2024-2025学年辽宁省七校协作体高二下学期3月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线，则其焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
2.如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
3.“”是“方程表示椭圆”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，则方程与在同一坐标系内的图形可能是( )
A. B.
C. D.
5.若函数有两个零点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.小梁同学将个完全相同的球放入个不同的盒子中有种放法，小郅同学将个完全不同的球放入个相同的盒子中有种放法若每个盒子中至少有一个球，则 ．
A. B. C. D.
7.如图，直三棱柱的所有棱长均相等，是侧面内一点，若点到平面的距离，则点的轨迹是( )
A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分
8.设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：和直线：，下列说法正确的是( )
A. 始终过定点 B. 若，则或
C. 当时，与的距离为 D. 若不经过第三象限，则
10.已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则( )
A. 弦有最小值为 B. 有最小值为
C. 面积的最大值为 D. 的最大值为
11.已知正方体棱长为，为棱中心，为正方形上的动点，则( )
A. 满足平面的点的轨迹长度为
B. 满足的点的轨迹长度为
C. 存在点，使得平面经过点
D. 存在点满足
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________．
13.已知直线经过点，且被圆截得的弦长为，则直线的方程是 ．
14.已知双曲线方程为，焦距为，左右焦点分别为，，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在二项式的展开式中，第项和第项的系数比为．
求的值及展开式中的常数项是第几项；
展开式中系数最大的项是第几项？
16.本小题分
已知点，，是以为底边的等腰三角形，点在直线上．
求边上的高所在直线的方程求的面积．
17.本小题分
如图，正方体的棱长为，点为的中点．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上不与点，重合．
求证：平面平面．
求二面角的平面角的余弦值．
直线能与平面垂直吗若能，求出的值若不能，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且．
求椭圆的方程；
点，在椭圆上，为坐标原点，且直线，的斜率之积为，求证：为定值；
直线过点且与椭圆交于，两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：二项式展开式的通项公式为．
因为第项和第项的系数比为，所以，
化简得，解得，所以．
令，得，所以常数项为第项．
设展开式中系数最大的项是第项，则
解得．
因为，所以或，所以展开式中系数最大的项是第项和第项．
16.解析由题意可知，为的中点， ，
所以，，所以所在直线的方程为，即．
联立得解得
所以．
因为，，且由知，
所以，
，
所以．
17.解：如图以点为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
所以，
所以．
设平面的一个法向量为，
又，，
则
令，则，
又，则，
所以直线与平面的正弦值为．
点到平面的距离为，
所以点到平面的距离为．
18.解：因为平面，所以，，又，
则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，且，，平面，所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
解：由知是平面的一个法向量，，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令，则，，所以，
所以，
又由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的平面角的余弦值为；
由得，，，，
设，则，可得，
所以，
由知是平面的一个法向量，
若平面，可得，则，该方程无解，
所以直线不能与平面垂直．
19.解：因为点在椭圆上且，所以，；
将点代入椭圆得，解得，
椭圆的方程为．
设直线：，联立方程组，得，
所以，
又直线：，类似的可得
故而，为定值；
当直线与轴不垂直时，设：，设，，，
由得
又，
令得，此时，
当与轴垂直时，：，，，又，有，
综上，，．
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