红旗中学2023-2024学年七年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列四个图形依次是北京、云南、辽宁、福建四个省市的图案字体，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为0.0000084m，用科学记数法表示0.0000084＝8.4×10n，则n为（ ）
A．﹣5 B．﹣6 C．5 D．6
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．（2a2）3＝6a6
C．a6÷a2＝a3 D．a3 a2＝a5
4．（3分）已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则这个三角形第三边的长可能是（ ）
A．5cm B．6cm C．11cm D．13cm
5．（3分）如图，BC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（ ）
A．AC＝AD B．∠ABC＝∠ABD C．∠CAB＝∠DAB D．∠C＝∠D＝90°
6．（3分）如图，AB∥CD，点E在BC上，若∠1＝50°，∠2＝30°，则∠3的度数是（ ）
A．30° B．50° C．100° D．80°
7．（3分）朱师傅从家骑单车到学校，当他骑行一段时间后，想到去商店买材料，于是又折回到刚刚经过的商店，购买完材料后朱师傅继续骑行前往学校．以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中的信息回答下列问题．下列说法错误的是（ ）
A．朱师傅家到学校的路程是 1600 米
B．朱师傅在商店停留了 4 分钟
C．本次上学途中，朱师傅一共行驶了 2280 米
D．若骑单车的速度大于 300 米/分就有安全隐患，在整个去学校的途中，朱 师傅骑车有 6 分钟的超速骑行，存在安全隐患．
8．（3分）如图，BD为△ABC的中线，AE为△ABD的中线，AF为△AEC的中线，若△AEF的面积为4cm2，则△ABC的面积为（ ）
A．8cm2 B．12cm2 C．16cm2 D．18cm2
9．（3分）如图，已知点D在∠CAB的边AC上，若PA＝12，∠CAB＝60°，由作图痕迹，可得PD的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．6 D．12
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值（ ）
A．2.4 B．4 C．5 D．4.8
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知∠a＝72°，则它的补角是 °．
12．（3分）如图，△ABD≌△CBD，若∠A＝70°，∠ABD＝45°，则∠BDC的度数为 度．
13．（3分）如图，已知△ABC中，AE是∠CAB的角平分线，AD是BC边上的高，∠B＝30°，∠C＝68°，则么∠EAD的度数为 ．
14．（3分）如果x2﹣2（k﹣3）x+16是一个完全平方式，那么k＝ ．
15．（3分）如图，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平面镜可以改变光路，此时∠ABE＝∠FBG．当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝52°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝ °．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：
（1）（﹣3）2﹣|﹣2|﹣20210+2﹣1；
（2）（2+1）（22+1）（24+1）+1．（用简便算法）
17．（8分）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，B，E，C，F在同一条直线上，且BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．
18．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＞BC
（1）求作边AB的垂直平分线，交AC于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BD＝BC，求∠A的大小．
19．（9分）先化简，再求值：（a+3b）（a﹣3b）+（a+3b）2﹣4a（a+b），其中a＝1，．
20．（9分）如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示：
碗的数量（只） 1 2 3 4 5 …
这摞碗的高度（cm） 4 5.2 6.4 7.6 8.8 …
（1）上述两个变量中，哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）用h（cm）表示这摞碗的高度，用x（只）表示这摞碗的数量，请写出h与x之间的函数关系式．
（3）若这摞碗的数量为7只，求这摞碗的高度．
21．（9分）如图，正方形ABCD是由两个小正方形和两个小长方形组成的，根据图形解答下列问题：
（1）用两种不同的方法可以表示正方形ABCD的面积，写成一个等式为；
（2）运用（1）中的等式，解决以下问题：
①已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；
②已知x﹣y+z＝11，（x﹣y）z＝9，求（x﹣y）2+z2的值．
22．（12分）综合与实践：折纸中的数学
【问题提出】在前面的学习中我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？
【知识初探】（1）王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在纸上画出一条直线BC，在BC外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点C′落在直线BC上（如图2），记折痕DE与BC的交点为A，将纸片展开铺平．则∠PAB＝ °；
②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E′落在直线DP上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，PF就是BC的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明；
【拓展延伸】（2）李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图5，在线段AP上任取一点M，连接FM、BM，请你猜想∠ABM、∠PFM与∠BMF这三个角之间的数量关系，并说明理由．
23．（12分）综合与实践：
（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
①∠AEB的度数为 ；（直接写出）
②线段AD，BE之间的数量关系为 ．（直接写出）
（2）类比探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
①∠AEB的度数为 ；（直接写出）
②证明：线段CM，AE，BE之间的数量关系；（详细过程）
（3）拓展延伸；在（2）的条件下，若BE＝4，CM＝3，求四边形ABEC的面积．（详细过程）
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D B C D C C C D
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A．是轴对称图形，故本选项正确；
B．不是轴对称图形，故本选项错误；
C．不是轴对称图形，故本选项错误；
D．不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．解：0.0000084＝8.4×10﹣6，
则n为﹣6．
故选：B．
3．解：选项A：a3与a2不是同类项，不能相加，故选项A不符合题意；
选项B：（2a2）3＝8a6，故选项B不符合题意；
选项C：a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故选项C不符合题意；
选项D：a3 a2＝a3+2＝a5，故选项D符合题意．
故选：D．
4．解：设第三边长为x cm，
则由三角形三边关系定理得8﹣3＜x＜8+3，即5＜x＜11．
因此，本题的第三边应满足5＜x＜11，把各项代入不等式符合的即为答案．
4，11，13都不符合不等式5＜x＜11，只有6符合不等式，故答案为6cm．
故选：B．
5．解：A、添加AC＝AD，根据SSS，能判定△ABC≌△ABD，故A选项不符合题意；
B、添加∠ABC＝∠ABD，根据SAS，能判定△ABC≌△ABD，故B选项不符合题意；
C、添加∠CAB＝∠DAB，SSA不能判定△ABC≌△ABD，故C选项符合题意；
D、添加∠C＝∠D＝90°时，根据HL，能判定Rt△ABC≌Rt△ABD，故D选项不符合题意；
故选：C．
6．解：∵AB∥CD，点E在BC上，若∠1＝50°，
∴∠C＝∠1＝50°，
∵∠2＝30°，
∴∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠2＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∴∠3＝180°﹣∠DEC＝180°﹣100°＝80°．
故选：D．
7．解：A、根据图象可得，朱师傅家到学校的路程是1600米，故本选项不合题意；
B、根据题意，朱师傅在商店停留了10﹣6＝4（分钟）；故本选项不合题意；
C、一共行驶的总路程＝960+（960﹣320）+（1600﹣320）＝960+640+1280＝2880（米）；故本选项符合题意；
D、由图象可知：0～4分钟时，平均速度240（米/分），
4～6分钟时，平均速度320（米/分），
10～14分钟时，平均速度320（米/分），
所以朱师傅骑车有6分钟的超速骑行，存在安全隐患．故本选项不合题意；
故选：C．
8．解：∵AF为△AEC的中线，△AEF的面积为4cm2，
∴S△ACE＝8cm2，
∵AE为△ABD的中线，
∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE，
∴S△ACE，
∴S△ABC＝2S△ACE＝16cm2，
故选：C．
9．解：由作图痕迹得AP平分∠BAC，
∴∠CAP∠CAB60°＝30°，
过P点作PH⊥AC于H点，如图，
∴PHPA＝6，
∴PD的最小值是6．
故选：C．
10．解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C作CH⊥AB于点H．
∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q'关于AD对称，
∴点Q′在AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH．
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，S△ABC AC BC AB CH，
∴CH＝4.8，
∴CP+PQ≥4.8，
∴PC+PQ的最小值为4.8．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：∵∠a＝72°，
∴它的补角是180°﹣72°＝108°．
故答案为：108．
12．解：∵△ABD≌△CBD，
∴∠C＝∠A＝70°，∠ABD＝∠ABD＝45°，
∴∠CBD＝∠ABD＝45°，
在△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣70°﹣45°＝65°．
故答案为：65．
13．解：在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝68°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣68°＝82°，
∵AE是∠CAB的角平分线，
∴∠CAE∠CAB82°＝41°．
∵AD是BC边上的高，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣68°＝22°，
∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝41°﹣22°＝19°．
故答案为：19°．
14．解：∵x2﹣2（k﹣3）x+16是一个完全平方式，
∴﹣2（k﹣3）＝±8，
解得：k＝7或﹣1，
故答案为：7或﹣1．
15．解：∵BM⊥CD，
∴∠CBM＝90°，
∵∠ABC＝52°，
∴∠ABE+∠FBM＝180°﹣90°﹣52°＝38°
∵∠ABE＝∠FBM，
∴∠ABE＝∠FBM＝19°，
∴∠EBC＝19°+52°＝71°．
故答案为：71．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）原式＝9﹣2﹣1
＝6；
（2）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）+1
＝28﹣1+1
＝256．
17．证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
18．解：（1）如图所示，DE即为所求；
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，∠BDC＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BDC＝∠A+∠DBA＝2∠A，
∴∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴5∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
19．解：原式＝a2﹣9b2+a2+9b2+6ab﹣4a2﹣4ab
＝2ab﹣2a2，
当时，
原式．
20．解：（1）通过表格所列举的变量可知，碗的高度随着碗的数量变化而变化，则碗的数量是自变量，高度是因变量；
（2）由表格可知，每增加一只碗，高度增加1.2cm，
∴h＝4+1.2（x﹣1）＝1.2x+2.8，
∴h＝1.2x+2.8；
（3）∵h＝1.2x+2.8，
∴当x＝7时，h＝1.2×7+2.8＝11.2，
∴这摞碗的高度为11.2cm．
21．解：（1）正方形的面积为（a+b）2或a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（2）①∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∵a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣6＝19；
②∵（x﹣y）2+z2＝（x﹣y+z）2﹣2（x﹣y）z，
∵x+z﹣y＝11，（x﹣y）z＝9，
∴（x﹣y）2+z2＝（x﹣y+z）2﹣2（x﹣y）z＝121﹣18＝103．
22．解：（1）①由题意可知，点C、A、C′、B共线，
∴∠PAC+∠PAC′＝180°，
由折叠的性质可知，∠PAC＝∠PAC′，
∴∠PAC′＝90°，即∠PAB＝90°，
故答案为：90；
②王玲的说法正确，证明如下：
由①得：∠PAB＝90°，
同①理可得，∠FPA＝90°，
∴∠PAB+∠FPA＝180°，
∴PF∥BC；
（2）如图，过点M作MN∥BC，
∴∠ABM＝∠BMN，
∵PF∥BC，
∴PF∥MN，
∴∠PFM＝∠FMN，
∴∠BMF＝∠BMN+∠FMN＝∠ABM+∠PFM．
23．解：（1）∠AEB＝60°，AD＝BE，理由如下：
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC＝∠BEC．AD＝BE，
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°．
∴∠BEC＝120°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．
（2）猜想：①∠AEB＝90°，②AE＝BE+2CM．理由如下：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°．
∴∠BEC＝135°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME．
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM．
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
故答案为：90°，AE＝BE+2CM；
（3）由（2）得：∠AEB＝90°，AD＝BE＝4，
∵△DCE均为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，
∴CM⊥AE，DE＝2CM＝6，
∴AE＝AD+DE＝4+6＝10，
∴四边形ABEC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积AE×CMAE×BE10×310×4＝35；
故答案为：35．
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