2025年九年级中考数学二轮复习专题圆中相似三角形和三角函数压轴题综合训练
1．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，以AB为直径作⊙O，交AC于点F，连接CO并延长，分别交⊙O于D、E两点，连接BE，BD．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝CD CE；
（3）求∠ABE的正切值．
2．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：GD为⊙O切线；
（2）求证：DE2＝EF AC；
（3）若tan∠C＝2，AB＝5，求AE的长．
3．如图，△ABC内接于⊙O，BC为直径，作∠BAC的角平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，tanC，求线段AE的长．
4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是直径，D是⊙O上的一点，且．连接AD，过点B作BF⊥AD，交AC于点E，交AD于点G，交⊙O于点F．
（1）求证：BE＝BC．
（2）求证：AE CE＝BC EF．
（3）若，求的值．
5．如图1，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D，延长DC至E．
（Ⅰ）求证：AC平分∠DAB；
（Ⅱ）如图2，若，BC＝4，点P是半圆的中点，连接CP，AP，BP．
①求sin∠ECB；
②求CP的长．
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且CF是⊙O的切线．
（1）求证：∠DCF＝∠CAD．
（2）探究线段CF，FD，FA的数量关系并说明理由；
（3）若cosB，AD＝2，求FD的长．
7．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH EA；
（3）若⊙O的半径为10，cosA，求BH的长．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点G，过D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当∠BAC＝60°，AB＝8时，求EG的长；
（3）当AB＝5，BC＝6时，求tan∠F的值．
9．如图1，等腰△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，连接AO并延长AO交BC于点D，连接OB、OC．
（1）求证：D是BC中点；
（2）如图2，延长BO交AC于E、交⊙O于F，其中OA＝3，OE＝2．
①求线段BC的长；
②求∠COF的正弦值．
10．如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．
（1）求证：△ACE∽△BCD；
（2）若cos∠ABC＝m，求；（用含m的代数式表示）
（3）如图2，DE的中点为G，连接GO，若BD＝a，cos∠ABC，求OG的长．
11．如图，已知AB是⊙O的切线，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）求证：△CFP∽△CPD；
（3）如果CF＝1，CP＝2，sinA，求O到DC的距离．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．
（1）求线段AE的长；
（2）若AB﹣BO＝2，求tan∠AFC的值；
（3）若△DEF与△AEB相似，求EF的值．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，30），点B（40，0），以OA为直径作⊙M交AB于点C，连接OC．
（1）求AC的长；
（2）连接并延长BM，射线BM分别交⊙M于点E，F（点E在y轴左侧），连接OE，求tan∠BEO；
（3）点P是射线OC上一动点，连接PA，过点C作CH⊥PA于点H，连接OH，求OH的取值范围．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
（1）求证：AE＝CE；
（2）若CF＝CD＝2，求⊙O的半径和sin∠CAB的值；
（3）若CF＝k CD（k＞0），直接写出sin∠CAB的值（用含k的代数式表示）．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若BD平分∠ADC，AD＝4，tan∠E＝2，求AB的长．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠CAB的角平分线交CD于点E，交BC于点F，交⊙O于点P．
（1）求证：；
（2）若tan∠CAB，求sin∠CAP的值；
（3）连接PC、PB，若∠ABC＝30°，AB＝2，求△PCF的面积．
参考答案
1．【解答】（1）证明：在△ABC中∵AB2+BC2＝62+82＝100，
AC2＝102＝100，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）证明：∵DE是直径，
∴∠EBC＝90°，
∴∠EBO+∠OBD＝90°，
∵∠CBD+∠OBD＝90°，
∴∠EBO＝∠CBD，
∵OE＝OB，
∴∠E＝∠EBO，
∴∠E＝∠CBD，
∵∠BCD＝∠BCE（公共角），
∴△BCD∽△ECB，
∴，
即BC2＝CD CE；
（3）解：由（2）得BC2＝CD（CD+DE），
即（CD+6）CD＝64，
解这个方程，得或（舍去），
∴，
∵△BCD∽△ECB，
∴，
连结AE，AD，
∵AB与DE都是⊙O的直径，
∴AB与DE互相平分，
∴四边形AEBD为平行四边形，
∴AE＝BD，
在Rt△ABE中．
2．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DG⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴GD为⊙O切线；
（2）证明：如图2，连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴CD＝BD，∠EAD＝∠BAD，
∴BD＝DE＝CD，
∵DF⊥AC，
∴CF＝EF，
∵∠CFD＝∠CDA＝90°，∠FCD＝∠ACD，
∴Rt△CDF∽Rt△CAD，
∴，
即CD2＝CF AC，
∴DE2＝EF AC；
（3）解：如图2，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，tan∠ABC＝tan∠C，AB＝5，
∴BD＝DC，
∵在Rt△CDF中，tan∠C＝2，
∴CF＝1，由（2）知，EF＝CF，
∴EF＝CF＝1，CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝5﹣2＝3．
3．【解答】（1）证明：∵BC为直径，
∴∠CAB＝90°，
∵AC是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝45°，
由圆周角定理可知，∠BOD＝2∠BAD＝90°，
∴OB⊥OD，
∵OB∥DE，
∴OD⊥DE，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：过B作BF⊥DE于F，如图：
∵OB⊥OD，OB＝OD，OB∥DF，
∴四边形ODFB为正方形，
∴BF＝OD＝2，
∵tanC，∠CAB＝90°，BC＝2OB＝4，
∴AB＝4，tan∠ABC＝2，
∵BC∥DE，
∴∠E＝∠ABC，
∴tanE＝2，
∴EF，BE＝5，
∴AE＝AB+BE＝9．
4．【解答】（1）证明：∵，
∴∠BAC＝∠DAC．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∵BF⊥AD，
∴∠AGB＝90°，
∴∠AEG+∠DAC＝90°，
∴∠ACB＝∠AEG．
∵∠AEG＝∠BEC，
∴∠ACB＝∠BEC，
∴BC＝BE．
（2）证明：如图，连接AF，
∵∠CBE＝∠FAE，∠BEC＝∠AEF，
∴△BCE∽△AFE，
∴，
∴BE EF＝AE CE，
∵BC＝BE，
∴AE CE＝BC EF，
（3）解：如图，过点B作BM⊥AC于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∵BM⊥AC，
∴∠BMC＝90°，
∴∠CBM+∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠CBM，
∴，
设CM＝m，则BM＝2m，
在Rt△BCM中，，
∵BC＝BE，
∴CM＝EM，
∴CE＝2CM＝2m，
∴．
5．【解答】（Ⅰ）证明：∵DC切⊙O于点C，
∴OC⊥DE．
∵AD⊥DE．
∴OC∥AD．
∴∠OCA＝∠DAC．
∵OA＝OC．
∴∠OCA＝∠OAC．
∴∠DAC＝∠OAC．
∴AC平分∠DAB．
（Ⅱ）解：①∵AB为⊙O的直径．
∴∠ACB＝90°．
∵，BC＝4．
∴．
∵∠ACB＝90°，AD⊥DE．
∴∠DAC+∠DCA＝90°，∠ECB+∠DCA＝90°．
∴∠DAC＝∠ECB．
∵∠DAC＝∠OAC．
∴∠ECB＝∠OAC．
∴．
②过点B作BM⊥CP于点M．
∵点P是半圆弧AB的中点．
∴．
∴∠ACP＝∠BCP．
∵∠ACB＝90°．
∴∠BCP＝45°．
∴BM＝CM．
∵BC＝4．
∴．
∵．
∴∠OAC＝∠BPC＝30°．
∴．
∴．
6．【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠OCD+∠OCA＝90°，
∵FC是⊙O的切线，
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
∴∠OCA+∠DCF，
∵OC＝OA，
∴∠CAD＝∠OCA，
∴∠DCF＝∠CAD；
（2）解：FC2＝FD FA，理由如下：
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴，
∴FC2＝FD FA；
（3）解：∵∠B＝∠ADC，cosB，
∴cos∠ADC，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC，
∴，
由（2）知△FCD∽△FAC，
∴，
∴FC2＝FD FA，
设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+2，
又∵FC2＝FD FA，
即（4x）2＝3x（3x+2），
解得x（取正值），
∴FD＝3x．
7．【解答】（1）证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，
即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∵OB是⊙O的半径，
∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：连接AC，如图所示，
∵OF⊥BC，
∴，
∴∠CAE＝∠ECB，
∵∠CEA＝∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴，
∴CE2＝EH EA；
（3）解：连接BE，如图所示，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为10，cosA，
∴AB＝20，EA＝AB cosA＝2016，
∴BE12，
∵，
∴BE＝CE＝12，
∵CE2＝EH EA，
∴EH9，
在Rt△BEH中，BH15．
8．【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠OBD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接BG、AD，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB＝∠ADB＝90°，
即BG⊥AC，AD⊥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴BD＝CD，△ABC是等边三角形，
∴AC＝AC＝8，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BG，
∴CE：EG＝CD：BD，
∴CE＝EG，
∵BG⊥AC，
∴CG＝AGAC＝4，
∴EGCG＝2；
（3）解：∵AD⊥BC，CD＝BDBC＝3，
∴AD4，sinC，
∴DECD3，
∴AE，
∵OD∥AC，
∴△ODF∽△AEF，
∴，即，
解得：DF，
在Rt△ODF中，ODAB，
∴tanF．
9．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AO是线段BC的垂直平分线，
∵连接AO并延长AO交BC于点D，
∴D是BC中点；
（2）解：①连接FC，如图，
∵BF为⊙O的直径，
∴∠BCF＝90°，
∴FC⊥BC．
由（1）知：AO是线段BC的垂直平分线，
∴AD⊥BC，
∴AD∥FC，
∴△AOE∽△CFE，
∴．
∵OF＝OA＝3，OE＝2，
∴EF＝1．
∴，
∴CF．
∴BC．
②过点C作CH⊥BF于点H，如图，
∵∠BCF＝90°，CH⊥BF，
∴△FCH∽△FBC，
∴，
∴，
∴CH．
∴sin∠COF．
∴∠COF的正弦值为．
10．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，
又∵∠CAD＝∠CBD，
∴△ACE∽△BCD；
（2）解：在Rt△ABC中，cos∠ABCm，
∴BC＝mAB，
在Rt△ABC中，ACAB，
∴，
∵△ACE∽△BCD，
∴；
（3）解：延长AD至点H，使DH＝AE，连接BH，如图2，
在Rt△ABC中，cos∠ABC，
∴BCAB，
在Rt△ABC中，ACAB，
∴，
∵△ACE∽△BCD，
∴，
∵BD＝a，
∴AEa，
∴DHa，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDH＝180°﹣90°＝90°，
∴BHa，
∵DE的中点为G，
∴EG＝DG，
∴EG+AE＝DG+DH，
即AG＝GH，
∵O为AB中点，
∴OG是△ABH的中位线，
∴OGBHa．
11．【解答】（1）证明：连接OD．
∵BC为直径，
∴△BDC为直角三角形．
在Rt△ADB中，E为AB中点，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB．
又∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠OBD+∠ABD＝90°，∴∠ODB+∠EDB＝90°．
∴ED是⊙O的切线．
（2）证明：∵PF⊥BC，
∴∠FPC＝90°﹣∠BCP（直角三角形的两个锐角互余）．
∵∠PDC＝90°﹣∠PDB（直径所对的圆周角是直角），∠PDB＝∠BCP（同弧所对的圆周角相等），
∴∠FPC＝∠PDC（等量代换）．
又∵∠PCF是公共角，
∴△PCF∽△DCP．
（3）解：过点O作OM⊥CD于点M，
∵△PCF∽△DCP，
∴PC2＝CF CD（相似三角形的对应边成比例）．
∵CF＝1，CP＝2，
∴CD＝4．
可知sin∠DBC＝sinA＝sin∠MOC，
∴，即，
∴直径BC＝5，
∴，
∴MC＝2，
∴MO，
∴O到DC的距离为．
12．【解答】解：（1）∵点A（0，4），
∴AO＝4，
∵AD是⊙Q的直径，
∴∠AEB＝∠AED＝90°，
∴∠AEB＝∠AOB＝90°，
∵BA垂直平分CD，
∴BC＝BD
∴∠ABO＝∠ABE
在△ABE和△ABO中，，
∴△ABE≌△ABO（AAS）
∴AE＝AO＝4；
（2）设BO＝x，则AB＝x+2，
在Rt△ABO中，由AO2+OB2＝AB2得：42+x2＝（x+2）2，
解得：x＝3，
∴OB＝BE＝3，AB＝5，
∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠EAB＝∠ACB，
∵∠BFA＝∠AFC，
∴△BFA∽△AFC
∴，
设EF＝y，则AF＝4+y，BF（4+y），
∵在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2，
∴32+y2＝[（4+y）]2，
解得：y，即EF，
∴tan∠AFC；
（3）①当△DEF∽△AEB时，∠BAE＝∠FDE，
∴∠ADE＝∠FDE，
∴BD垂直平分AF，
∴EF＝AE＝4；
②当△DEF∽△BEA时，∠ABE＝∠FDE，
∴AB∥DF，
∴∠ADF＝∠CAB＝90°，
∴DF相切⊙Q，
∴∠DAE＝∠FDE，
设⊙Q交y轴于点G，连接DG，作FH⊥DG于H，如图所示：
则∠FDH＝∠DAG，四边形OGHF是矩形，
∴OG＝FH，
∵△ABE≌△ABO，
∴∠OAB＝∠EAB，
∵AB⊥AD，
∴∠DAE＝∠CAO，
∵∠CAO＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠DAG＝∠FDE＝∠FDH，
∴AG＝AE＝4，
∴EF＝FH＝OG＝AO+AG＝4+4＝8，
综上所述，若△DEF与△AEB相似，EF的值为4或8．
13．【解答】解：（1）∵点A（0，30），点B（40，0），
∴OA＝30，OB＝40，
∴AB50，
∵OA是⊙M的直径，
∴∠ACO＝90°，
∴AB OCOA OB，
∴OC24
根据勾股定理得AC18；
（2）如图1，
∵M是⊙M的圆心，
∴OMOA＝15，
在Rt△BOM中，BM5，
过点O作OG⊥BM于G，
在Rt△BOM中，SOB OMBM OG，
∴OG，
在Rt△OGM中，根据勾股定理得，
MG，
∴EG＝EM+MG＝15，
∴tan∠BEO；
（3）如图2，取AC的中点T，连接OT，PT，OH．
由题意C（，），
∵A（0，30），QT＝TC，
∴T（，），
∴OT＝3，
∵CH⊥AP，
∴∠AHC＝90°，
∴点H的运动轨迹是以T为圆心，TH为半径的圆，
∵THAC＝9，
∴39≤OH≤39，
即OH的范围为39≤OH≤39．
14．【解答】证明：（1）连接DE，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴AE是⊙O直径
∴∠ADE＝90°，即DE⊥AC，
又∵D是AC的中点，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE；
（2）在△ADE和△EFA中，
∵∠ADE＝∠AEF＝90°，∠DAE＝∠EAF，
∴△ADE∽△AEF，
∴，即，
解得：AE＝2cm；
即⊙O的直径为2cm，
∴⊙O的半径为cm；
∵∠ADE＝∠FDE＝∠AEF＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝∠FED+∠AED＝90°，
∴∠DAE＝∠DEF，
∴△ADE∽△EDF，
∴，
∴DE2＝AD DF＝2×4＝8，
∴DE＝2，
在Rt△CDE中，CE2，
∴sin∠CED，
∵∠CAB＝∠CED，
∴sin∠CAB；
（3）∵AE＝CE，
∴∠DAE＝∠ACB，
∵∠CAB+∠ACB＝90°，∠DEA+∠DAE＝90°，
∴∠CAB＝∠DEA，
∵CF＝k CD，点D是AC中点，
∴DF＝（k+1）CD，
∵△ADE∽△EDF，
∴，
∴DE2＝AD DF＝（k+1）CD2，
∴DECD，
在Rt△CDE中，CECD，
∴sin∠CED，
∵∠CAB＝∠CED，
∴sin∠CAB．
15．【解答】（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝90°；
（2）证明：连接DO，
∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，
∴DF＝FC，
∴∠FDC＝∠FCD，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠OCF＝90°，
∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，
∴DF是⊙O的切线；
（3）解：连接OB，过点B作BM⊥AD于M，
∵∠ACD+∠DCE＝90°，∠DCE+∠E＝90°，
∴∠ACD＝∠E，
∴tan∠ACD2，
∵AD＝4，
∴CD＝2，
∴AC2，
∵BD平分∠ADC，
∴，∠BDC＝∠ADB＝45°，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝90°，
∴ABAC．
16．【解答】解：（1）证明：∵BC是⊙O直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC，
∵∠CAB的角平分线交CD于点E，交BC于点F，
∴∠CAE＝∠BAF，
∴△ACE∽△ABF，
∴，
∵AF是∠BAC的角平分线，
∴，
∴；
（2）在Rt△ABC中，tan∠CAB，
设AC＝3x，∴BC＝4x，
根据勾股定理得，AB＝5x，
由（1）知，，
∴，
∴，
∵CF+BF＝BC＝4x，
∴CFx，BFx，
在Rt△CAF中，CFx，AC＝3x，
根据勾股定理得，AFx，
∴sin∠CAP；
（3）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝2，
∴ACAB，BCAC＝3，∠BAC＝60°，
∴OCBC，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠CAP＝∠BAP∠BAC＝30°，
过点C作CM⊥AP于M，过O作ON⊥AP于N，连接OP，
在Rt△ACM中，CMAC，∠ACM＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠FCM＝∠ACB﹣∠ACM＝30°，
在Rt△CMF中，∠FCM＝30°，CM，
∴∠CFM＝90°﹣∠FCM＝60°，CF＝1，
∴OF＝OC﹣CF，
在Rt△OFN中，∠FON＝90°﹣∠OFN＝30°，OF，
∴FNOF，
∴ONFN，
在Rt△ONP中，OP＝OC，ON，
∴PN，
∴PF＝FN+PN，
∴S△PCFPF CM（）．
∴△PCF的面积是．
()
