河北省部分重点高中 2025 年高考数学诊断试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { 1,0,1,2}， = { ∈ | < 4}， = ∪ ，则 ( ∩ ) =( )
A. {3} B. { 1,3} C. {0,1,2} D. { 1,0,1,2,3}
2.若 = 1 ，则 =( )
1
A. 1 B. 1+ C. 1 D. 1 +
1 1
3.已知cos( + ) = ，cos( ) = ，则 =( )
9 3
1 2 1 2
A. B. C. D.
9 9 9 9
1
4.已知正三角形 的边长为2，点 满足 = ( )，则 =( )
2
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
5.在一组数据中，2，4，6出现的频率分别为0.3，0.4，0.3，则这组数据的方差为( )
A. 2 B. 2.4 C. 3 D. 4
1 1
6.函数 ( ) = sin( + )在( , 10)上的零点个数为( )
10
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
1
7.已知函数 ( )的定义域为 ， ( ) ≥ [ ( + 1) + ( 1)]，且当 ≤ 0时， ( ) = ，则当 > 0时， ( )
2
的解析式可以是( )
A. ( ) = ln( + 1) B. ( ) = 2 C. ( ) = 1 D. ( ) = 2
8.象牙镂雕套球又称“同心球”，制作相当繁复，工艺要求极高.据《格古要
论》记载，早在宋代就已出现3层套球，时称“鬼工球”.某象牙镂雕套球的
直径为12 ，其表面的圆形孔的直径均为4 ，记其中两个圆形孔的圆心为
1， 2，如图所示，若 1 2 = 6 ，则圆 1与圆 2所在平面的夹角的正弦
值为( )
5
A.
16
7
B.
16
3√ 23
C.
16
5√ 3
D.
16
第 1 页，共 8 页
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1
+ 2, < 0, 1
9.已知函数 ( ) = , = 0, 下列命题正确的是( )
1
{ + , > 0, +1
A. 若 ( )是奇函数，则 = 2
B. 若 ( )是奇函数，则 = 0
C. 若 ( )是减函数，则 的取值范围为( ∞, 1]
D. 若 ( )是减函数，则 的取值范围为( ∞, 2]
10.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ， 是抛物线 上异于 的一点，过点 作
⊥ 于点 ，下列结论正确的是( )
A. 线段 的垂直平分线经过点
B. 过点 且与抛物线 相切的直线垂直平分线段
C. 直线 与直线 可能垂直
D. 若△ 是直角三角形，则直线 的斜率为±2
11.某校篮球社团准备招收新成员，要求通过考核才能加入，考核规则如下：报名参加该社团的学生投篮 次，
若投中次数不低于投篮次数的50%，则通过考核.学生甲准备参加该社团，且他的投篮命中率为0.9，每次是
否投中相互独立.若 = 3，记甲通过考核的概率为 1，若 = 20，记甲通过考核的概率为 2，若 = 21，记
甲通过考核的概率为 3，若 = 19，记甲通过考核的概率为 4，若 = 22，记甲通过考核的概率为 5，则( )
A. 1 = 0.972 B. 2 < 3 C. 2 < 4 D. 2 < 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在等差数列{ }中， 4 + 5 = 6，则 1 + 2 + 3 + + 8 = ______．
13.已知 ， ， 均为实数，若 3 + 2 + + > 0的解集是{ | > 且 ≠ + 1}，则函数 ( ) = 3 + 2 +
+ 的极大值为______．
14.台球是球类运动项目之一，是运动员在台球桌上，用一根长的球杆，按照一
定的规则，通过击打白色主球，使目标球入袋的一项体育休闲项目.如图，三角
架内有15个大小相同的球，且球与球，球与三角架均相切.若三角架为边长是
34.2 的等边三角形，则球的半径为______ . (取√ 3 = 1.7)
四、解答题：本题共 4 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第 2 页，共 8 页
15.(本小题13分)
如图，在平面四边形 中， ⊥ ， 为线段 的中点， = = 2，∠ = ．
3
2
(1)若∠ = ，求△ 的面积；
3
(2)若 = 2√ 2，求 ．
16.(本小题15分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右顶点分别为 1( 1,0)， 2(1,0)，离心率为2．
(1)求双曲线 的方程；
(2) 为坐标原点，过点 ( 2,0)且斜率不为0的直线 交双曲线 于 ， 两点(点 在第一象限，点 在第二象
限)，直线 交双曲线 于点 ，证明： 1 ⊥ 2 .
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， // ， ⊥ ， ⊥ ， = = 2 = 2．
(1)证明：△ 是等腰三角形．
(2)若平面 ⊥平面 ，求点 到平面 的距离．
18.(本小题17分)
2
已知函数 ( ) = √ 2 + 4 + (1 2 2) + ．
(1)若 = 2，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)若 > 0， ∈ (0,+∞)， ( ) > 0，求 的取值范围；
(3)若 ( )的定义域为 ， ∈ ， ( ) ≥ 0，求 的取值集合．
第 3 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】24
4
13.【答案】
27
14.【答案】3
15.【答案】解：(1)过点 作 ⊥ ，垂足为 ，
由 ⊥ ，得 // ，
2
在四边形 中，由∠ = ,∠ = ，得 // ，
3 3
所以四边形 是平行四边形，
4√ 3 1 2√ 3
所以 = = 2， = = , = = ，
sin 3 2 3
3
所以△ 的面积为 1 1 2√ 3 √ 3 = sin∠ = × 2 × × = 1；
2 2 3 2
(2)连接 ，
第 4 页，共 8 页
因为 = = 2， ⊥ ，
所以 = 2√ 2, ∠ = ，
4
在△ 中，由 = = 2√ 2，得∠ = ∠ = ， 3
所以△ 为等边三角形， = = 2√ 2，
1 7
= = √ 2，∠ = ∠ + ∠ = ，
2 12
在△ 中，由余弦定理，
可得 = √ 2 + 2 2 ∠
√ √ 6 √ 2= 4 + 2 + 2 × 2 × √ 2 × = √ 3 + 1．
4
2 2
16.【答案】解：(1)由双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右顶点分别为 1( 1,0)， 2(1,0)，离心率
为2．
可得 = 1， = = 2，又 2 = 2 + 2，所以 = 2， 2 = 3，
2
所以双曲线 的方程为 2 = 1．
3
√ 3
(2)证明：设直线 ： = 2( > )，点 ( 1, 1)， ( 3 2, 2)，
则 ( 2, 2).
= 2
联立{ 2 ，得(3 2 1) 22 12 + 9 = 0， = 1
3
12 9
1 + 2 = 2 , = ． 3 1 1 2 3 2 1
1 = ( 2 + 1, 2), 2 = ( 1 1, 1)，
则 1 2 = ( 2 + 1)( 1 1) 1 2，
= ( 2 + 2+ 1)( 1 2 1) 1 2 = (
2 + 1) 1 2 + 3 ( 1 + 2) 9，
2 9 12 = ( + 1) 2 + 3 2 9 = 0， 3 1 3 1
所以 1 ⊥ 2 .
第 5 页，共 8 页
17.【答案】(1)证明：设 为 的中点，连接 ， ，
因为 = = 2， = = 1，∠ = ∠ = 90°，
所以 △ ≌ △ ，所以∠ = ∠ ，
∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90°，即 ⊥ ，
又 ⊥ ， ， 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， ⊥ ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ， 平面 ， ∩ = ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
在△ 中， ⊥ ， 为 的中点，
所以 = ，即△ 是等腰三角形；
(2)解：建立如图所示以 为坐标原点， 所在直线为 轴，
过 与 平行的直线为 轴， 所在直线为 轴的空间直角坐标系，
设 = ( > 0)，则 (0,0, )， (1,0,0)， (1,2,0)， ( 1,1,0)，
= (2,1,0)， = (1,2, )， = (0,2,0)，
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，
= 1 + 2 1 1 = 0,则有{ 取 = ，则 = ( , 0,1)，
1
= 2 1 = 0,
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
= + 2 = 0,
则有{ 2 2 2 取 2 = ，则 = ( , 2 , 3)，
= 2 2 + 2 = 0,
因为平面 ⊥平面 ，
所以 = 2 + 3 = 0，解得 = √ 3( = √ 3舍去)，
所以 (0,0,√ 3)， = 2， = 2√ 2，
所以 = 2 = ， = 2√ 2，所以 2 = 2 + 2，
所以 ⊥ ，所以△ 是等腰直角三角形，
取 的中点 ，连接 ，则 ⊥ ，
又因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
第 6 页，共 8 页
所以 ⊥平面 ，
所以 的长为点 到平面 的距离，
因为 = = √ 2，所以点 到平面 的距离为√ 2．
2
4
18.【答案】解：(1)当 = 2时，函数 ( ) = √ 2 + 8 7 + , (1) = 0．
4 32
导函数 ′( ) = 7 , ′(1) = ．
√ 2+8 2 3
32
因此 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 = ( 1)，
3
所以32 + 3 32 = 0．
2
(2)函数 ( ) > 0，所以√ 2 + 4 > (2 2 1) ．
√ 2 2
①当0 < ≤ 时，(2 2 1) < 0，原不等式恒成立．
2
√ 2 2 2 (2
2 1) 2+2
②当 > 时，令 ( ) = (2 1) , ′( ) = 2 > 0， 2
因此函数 ( )在(0,+∞)上单调递增．
2
令 ( ) = 0，解得 = √ 2 ． 2 1
2
当 ≤ √ 2 时，函数 ( ) ≤ 0，原不等式恒成立． 2 1
2 2
当 > √ 2 时，函数 ( ) > 0，原不等式等价于(√
2 + 4 )2 > [(2 2 1) ]2，
2 1
可得( 2 1) 4 2 2 + 1 < 0．
令 ( ) = ( 2 1) 4 2 2 + 1，导函数 ′( ) = 4( 2 1) 3 4 = 4 [( 2 1) 2 ]．
如果 = 1，那么当 > √ 2时， 2 2 + 1 < 0恒成立，所以原不等式恒成立．
2 2 2
如果 > 1，那么存在 = √ > √2 2 , (√ ) = 1 > 0， 1 2 1 2 1
因此( 2 1) 4 2 2 + 1 < 0不恒成立，所以原不等式不恒成立．
√ 2 2
如果 < < 1，那么导函数 ′( ) < 0，函数 ( )在(√
2 2 2
, +∞)上单调递减．
1
2 1 4 2
由于 (√ 2 ) = 2 < 0， 2 1 2 1
2
因此当 > √ 2 时，函数 ( ) < 0，即原不等式恒成立． 2 1
综上， ∈ (0,1]．
(3)当 > 1时，根据第二问可得 ∈ (0,+∞)， ( ) < 0，不符合题意．
2 , > 0,
当 = 0时， ( ) = √ 2 + = { 满足 ( ) ≥ 0，符合题意．
0, < 0,
第 7 页，共 8 页
当0 < ≤ 1时，
2 2 2
( ) = √ + 4 + (1 2 2)( ) + 3
2 4 2
= √ + 4 + 4
4 2
2
1 √ 17 √ 17
≤ √ + 4 + 1 4 = 3 < 3 < 0，不符合题意．
4 2 2 2 2
当 < 0时， 2 + 4 ≥ 0，解得 ≤ 2√ 或 ≥ 2√ ，
所以 ( )的定义域为
( ∞, 2√ ] ∪ [2√ ,+∞)．
2 2
( 2√ ) = (1 2 2)( 2√ ) + , (2√ ) = (1 2 2)(2√ ) + = ( 2√ )．
2√ 2√
要使得 ∈ ， ( ) ≥ 0，则必须满足 (2√ ) = ( 2√ ) = 0，
2 2 1 1即(1 2 )( 2√ ) + = 0，解得 = ( = 0, = 舍去)．
2√ 2 2
1 1 1
当 = 时， ( ) = √ 2 2 + , ( )的定义域为( ∞, √ 2] ∪ [√ 2,+∞)，
2 2
1 1
′( ) = + + ．
√ 2 2
2 2
当 > √ 2时， ′( ) > 0．
1 1 2
当 < √ 2时， < , = √ 1 + < 1，
2 2 √ 2 2 2 2
1 1 2 1 1 1 1
′( ) = + + = √ 1 + + + < 1+ + = 0．
√ 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
( )在( ∞, √ 2)上单调递减，在(√ 2,+∞)上单调递增．
因为 ( √ 2) = (√ 2) = 0，所以 ∈ ( ∞, √ 2] ∪ [√ 2,+∞), ( ) ≥ 0，满足题意．
1
综上， 的取值集合为{0, }．
2
第 8 页，共 8 页
