2023-2024学年上海市浦东新区新川中学高一（下）期中数学试卷
一、填空题（每小题3分，共36分）
1．将角度换算成弧度， 弧度．
2．在直角坐标系中，是第 象限角．
3．函数的最小正周期为是 ．
4．满足的所有的集合为 ．
5．在△中，，，是△的三边且满足，则角的大小为 ．
6．已知角的终边经过点，则 ．
7．已知扇形的周长为6，则面积，该扇形的圆心角大小为 弧度．
8．在锐角△中，，，分别为△三内角、、的对边，若，则的取值范围是 ．
9．已知函数，，，则它的单调递增区间为 ．
10．定义在区间，上的函数的图象与的图象的交点个数是 ．
11．已知，，分别为△三内角的对边，且，若，角的平分线，则△的面积为 ．
12．已知，存在实数，使得对任意，总成立，则的最小值是 ．
二、选择题（每小题3分，共12分）
13．在△中，“△是钝角三角形”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．下列四个函数中，定义域为且为奇函数的是
A． B． C． D．
15．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
16．已知，若存在正整数，使函数在区间内有2023个零点，则实数所有可能的值为
A．1 B． C．0 D．1或
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）
17．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若角满足，求的值．
18．将函数的图像向右平移个单位，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数的图像．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在，上恰有两个零点，求实数的取值范围．
19．在中，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长．
20．某公园要建造如图所示的绿地，、为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏与的总长度为12米，且．设．
（1）当，时，求的长；（结果精确到0.1米）
（2）当时，求面积的最大值及此时的值．
21．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求方程的解集；
（3）若对任意的，使得，，恒成立，求实数、、的值．
参考答案
一．选择题（共4小题）
题号 13 14 15 16
答案 B B C B
一、填空题（每小题3分，共36分）
1．将角度换算成弧度， 弧度．
解：由题意可得：，即弧度．
故答案为：．
2．在直角坐标系中，是第 三 象限角．
解：因为，即与的终边相同，
且，可知为第三象限角，
所以为第三象限角．
故答案为：三．
3．函数的最小正周期为是 ．
解：由正弦函数的周期公式得，
函数的最小正周期为：．
故答案为：．
4．满足的所有的集合为 ．
解：因为，
可得，
所以所有的集合为．
故答案为：．
5．在△中，，，是△的三边且满足，则角的大小为 ．
解：由，可得，
结合余弦定理，可得，
因为△中，，所以．
故答案为：．
6．已知角的终边经过点，则 ．
解：由于角的终边经过点，所以，，
所以．
故答案为：．
7．已知扇形的周长为6，则面积，该扇形的圆心角大小为 2 弧度．
解：设扇形的半径为，圆心角为，
由题意可得，
解得，
所以该扇形的圆心角大小为2弧度．
故答案为：2．
8．在锐角△中，，，分别为△三内角、、的对边，若，则的取值范围是 ， ．
解：根据△为锐角三角形，可得，解得．
由正弦定理，可得，
根据角，，得，，所以．
综上所述，边的取值范围是．
故答案为：，．
9．已知函数，，，则它的单调递增区间为 ， ．
解：令，解得，
令，则，
因此，函数的单调递增区间为．
故答案为：．
10．定义在区间，上的函数的图象与的图象的交点个数是 7 ．
解：法1：画出函数与在区间，上的图象如下：
由图可知，共7个交点．
法2：依题意，，即，故或，
因为，，故，，，，，，，共7个，
故答案为：7．
11．已知，，分别为△三内角的对边，且，若，角的平分线，则△的面积为 ．
解：因为，
可得，
又因为，
可得，
整理可得，
且，则，可得，整理可得，
且，则，可得，即，
如图，设，则，
在△中，由正弦定理可得，
即，解得，
且为锐角，可得，即，
可知，则，
所以△的面积为．
故答案为：．
12．已知，存在实数，使得对任意，总成立，则的最小值是 ．
解：作出单位圆如图所示，
由题意知：的终边需落在图中阴影部分区域，
，即，
对任意总成立，
，即，
又，，2，3，4，5，6，7，
．
故答案为：．
二、选择题（每小题3分，共12分）
13．在△中，“△是钝角三角形”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：若△是钝角三角形，但不能确定那个角为钝角，故不能推出，
例如，可知△是钝角三角形，
但，即充分性不成立；
若，且，
可知角为钝角，所以△是钝角三角形，即必要性成立；
综上所述：“△是钝角三角形”是“”的必要不充分条件．
故选：．
14．下列四个函数中，定义域为且为奇函数的是
A． B． C． D．
解：根据题意，由三角函数可知：，的定义域均为，
则的定义域也是，
而，其定义域为，不为，故错误；
且为偶函数，为奇函数，可知为非奇非偶函数，
故错误，正确．
故选：．
15．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
解：将函数，向左平移个单位长度，可得，即．
故选：．
16．已知，若存在正整数，使函数在区间内有2023个零点，则实数所有可能的值为
A．1 B． C．0 D．1或
解：，令，，则，
当时，在半个周期内必有偶数个解，即在内必有偶数个解，不合题意，
则一定有解1或，
当其中一解为1时，易知另一解为，此时在内共有1个零点，在内共有2个零点，
一个周期内共有3个零点，
又，则当是满足题意，此时满足题意；
当其中一解为时，易知另一解为，此时内共有2个零点，在内共有1个零点，
一个周期内共有3个零点，
又，则此时不存在正整数满足题意．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）
17．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若角满足，求的值．
解：（Ⅰ）角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，．
，，，
；
（Ⅱ）由，，，
得，，
又由，
得，
则，
或．
的值为或．
18．将函数的图像向右平移个单位，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数的图像．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在，上恰有两个零点，求实数的取值范围．
解：（1）函数的图像向右平移个单位，得到函数的图象，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数的图像．
（2）由于，，故，由于函数在，上恰有两个零点，
故，解得，
故实数的取值范围为．
19．在中，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长．
解：（Ⅰ），
，
又，，
，，
；
（Ⅱ）的面积为，
，
又，，
，
，
又，
，
，
，
的周长为．
20．某公园要建造如图所示的绿地，、为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏与的总长度为12米，且．设．
（1）当，时，求的长；（结果精确到0.1米）
（2）当时，求面积的最大值及此时的值．
解：（1）连接，在中，，，，
由余弦定理可得，
故；
（2）连接，由题意，，
在中，由正弦定理得，得，
于是
，，
当时，即时，取最大值．
因此当时，面积的最大值为．
21．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求方程的解集；
（3）若对任意的，使得，，恒成立，求实数、、的值．
解：（1）由题意可得：，
令，解得，
令，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）令，即，
则或，
解得或，
所以方程的解集为；
（3）因为，
可知，，
若，，即，可知；
若，，即，
且，可知；
若，，即，
且，可知；
若，，即，
且，可知；
综上所述：或或或．
