2025年中考数学二轮专题复习圆中相似三角形和锐角三角函数压轴题练习
1．如图1、已知A、B、D在⊙O上，DH经过点O且与AB垂直垂足为点H，点F是线段HB上的一个动点（不与H，B重合），连接DF并延长与⊙O交于点C，过点C作⊙O的切线CE交AB的延长线于点E．
（1）求证：EC＝EF；
（2）如图2，连接AC，DE，DB，CB，已知∠ACD＝60°，当∠CAB＝∠BDE时，求证：AB2＝AC DE；
（3）在（2）的条件下，若AD＝3，求的值．
2．如图1，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，E为上一点，且，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G，连接CE．
（1）求证：AG BD＝CD BG；
（2）若EF＝DG．求证：AD＝BG．
（3）如图2，在（2）的条件下，连结CG，AD＝4，求CG的最小值．
3．如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（不与M、N重合），PH⊥MN于H点，过N点作NQ与PH平行交MP的延长线于Q点．
（1）求∠QPN的度数；
（2）求证：QN与⊙O相切；
（3）若PN2＝PM MN，求的值．
4．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
（1）求证：∠ADE＝∠PAE；
（2）若PA＝8，PE＝4，求直径DE的长；
（3）连结BD，若AD2＝PE PD，试判断四边形ADBP的形状，并说明理由．
5．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC＝BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．
（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证：AE＝BF；
（3）若OG DE＝4，求AE的长．
6．在边长为1的正方形ABCD中，以点B为圆心，BA为半径作弧，F为上的一动点，过点F作⊙B的切线交AD于点P，交DC于点Q，交BC的延长线于点M．
（1）当∠DPQ＝45°时，求证：点F为线段PQ的中点；
（2）设AP长为x，BM长为y，求y关于x的函数关系式；
（3）将△DPQ沿直线PQ翻折后得△D1PQ，当PQ时，△AD1D与△PD1Q是否相似？如果相似，请加以证明；如果不相似，写出理由．
7．如图1，半径为4的⊙O中，弦BC＝4，点A是优弧BC上的一个动点，点E是△ABC的内心，连接AE交BC于点F，交圆O于点D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）当时，求AE的长；
（3）当点A在⊙O上从B点出发顺时针运动一周时，求△ABC的内心点E所经过的路径围成图形的面积．
8．如图1，⊙O的弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点且sin∠BAC，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．
（1）求证：点P为的中点；
（2）如图2，求⊙O的半径和PC的长；
（3）若△ABC不是锐角三角形，求PA AE的最大值．
9．如图，⊙O经过△ABC的顶点A、C，并与AB边相交于点D，过点D作DF∥BC，交AC于点E，交⊙O于点F，连接DC，点C为弧DF的中点．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，DF＝4，求CE CA的值；
（3）在（2）的条件下，连接AF，若BD＝AF，求AD的长．
10．如图，点C在以AB为直径的半圆O上运动（点C不与A，B重合），CD⊥AB，AE平分∠BAC，交CD于点E，交BC于点F，AC的延长线交过点B的切线于点G．
（1）求证：△ACB∽△ABG；
（2）求的最大值；
（3）试探究的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
11．如图，直线l：yx+b与y轴交于点A，与x轴交于点B（﹣6，0），点C是线段OA上一动点（0＜AC）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交线段AB于另一点D，连接OD并延长交⊙A于点E．
（1）求△OAB的面积；
（2）若∠ACD＝∠AOD+∠OAD，求点D的坐标；
（3）若点C在线段OA上运动时，求OD DE的最大值．
12．如图，直线l：yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA的一个动点，以A为圆心，AC长为半径作⊙A，⊙A交AB于点D，连接OD并延长交⊙A于点E，连接CD．
（1）当AC＝2时，证明：△OBD是等边三角形；
（2）当△OCD∽△ODA时，求⊙A的半径r；
（3）当点C在线段OA上运动时，求OD DE的最大值．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．
（1）求证：△ECF∽△GCE；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G，AH＝3，求EM的值．
14．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．
（1）若∠FGB＝∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠F，CD＝24，求⊙O的半径；
（3）请问的值为定值吗？若是，请写出计算过程，若不是，请说明理由．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接DG，若AC∥EF时．
①求证：△KGD∽△KEG；
②若cosC，AK，求BF的长．
参考答案
1．【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCD+∠ECD＝90°，
∵DH⊥AB，
∴∠HDC+∠HFD＝90°，
∵OD＝OC＝r，
∴∠HDC＝∠OCD，
∵∠HFD＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠ECD，
∴EC＝EF；
（2）证明：∵∠ACD＝60°，且∠ACD与∠ABD都是弧AD所对圆周角，
∴∠ACD＝∠ABD＝60°，
∵DH⊥AB，且DH过圆心，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝DB，
∵∠ABD+∠DBE＝180°，∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠DBE＝∠ACB，
∵∠DBE＝∠ACB，∠CAB＝∠BDE，
∴△ACB∽△DBE，
∴，
∴AB2＝AC DE；
（3）解：由（1）得EC＝EF，
∴BF+BE＝EF＝CE，
∵△ACB∽△DBE，
∴，
∴，
连接OC，OB
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCD+∠ECD＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠OCB+∠OBC+∠COB＝180°，，
∴∠BCE＝∠CAB，
∵∠CEB＝∠AEC，
∴△CBE∽△ACE，
∴，
∴，
∵AD＝3，
∴CE＝BD＝EF＝3，
∴BE （3+BE）＝32，
解得：，
∴，
∴．
2．【解答】（1）证明：连接AE，
∵∠EAG＝∠DBG，∠AGE＝∠BGD，
∴△AGE∽△BGD，
∴，
∴AG BD＝AE BG，
∵，
∴AE＝CD，
∴AG BD＝CD BG；
（2）证明：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠BAD＝90°，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°﹣∠CBD，∠AGB＝90°﹣∠ABG，
∵，
∴∠CBD＝∠ABG，
∴∠BEC＝∠AGB，
∵∠CEF＝180°﹣∠BEC，∠BGD＝180°﹣∠AGB，
∴∠CEF＝∠BGD，
又∵EF＝DG，∠ECF＝∠GBD，
∴△CFE≌△BDG（AAS），
∴CE＝BG，
∵由，
∴，
∴AD＝CE，
∴AD＝BG；
（3）解：如图，过点C作CH⊥BF于H，
∵△BDG≌△CFE，
∴BD＝CF，∠CFH＝∠BDA，
∵∠BAD＝∠CHF＝90°，
∴△BAD≌△CHF（AAS），
∴FH＝AD，
∵AD＝BG，
∴FH＝BG，
∵∠BCF＝90°，
∴∠BCH+∠HCF＝90°，
∵∠BCH+∠HBC＝90°，
∴∠HCF＝∠HBC，
∵∠BHC＝∠CHF＝90°，
∴△BHC∽△CHF，
∴，
设GH＝x，
∴BH＝4﹣x，
∴CH2＝4（4﹣x），
在Rt△GHC中，CG2＝GH2+CH2，
∴CG2＝x2+4（4﹣x）＝（x﹣2）2+12，
当x＝2时，CG2的最小值为12，
∴CG的最小值为2．
3．【解答】（1）解：∵MN是直径，
∴∠MPN＝90°，
∴∠QPN＝90°；
（2）证明：∵PH⊥MN，
∴∠PHM＝90°，
∵QN∥PH，
∴∠QNM＝∠PHM＝90°，
∴ON⊥QN，
∵ON是半径，
∴QN与⊙O相切；
（3）解：∵∠MNP+∠PNQ＝90°，∠PNQ+∠Q＝90°，
∴∠MNP＝∠Q，
∵∠MPN＝∠QPN，
∴△NPM∽△QPN，
∴，
∴PN2＝PM QP，
∵PN2＝PM MN，
∴QP＝MN，
∵PH∥QN，
∴，
∴，
同理得，△MHP∽△MPN，
∴，
∴HN＝MP，
设PQ＝MN＝a，MP＝b，
∴，
∴，
∴a（舍）或a
∴，
4．【解答】（1）证明：连接OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DAE＝90°，
∴∠OAP＝∠DAE，
∴∠DAO＝∠PAE，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠PAE；
（2）解：∵∠ADE＝∠PAE，∠APD＝∠EPA，
∴△DPA∽△APE，
∴，
又PA＝8，PE＝4，
∴，
∴DP＝16，
∴DE＝DP﹣PE＝12；
（3）解：四边形ADBP是菱形．
理由如下：∵，
∴AP2＝EP DP，
又AD2＝PE PD，
∴AD＝AP，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴AP＝BP，∠APD＝∠BPD，
又DP＝DP，
∴△ADP≌△BDP（SAS），
∴AD＝BD，
∴AD＝AP＝BP＝BP，
∴四边形ADBP是菱形．
5．【解答】（1）解：OG⊥CD，理由如下：
如图，连接OC，OD，
∵OC＝OD，G是CD的中点，
由等腰三角形的性质得OG⊥CD；
（2）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAE＝∠CBF，
在Rt△ACE与Rt△BCF中，
∵∠ACE＝∠BCF＝90°，AC＝BC，∠CAE＝∠CBF，
∴△ACE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF；
（3）解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点，
∴AD＝2OH，
又∵∠CAD＝∠BAD，
∴CD＝BD，
∴OH＝OG，
∵∠DBE＝∠DAC＝∠BAD，
∴△BDE∽△ADB，
∴，
即BD2＝AD DE，
∴BD2＝AD DE＝2OG DE＝8，
∴BD＝2，
又BD＝FD，
∴BF＝2BD＝4，
由（2）知AE＝BF，
∴AE＝4．
6．【解答】（1）证明：如图，连接BF，DF，BD，
由正方形的性质可知，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠DBM＝45°，
∵∠DPQ＝45°，
∴∠DQP＝90°﹣∠DPQ＝45°，∠PMB＝∠DPQ＝45°，
∴DP＝DQ，△PDQ是等腰直角三角形，
∵MF是⊙B的切线，
∴∠BFM＝90°，∠FBM＝180°﹣∠BFM﹣∠FMB＝45°，
∴∠FBM＝∠DBM＝45°，
∴B、F、D三点共线，
∴∠DFP＝90°，即DF⊥PQ，
∴F为线段PQ的中点．
（2）解：如图2，连接BF，BP，BQ，
∵PA、PQ、QC是⊙B的切线，
∴PF＝AP＝x，
设FQ＝CQ＝a，则DQ＝1﹣a，PQ＝x+a，
∵S正方形ABCD＝S△ABP+S△BCQ+S△PDQ+S△BPQ，
∴，
即，
解得，
∵PD∥CM，
∴∠DPQ＝∠CMQ，
又∵∠D＝∠QCM＝90°，
∴△DPQ∽△CMQ，
∴，即，
整理得，
∴y关于x的函数关系式为；
（3）解：∵，
由（2）可知，，即，
∴6x2﹣5x+1＝0，
∴（2x﹣1）（3x﹣1）＝0，
解得或，
当时，即，
∴P为线段AD的中点，
如图3，DD1与PQ交点记为O，
由折叠的性质可知，△D1PQ≌△DPQ，，PO垂直平分DD1，O是DD1的中点，
∴PO是△ADD1的中位线，
∴PO∥AD1，
∴∠DAD1＝∠QPD＝∠QPD1，∠AD1D＝∠POD＝90°＝∠PD1Q，
∴△AD1D∽△PD1Q；
当时，，，
如图4，DD1与PQ交点记为O，
由折叠的性质可知，△D1PQ≌△DPQ，，PO垂直平分DD1，
∵∠PDO+∠ODQ＝90°，∠ODQ+∠OQD＝90°，
∴∠PDO＝∠OQD，
∴∠ADD1＝∠PQD＝∠PQD1，
∵，即，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∴此时△AD1D与△PD1Q不相似；
综上所述，当，时，△AD1D与△PD1Q相似．
7．【解答】解：（1）如图1，连接OB，OC，过点O作OM⊥BC于点M，
∴BM＝CMBC2，
∵OB＝OC＝4，
∴OM2，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC＝30°；
（2）如图2，连接OD交BC于M，连接OC，CD，过点E作EQ⊥BC于Q，作EP⊥AC于P，连接CE，
∵E是△ABC的内心，
∴CE平分∠ACB，
∴EP＝EQ，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，
∴EQ∥DM，
∴△EQF∽△DMF，
∴，
∵∠DOC＝60°，OD＝OC，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
Rt△DMC中，∠DCM＝30°，CM＝2，
∴DM＝2，
∴，
∴EQ，
Rt△AEP中，∠EAP＝30°，
∴AE＝2PE；
（3）如图3，连接BD，CD，CE，
∵∠DEC＝∠DAC+∠ACE，∠DCE＝∠BCD+∠BCE，
又∵∠ACE＝∠BCE，∠DAC＝∠BCD，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝CD，
∴CD＝BD＝DE，
∴当点A在优弧BC上的运动时，△ABC的内心点E所经过的路径为以D为圆心，圆心角为120°的扇形的弧；
如图4，同理可得：当点A在劣弧BC上的运动时，△ABC的内心点E所经过的路径为以D为圆心，圆心角为60的扇形的弧；
如图5，连接BD，CD，DD1，BD1，则DD1过点O，
∴△ABC的内心点E所经过的路径围成图形的面积
2
＝8π﹣124
16．
8．【解答】（1）证明：①如图1，连接PC，AB，
∵AP平分∠BAF，
∴∠BAP＝∠PAF，
∵∠PAF+∠PAC＝180°，
∠PAC+∠PBC＝180°，
∴∠PAF＝∠PBC，
又∠BAP＝∠PCB，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴PB＝PC，
∴，
∴点P为的中点；
（2）解：连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，
∴OM垂直平分BC，
∴BM＝CMBC＝3，∠BOM∠BOC＝∠BAC，
∵sin∠BAC，
∴sin∠BOM，
∴OB＝5，
∴⊙O的半径是5，
在Rt△OMC中，OM4，
在Rt△PMC中，PM＝OM+OP＝9，
∴PC3；
（3）∵∠ACE+∠BCA＝∠BPE+∠BCA＝180°，
∴∠ACE＝∠BPE，
同理，∠CAE＝∠PBC＝∠PAB，
∴△ACE∽△APB，
∴，
∴PA AE＝AC AB，
如图4，过C作CQ⊥AB于Q，
∵sin∠BAC，
∴CQ＝AC sin∠BAC，
∴S△ABCAB CQAB AC，
∴PA AES△ABC，
∵△ABC非锐角三角形，且BC＝6，
∴当A运动到使∠ACB＝90°时，
△ABC面积最大，
在Rt△ABC中，BC＝6，AB＝10，
∴AC8，
∴S△ABCBC AC＝24，
∴此时，PA AE＝80，
即PA AE的最大值为80．
9．【解答】（1）证明：连接CO并延长交⊙O于G，连接DG，如图：
∵CG为直径，
∴∠GDC＝90°，
∴∠DCG+∠DGC＝90°，
∵∠DGC＝∠BAC，点C为弧DF的中点，
∴∠CDF＝∠BAC，
∴∠DGC＝∠CDF，
∴∠DCG+∠CDF＝90°，
∵DF∥BC，
∴∠CDF＝∠DCB，
∴∠DCG+∠DCB＝90°，
∴OC⊥BC，
又∵OC是⊙O的半径，
∴BC为⊙O的切线；
（2）解：连接OC交DF于M，
∵C为弧DF的中，
∴OC⊥DF，
∴DM＝MFDF＝2，
∵⊙O的半径为3，
∴OM1，
∴CM＝OC﹣OM＝3﹣1＝2，
∴DC2＝DM2+CM212，
∵，
∴∠DAC＝∠CAF，
∵∠CDF＝∠CAF，
∴∠CDF＝∠DAC，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴，
∴CD2＝CE CA，
∴CE CA＝12；
（3）解：连接CF，
∵四边形ADCF内接于⊙O，
∴∠ADC+∠AFC＝180°，
又∵∠BDC+∠CDA＝180°，
∴∠AFC＝∠BDC，
∵，
∴CD＝CF＝2，
又∵BD＝AF，
∴△BDC≌△AFC（SAS），
∴BC＝AC，∠BCD＝∠ACF，
∵∠ACF＝∠ADF，
∴∠BCD＝∠ADF，
∵DF∥BC，
∴∠CDF＝∠BCD，
∴∠CDF＝∠ADF，
∴AF＝CF，
∴，BD＝CF＝2，
∴，
∴AC＝DF＝4BC，
∵∠BCD＝∠CDF＝∠CAF＝∠DAC，∠DBC＝∠ABC，
∴△DBC∽△CBA，
∴，
∴BC2＝BD AB，
∴ AB，
∴AB，
∴AD＝AB﹣BD．
10．【解答】（1）证明：∵BG为过点B的切线，
∴AB⊥BG，
∴∠ABG＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABG＝∠ACB，
∴△ACB∽△ABG；
（2）解：∵△CDB∽△ABG，
∴，即，
当CD为半径时，的最大值为；
（3）解：∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF＝∠BAF，
∴∠AED＝∠AFC，
∵∠CEF＝∠AED，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
过点F作FH⊥AB交于H，
∵AF平分∠BAC，FC⊥AC，FH⊥AB，
∴CF＝FH＝CE，
∵FH∥CD，
∴，
∵CE＝FH，
∴，
∴．
11．【解答】解：（1）∵直线l：yx+b与x轴交于点B（﹣6，0），
∴将（﹣6，0）代入，得：
（﹣6）+b＝0，
∴b＝8，
∴yx+8，
当x＝0时，y＝8，
∴A（0，8），
∴S△OABOA×OB8×6＝24；
（2）如图，过点D作DH⊥OA于点H，
∵∠ACD＝∠AOD+∠OAD，∠ACD＝∠AOD+∠ODC，
∴∠OAD＝∠ODC，
∴△OCD∽△ODA，
∴，
∴OD2＝OC OA，
设AH＝4m，DH＝3m，则：
AH＝AD＝5m，
∴OH＝OA﹣AH＝8﹣4m，OC＝8﹣5m，
∴D（﹣3m，8﹣4m），
∴OD2＝OH2+DH2＝（8﹣4m）2+（3m）2，
∵OD2＝OC OA，
∴（8﹣4m）2+（3m）2＝（8﹣5m） 8，
解得：m，
∴D（，）；
（3）如图，过点O作OG⊥AB于点G，AB交⊙A于点D，F，连接EF，
∵OB＝6，OA＝8，
∴AB10，
∵，
∴AG，
设AC＝AD＝r，则：
DGr，
∵DF为直径，
∴DF＝2r，∠DEF＝90°，
∴△DEF∽△DGO，
∴，
∴OD DE＝DF DG＝2r （r）＝﹣2r2r＝﹣2（r）2，
当r时，OD DE取得最大值，
最大值为．
12．【解答】解：（1）∵直线l：yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（2，0），点B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴tan∠BAO，
∴∠BAO＝30°，
∴AB＝2OB＝4，∠ABO＝60°，
∵AC＝AD＝2，
∴BD＝2＝BO，
且∠ABO＝60°，
∴△BDO是等边三角形；
（2）如图1，过点D作DH⊥AO于H，
∵△OCD∽△ODA，
∴∠ODC＝∠OAB＝30°，
∵AC＝AD，∠BAO＝30°，
∴∠ACD＝75°，
∴∠DOH＝∠ACD﹣∠ODC＝45°，
∵DH⊥AO，∠DAO＝30°，
∴DHr，AHDHr，
∵DH⊥AO，∠DOH＝45°，
∴DH＝OHr，
∵AO＝OH+AH＝2，
∴2rr，
∴r＝6﹣2；
（3）如图2，连接EH，过点O作OG⊥AB于G，
∵OG⊥AB，∠BAO＝30°，
∴OGAO，AGOG＝3，
∴GD＝3﹣AD，
∵DH是直径，
∴∠DEH＝90°＝∠OGD，
又∵∠ODG＝∠HDE，
∴△ODG∽△HDE，
∴，
∴OD DE＝GD DH＝（3﹣AD） 2AD＝﹣2（AD）2，
∴当AD时，OD DE的最大值为．
13．【解答】（1）证明：如图1中，
∵AC∥EG，
∴∠G＝∠ACG，
∵AB⊥CD，
∴，
∴∠CEF＝∠ACD，
∴∠G＝∠CEF，
∵∠ECF＝∠ECG，
∴△ECF∽△GCE．
（2）证明：如图2中，连接OE，
∵GF＝GE，
∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠GEF+∠AEO＝90°，
∴∠GEO＝90°，
∴GE⊥OE，
∴EG是⊙O的切线．
（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．
在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tan∠G，
∵AH＝3，
∴HC＝4．
在Rt△HOC中，∵OC＝r，OH＝r﹣3，HC＝4，
∴（r﹣3）2+42＝r2，
∴r
∵GM∥AC，
∴∠CAH＝∠M，
∵∠OEM＝∠AHC，
∴△AHC∽△MEO，
∴，
∴，
∴．
14．【解答】（1）证明：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC＝90°，
又∵∠FGB＝∠FBG，∠FGB＝∠AGC，
∴∠FBG+∠OBA＝90°，即∠OBF＝90°，
∴OB⊥FB，
∵AB是⊙O的弦，
∴点B在⊙O上，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：∵AC∥BF，
∴∠ACF＝∠F
∵CD＝24，OA⊥CD，
∴CECD＝12，
∵tan∠F，
∴tan∠ACF，
即，
解得AE＝9，
连接OC，如图1所示：
设圆的半径为r，则OE＝r﹣9，
在Rt△OCE中，CE2+OE2＝OC2，
即122+（r﹣9）2＝r2，
解得：r＝12.5；
（3）解：是定值；理由如下：
连接BD，如图2所示：
∵∠DBG＝∠ACF，∠ACF＝∠F，
∴∠DBG＝∠F，
∵∠DGB＝∠FGB，
∴△BDG∽△FBG，
∴，
即GB2＝DG GF，
∴．
15．【解答】解：（1）如图，连接OG．
∵EG＝EK，
∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，
又OA＝OG，
∴∠OGA＝∠OAG，
∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG＝90°，
∴∠KGE+∠OGA＝90°，
∴EF是⊙O的切线．
（2）①∵AC∥EF，
∴∠E＝∠C，
又∠C＝∠AGD，
∴∠E＝∠AGD，
又∠DKG＝∠GKE，
∴△KGD∽△KEG；
②连接OG，
∵，AK，
设cosC，
∴CH＝4k，AC＝5k，则AH＝3k，
∵KE＝GE，AC∥EF，
∴CK＝AC＝5k，
∴HK＝CK﹣CH＝k．
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2＝AK2，即，
解得k＝1，
∴CH＝4，AC＝5，则AH＝3，
设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC＝R，OH＝R﹣3k，CH＝4k，
由勾股定理得：OH2+CH2＝OC2，即（R﹣3）2+42＝R2，
∴，
在Rt△OGF中，，
∴，
∴．
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