③SⅢ=2(S1+SⅡ).其中正确的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
9.因式分解:a3-4a2+4a= .
10.若抛物线y=2(x+1)2+a的顶点在直线y=2x上,则a的值为 .
11.一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球.从袋中任意摸出一个球,是白球的概率为,则白球的个数为 .
12.若关于x的方程x2-4x-c=0有两个不相等的实数根,则c的取值范围为 .
13.传统服饰日益受到关注,如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙,如图2马面裙可以近似地看作扇环,其中长度为π米,裙长AB为0.6米,圆心角∠AOD=60°,则马面裙的面积为 平方米.
14.如图,在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(0,3),将△ABO沿直线AB翻折后得到△ABC,若反比例函数y=(x<0)的图象经过点C,则k= .
15.如图1所示,圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断,既美观又实用,彰显出中国元素的韵味.图2是一款拱门的示意图,其中拱门最下端AB=18分米,C为AB的中点,D为拱门最高点,圆心O在线段CD上,CD=27分米,则拱门所在圆半径的长为 分米.
16.甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步,先到终点的人原地休息,已知甲先出发3秒,在跑步过程中,甲、乙两人的距离y(米)与乙出发的时间t(秒)之间的关系如图所示,有如下四个结论:
①甲的速度是4米/秒;
②甲从起点到终点共用80秒;
③离开起点后,甲、乙两人第一次相遇时,距离起点60米;
④甲、乙两人相距的最大距离为68米.其中正确结论的序号是 .
三、解答题(本题共10小题,其中17~22题每小题6分,23、24题每小题8分,25、26题每小题10分,共72分)
17.计算:(-1)2 025+-+|2-|.
18.下面是一道例题及其解答过程的一部分,其中M是整式,请写出整式M,并写出完整的解答过程.
例:先化简,再求值:-,其中a=2 025. 解:原式=- ……
(1)整式M=______________;
(2)请写出完整的解答过程.
19.周末,小颖和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯,其截面如图所示,四边形ABCD是一个菱形内框架,四边形AECF是其外部框架,且点E,B,D,F在同一直线上,BE=DF.
(1)求证:四边形外框AECF是菱形;
(2)若外框AECF的周长为160 cm,EF=64 cm,BE=14 cm,求AB的长.
20.“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动,也是营造文明城市,做文明市民的重要标准,电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔.某商场欲购进一批头盔,已知购进2个甲型头盔和1个乙型头盔需要125元,购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元.
(1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元
(2)若该商场准备购进50个这两种型号的头盔,总费用不超过2 550元,则最多可购进乙型头盔多少个
21.如图所示,CD和BA表示前后两幢楼,按照有关规定两幢楼间的间距不得小于楼的高度,即图中AC大于等于CD.小明想测量一下他家所住AB楼与前面CD楼是否符合规定,于是他在AC间的点M处架了测角仪,测得CD楼顶D的仰角为45°,已知AM=4米,测角仪距地面MN=1.5米.
(1)两楼的间距是否符合规定 并说出理由.
(2)为了知道前面CD楼的高度,小明又到家里(点P处),用测角仪再次测得CD楼顶D的仰角为α,若AP=7.5米,sin α=0.6,请计算CD楼的高度.
22.2024年3月,全国两会在北京顺利召开,意义非凡.为了解学生对两会精神的知晓程度,某校从八年级A,B两个班中各随机抽查了20名学生进行两会知识测试,分别对学生的测试成绩(满分为100分)进行收集、整理和分析(测试成绩用x表示,x都为整数,结果分为四个类型:x<70为不了解;70≤x<80为比较了解;80≤x<90为了解;90≤x≤100为非常了解).
【收集数据】抽取的A班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为84,86,86,87, 88,89;
抽取的B班学生的测试成绩为66,68,69,81,84,85,86,87,87,87,88,89,95,97,98, 98,98,98,99,100.
【整理数据】A,B两班的数据整理如下:
A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图
B班学生对两会精神知晓程度的条形统计图
【分析数据】A,B两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示:
平均数 中位数 众数 方差
A班 88 a 86 104.8
B班 88 87.5 b 106.1
根据以上信息,解答下列问题:
(1)填空:A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图中,“非常了解”所对应的圆心角度数为_______ ,a=______________,b=______________,请补全条形统计图;
(2)假设该校八年级学生有1 200人,请估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生人数;
(3)从平均数、中位数、众数、方差中,任选一个统计量,解释其在本题中的意义.
(2)1 200×=450(人).
23.【综合实践】
如图所示,是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境(杠杆原理:阻力×阻力臂=动力×动力臂,如图1,即FA×L1=FB×L2),受桔槔的启发,小杰组装了如图所示的装置.其中,杠杆可绕支点O在竖直平面内转动,支点O距左端L1=1 m,距右端L2=0.4 m,在杠杆左端悬挂重力为80 N的物体A.
(1)若在杠杆右端挂重物B,杠杆在水平位置平衡时,重物B所受拉力为_______ N.
(2)为了让装置有更多的使用空间,小杰准备调整装置,当重物B的重力变化时,L2的长度随之变化.设重物B的重力为x N,L2的长度为y cm.则:
①y关于x的函数解析式是____________.
②完成下表:
x/N … 10 20 30 40 50 …
y/cm … 8 a 2 b …
a=_______ ;b=_______ .
③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象.
24.图1是龙门出土的第一枚外国金币(公元602-610年铸造)的图片,梁劲同学为找最接近它外接圆的圆心,在其边缘标注了点A,B,C.
(1)请利用直尺(无刻度)和圆规,在图2中画出圆心O(不写作法,保留作图痕迹).
(2)如图3,梁劲同学正确地画出了圆心O,并连接AB,BC,AC,OC和OB,点D是半径OB与AC的交点,BD=OD,过点C作☉O的切线PC,交AB的延长线于点P,量得AB=BC=5 cm.
①求证:OC∥AP;
②在①的条件下,求PC的长.
25.利用以下素材解决问题.
问题驱动 十一假期时,我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动,某小组探究的一座拱桥如图1,图2是其桥拱的示意图,测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离AC=BC=10 m,拱顶离水面的距离CD=5 m.
设计方案 方案一:圆弧型 方案二:抛物线型
任务一 设计成圆弧型,求该圆弧所在圆的半径. 设计成抛物线型,以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立坐标系,求桥拱的函数解析式.
任务二 如图,一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH,测得EF=3.5 m,EH=10 m.请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁.
26.综合与实践
【问题背景】
如图1,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,点E为边BC上一点,沿直线DE将矩形折叠,使点C落在AB边上的点C'处.
【问题解决】
(1)填空:AC'的长为______________ .
(2)如图2,展开后,将△DC'E沿线段AB向右平移,使点C'的对应点与点B重合,得到△D'BE',D'E'与BC交于点F,求线段EF的长.
【拓展探究】
(3)如图1,将△DC'E绕点C'旋转至A,C',E三点共线时,请直接写出CD的长.
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