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2024—2025学年创新人才选拔测评（一）
九年级数学
注意事项：
1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．下列各数中，最小的是（ ）
A． B．1 C． D．0
2．截至2025年，中国非物质文化遗产资源总量近87万项，其中共有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数位居世界第一．将数据“87万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．由4个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，若将小正方体B挪到小正方体A的正上方，下列有关其三视图的说法正确的是（ ）
A．主视图没有改变 B．俯视图没有改变 C．左视图没有改变 D．三视图都没有改变
4．关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．将一副三角尺如图摆放，其中点F在AC边上，且，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．2025年春节档某影城上映了三部电影：《哪吒·魔童闹海》、《射雕·侠之大者》和《封神·战火西岐》，若王林和李华分别从这三部影片中随机选择一部观看，则这两人选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，汽车发动机上的皮带轮通过皮带将发动机的动力传递给其他需要驱动的部件，如发电机、水泵等，爱动脑筋的小智发现：皮带轮上点P的位置在不断改变．已知皮带轮的半径为12cm，当皮带上的点Q上升时，皮带轮上点P转过的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点E为平行四边形ABCD的边CD的中点，连接AC，BE交于点O，过点O作，交BC于点F，若，则OF的长度是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，以点O为圆心，OB为半径构造圆，点M为圆周上一点，在x轴上方取点N，使得是以为直角的等腰直角三角形．若点M从点B出发，按照顺时针方向以每秒个单位长度的速度运动，则第2026秒时，点N的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．写出一个比小的整数，可以是_______．
12．关于x的不等式组，无解，则实数a的取值范围是_______．
13．某制衣厂承接了某校校服制作业务，技术员对九（2）班50名同学的身高进行测量并制作扇形统计图如下，则图中“L码”的人数为_______．
14．如图，矩形ABCD中．以AD为直径作半圆O与BC相切于点E，再以点D为圆心，DO为半径作扇形DOC，半圆与交于点F，则图中阴影部分的面积为_______．
15．如图，菱形ABCD中，点O为对角线BD的中点，点P为平面内一点，且，已知，．连接AP，则AP的最小值为_______，最大值为_______．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（9分）中学生消防知识培训意义重大，它既能提升学生的火灾预防意识，还能培养学生的应急处理能力，守护校园安全．某校为了解全校学生消防安全知识培训的效果，通过发放
问卷进行测评，从中随机抽取若干学生的成绩进行分析，并绘制频数分布表如下：
分数段 频数 频率 等次
5 30.15 及格
4 a 良好
5 0.25 优秀
b 0.40 优秀
备注 分数段的数据为90，90，90，92，93
请依据表格，解答如下问题：
（1）表格中的数据a，b依次为_______，_______；
（2）该组数据的中位数为多少？
（3）该校有400名学生参加了此次问卷测评活动，请估计成绩达到优秀的人数是多少？
18．（9分）在农村，许多农民把玉米脱皮后，用铁网围成一个如图1所示的圆柱形玉米垛，上面苫盖有蓬草，把玉米囤在里边用于晾晒阴干，这些玉米垛垛在房前屋后、路边、麦场里，形成了一道独特的风景线．如图2，玉米垛截面示意图是轴对称图形，对称轴AO垂直于地面，蓬草，，抽取若干玉米后苫盖的蓬草会自动下垂．若抽取部分玉米后减少，且在B，O，C三点保持在同一水平线的前提下，蓬草端点C下降了多少米？（结果精确到0.01m．参考数据：，，）
19．（9分）如图，直线与反比例函数的图象交于点，将直线向上平移，平移后的直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点C．
（1）求m，n的值及反比例函数的解析式；
（2）连接OB，求的面积．
20．（9分）健身不仅能够增强体质、提高免疫力，还能塑造健美的体态，促进心理健康．某健身馆原定健身的收费标准是60元/次，后来为吸引顾客，特推出两种优惠方案，方案1：每次健身按标价的八折收费；方案2：缴纳300元办理一张会员卡，每次健身按标价的六折收费．
（1）若某顾客健身x次，付费总额y元，求两种方案下y关于x的函数解析式；
（2）请你用所学知识分析选择哪一种消费方案更划算．
21．（9分）如图，为⊙O的内接三角形，其中BC是⊙O的直径，请用无刻度的直尺和圆规作图，并解答下列问题．
（1）作，AP交射线CB于点P，且点P在圆外（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：AP为⊙O的切线；
（3）若，求直径BC的长．
22．（10分）如图1所示是下承式桥（throughbridge），是桥面系设置在桥跨主要承重结构（桁架、拱肋、主梁）下面的桥梁．图2是下承式桥抽象出的模型，桥的拱肋OPA可视为抛物线的一部分，桥面水平线（OA）与多根系杆连接并垂直，相邻系杆之间的间距均为5m（不考虑系杆的粗细），拱肋的跨度OA为280m，且桥的最高点P与桥面的距离PQ为56m，以点O为原点，射线OA为x轴正方向建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）；
（2）若系杆MN与桥拱中轴PQ相距70m，求系杆MN的长度；
（3）小智说，“目测有一根系杆的长度恰好是PQ长度的一半”，请判断该说法是否正确，并说明理由．
23．（10分）综合实践：等腰三角形ABC中，，，点D为线段BC上不与端点重合的一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转α到AP，连接DP，CP．
问题发现：（1）如图1，若，请直接写出的度数_______；线段AC，CD，CP之间的数量关系是_______．
类比探究：（2）如图2，若，求的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系；
拓展延伸：（3）如图3，若，，，当点A到直线BD的距离为1时，请直接写出BD的长．
参考答案
2024—2025学年创新人才选拔测评（一）
九年级数学
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．A 2．C 3．C 4．B 5．C 6．D 7．C 8．B 9．D 10．A
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．1（答案不唯一） 12． 13．29 14．
（第一空1分，第二空2分）
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．解：（1）
．
（2）原式
．
17．解：（1）0.2 8（第一空1分，第二空2分，共3分）
（2）本次调查的样本容量为，将数据按从小到大的顺序排列，则该组数据的中位数为第10和第11个数据的平均数，第10个数据为90，第11个数据为92，故中位数为，
答：该组数据的中位数为91．
（3）（人）．
答：400名学生中估计成绩达到优秀的人数是260人．
18．解：由轴对称的性质知，，．
在中，，
．
当减少时，．
在中，，
，（6分）
．
三点保持在同一水平线，
点C下降了约0.18米．（9分）
19．解：（1）∵直线经过点，．
反比例函数的图象过和两点，
，
，，
∴反比例函数的解析式为．
（2）设直线平移后的解析式为，
把代入，得，，
故直线BC的解析式为．
令，得，，
．
20．解：（1）方案1：，
方案2；，
答：两种方案下y关于x的函数解析式分别为和．
（2）若选方案1：则有，即，
解得．（5分）
若方案1，方案2的费用一样：则有，即，
解得，
若选方案2：则有，即，
解得．
答：若健身25次以下，选方案1划算；若健身25次，方案1、方案2的费用一样；若健身25次以上，选方案2划算．
21．（1）解：作如图所示．
（2）证明：如图，连接，为的直径，
，即
，，
，即
为⊙O的半径，为⊙O的切线．（5分）
（3）解：由（2）知，，，
设⊙O的半径为r，，
解得，，
答：直径BC的长为．
22．解：（1），，已知，设抛物线的解析式为，
将点代入解析式，得，
解得．
故抛物线的解析式为．
（2）由题知，，，点M的横坐标为70，
将代入，得
．
答：系杆MN的长度为42米．（7分）
（3）小智的说法不正确，（8分）
理由如下：设存在一根系杆的长度是PQ的一半，即28米，
将代入，解得．
相邻系杆之间的间距均为5米，每根系杆上的点的横坐标均为整数，
与实际不符，
不存在一根系杆的长度恰好是PQ长度的一半．（10分）
23．（1） （4分，注：每个2分）
提示如下：
在中，，，
，
，即，
在和中，，
，，
．
（2）同（1）可得，，（6分）
，，
在中，，又，（8分）
（3）BD的长为或，（10分，注：每个1分）
提示如下：在等腰直角三角形ABC中，，．
如图1，当点D在AB左侧时，过点A作于点P．
，A，D，B，C四点共圆，则，
为等腰直角三角形，．
在中，，．
在中，．
如图2，当点D在AC右侧时，过点A作于点P，则，
为等腰直角三角形，．
在中，，
，
综上所述：BD的长为或
