山东省枣庄市 2025 年高考模拟数学试卷（3 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 5 < 3 < 5}， = { ∈ | 2 6 ≤ 0}，则 ∩ =( )
A. { 1,0,1} B. {1,2,3} C. { 3, 1,0,1} D. { 1,0,1,2}
1
2.已知复数 在复平面内对应的点为(1,2)，则 =( )
A. 1 + B. 1 C. 1 + D. 1
3.下列函数中，是偶函数且在(0, +∞)上单调递增的是( )
1
A. ( ) = 2 B. ( ) = |log2 | C. ( ) = + D. ( ) = | | | |
4.已知向量 = (2, 1)， = (1, )，则( )
A. | | = | |的充要条件是 = 2
1
B. // 的充要条件是 =
2
1
C. 与 垂直的充要条件是 =
2
D. 若 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是( ∞, 2)
5.函数 ( ) = + 2 在区间(0,3 )上的零点个数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2025 2 2025 4 4 46.已知(3 + 1) = 0 + 1 + 2 + + 2025 ，则 + ( )
2
1 2 + + ( )
2025
3 3 3 2025
被4除的余数
为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
7.已知三棱柱 1 1 1的各条棱长相等，且∠ 1 = ∠ 1 = ∠ = 60°，则异面直线 与 1 所
成角的余弦值为( )
√ 3 1 √ 2 √ 3
A. B. C. D.
6 2 2 2
8.已知△ 中， = 1， = 2, √ 3sin( + ) = sin( )，若∠ 的平分线交 于点 ，则 的长为( )
6 3
2 4 1 2 2 1
A. 或 B. 或 C. D.
3 3 3 3 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = cos(2 + )(0 < < )的图象关于点( , 0)中心对称，则( )
12
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A. ( )在区间( , )上单调递减
12 3
2
B. 直线 = 是曲线 = ( )的一条对称轴
3
1
C. ( )在区间 ∈ [0, ]的最小值是
2 2
D. 将 = ( )的图象上各点先向右平移 个单位(纵坐标不变)，再将横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，
12
2
得到函数 = cos( + )的图象
3 6
10.已知函数 ( ) = 3 + 3 2 + 3，则( )
A. 当 = 4时，函数 ( )在 上单调递增
B. 当 ≤ 3时，函数 ( )有两个极值
C. 过点(0,1)且与曲线 = ( )相切的直线有且仅有一条
D. 当 = 1时，直线 + 2 = 0与曲线 = ( )有三个交点 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)，则 1 +
2 + 3 = 3
11.在如图所示8 × 8的方格图中，去掉以下哪一个方格，剩下的方格图能用总共21个3 × 1或1 × 3的矩形方
格图完全覆盖( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12.双曲线 = 1的右焦点是抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是___．
9 16
13.已知函数 ( ) = ( 1+ 2)( > 0且 ≠ 1)恒过定点 ，则点 的坐标为______．
14.已知数列{ }， ( = 1,2, … , )等可能取 1，1，2， 2.数列{ }满足 1 = 1，且 +1 = ，则 4 = 4
的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题13分)
在数列{ }中， 1 = 20， +1 = + 2
2．
(1)求{ }的通项公式；
(2)若 = 2 ，求数列{ }的前 项和 的最大值．
16.(本小题15分)
如图，矩形 中， = 2， = 3， = 2 ，将△ 沿直线 翻折成△ 1 ．
(1)若 为线段 1 上一点，且满足 = 2 1，求证：直线 //平面 1 ；
(2)当平面 1 ⊥平面 时，求点 到平面 1 的距离．
17.(本小题15分)
每次抛掷一枚质地均匀的六面体骰子，若出现偶数点得2分，奇数点得1分.已知每次抛掷出现偶数点和奇数
1
点的概率都是 ，且结果相互独立．
2
(1)求在抛掷过程中，恰好得3分的概率；
(2)记抛掷 次得分为 ，求 的分布列及数学期望．
18.(本小题17分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 ， 上一动点 到 的距离的取值范围为[√ 6 2, √ 6 + 2]．
(1)求 的标准方程；
(2)设斜率为 ( ≠ 0)的直线 过 点，交 于 ， 两点.记线段 的中点为 ，直线 交直线 = 3于点 ，
直线 交 于 ， 两点．
①求∠ 的大小；
②求四边形 面积的最小值．
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 2 + ．
1
(1)当 = 时，判断 ( )的极值点个数；
2
(2)若不等式 ( ) > 1 + (1 ) 2恒成立，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 2 = 20
13.【答案】(1,2)
3
14.【答案】
16
15.【答案】解：(1)在数列{ }中，
1 = 20， +1 = + 2 2，
可得 ≥ 2时， 1 = 2
1 2，
即有 = 1 + ( 2 1) + ( 3 2)+. . . +( 1) = 20 + (2 2) + (4 2)+. . . +(2
1 2) = (2 +
4+. . . +2 1) + 20 2( 1)
2(1 2 1)
= + 22 2 = 2 2 + 20，
1 2
上式对 = 1也成立，
所以 = 2
2 + 20， ∈ ；
(2) = 2
= 20 2 ，
1 19 361
数列{ }的前 项和 = 18 + 16+. . . +(20 2 ) = (18 + 20 2 ) =
2 + 19 = ( )2 + ，
2 2 4
当 = 9或10时， 取得最大值，且为90．
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16.【答案】解：(1)证明：在线段 1 上取点 ，使 = 2 1，
由 为线段 1 上一点，且 = 2 1，
1 1 得 = = 1 ，
1 3 1
1
则 // , = ，
3
1 1
在矩形 中， // , = = ，
3 3
因此 // ， = ，四边形 是平行四边形，则 // ，
而 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 //平面 1 ．
(2)依题意， 1 = 1 = 2，取 中点 ，连接 1 ，则 1 ⊥ ，
由平面 1 ⊥平面 ，平面 1 ∩平面 = ， 1 平面 1 ，
得 1 ⊥平面 ，连接 ，而 平面 ，则 1 ⊥ ，
1
又∠ 1 = 90°，则 1 = = √ 2， 2
在△ 中， = 1, = √ 2, ∠ = 135°，
由余弦定理得 2
√ 2
= 2 + 2 + 2 135° = 12 + (√ 2)2 + 2 × 1 × √ 2 × = 5， 1 =2
√ 21 + 2 = √ (√ 2)2 + (√ 5)2 = √ 7，
2 2 2
在△ 2 +1 (√ 7) 11 中，cos∠ 1 = = ， 2×2×1 2
则 2 1 √ 3sin∠ 1 = √ 1 cos ∠ = √ 1 ( )21 = ， 2 2
1 √ 3 1
△ = 1 ∠ 1 = ， △ = = 1， 1 2 2 2
设点 到平面 1 的距离为 ，
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由 = 1 1 ，
1 1
得 =
3 △ 1 3 △ 1
，
√ 3
即 = 1 × √ 2，
2
2√ 6
解得 = ，
3
所以点 到平面 2√ 61 的距离为 ． 3
1
17.【答案】解：(1)若出现偶数点得2分，奇数点得1分．已知每次抛掷出现偶数点和奇数点的概率都是 ，
2
则得3分的事件是出现一次奇数点一次偶数点的事件，出现三次奇数点的事件和，
1 1 1 1 1 5
所以恰好得3分的概率 = 12 × × + × × = ． 2 2 2 2 2 8
(2)抛掷 次，设出现奇数点的次数为 ，
1 1
由每次抛掷出现偶数点和奇数点的概率都是 ，且结果相互独立，得 ～ ( , )，
2 2
总得分 = 2 + ( ) = + ， 的所有可能取值为 ， + 1， + 2， ， + ， ，2 ，
1 1 1
( = + ) = ( = ) =
( ) (1 ) =
( )
( ≤ , ∈ , ∈ )，
2 2 2
所以 的分布列为：
+ 1 + 2
1 1 1 1
0 ( )
1( ) ( )
2 2 2
( )
2
1 3
数学期望为 ( ) = ( + ) = + ( ) = + = ． 2 2
18.【答案】解：(1)设椭圆 的半焦距为 ，则 ≤ | | ≤ + ，
因为点 到 的距离的取值范围为[√ 6 2, √ 6 + 2]，
= √ 6 2所以{ ，解得{ = √ 6，所以 2 = 2 2 = 2，
+ = √ 6 + 2 = 2
2 2
所以 的标准方程为 + = 1．
6 2
(2)①由(1)知点 (2,0)，设直线 的方程为 = ( 2)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 + 3 2 = 6
联立方程组{ ，消去 整理得(3 2 + 1) 2 12 2 + 12 2 6 = 0，
= ( 2)
2 2
12 12 6
= 144 4 24(2 2 1)(3 2 + 1) = 24( 2 + 1) > 0， 1 + 2 = 2 , 1 2 = ， 2
3 +1 3 +1
4 26 2
则 1 + 2 = ( 1 + 2) 4 = 2 ，线段 的中点 ( , )，
3 +1 2 23 +1 3 +1
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1 1 1
直线 的斜率 = ，直线 ： = 交直线 = 3于点 (3, )， 3 3
1
因此直线 的斜率 0 1 = = ，即 = 1，则直线 与直线 垂直， 3 2
所以∠ = ．
2
②由①知，| | = √ 1 + 2| 1 2| = √ 1 + 2√ ( 1 + 22) 4 1 2
2 2 2
2√ 12 2 12 6 2√ 6( +1)= √ 1 + ( 2) 4 2 = ， 2
1+3 1+3 3 +1
1 2
1 2√ 6[( ) +1]
2
2√ 6(1+ )
直线 的方程为 = ( 2)，同理得| | = 1 2 = 2
，
3( ) +1 3+
2 2 2 2
1 1 2√ 6(1+ ) 2√ 6(1+ ) 12(1+ )
因此四边形 的面积 ( ) = | || | =
2 2 2
2 = 2 2
3 +1 3+ (3 +1)(3+ )
2 2 2 2
12(1+ ) 12(1+ )
≥ 2 22 2 = = 3
(3 +1)+(3+ ) 2 2 ，当且仅当3 + 1 = 3 + ，即 = ±1时取等号， 2
[ ] 4(1+ )
2
所以四边形 面积的最小值为3．
1 1
19.【答案】解：(1)当 = 时，函数 ( ) = 2 + 的定义域为(0, +∞)，求导得 ′( ) = + 2，
2 2
1
令 ( ) = + 2，求导得 ′( ) = 1，
当0 < < 1时， ′( ) > 0；当 > 1时， ′( ) < 0，
则函数 ′( )在(0,1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减，
′( ) 2 2 2 2 = ′(1) = 1，而 ′( ) = < 0， ′( ) = 4 < 0，
于是存在 2 21 ∈ ( , 1), 2 ∈ (1, )，使得 ′( 1) = ′( 2) = 0，
当0 < < 1或 > 2时， ′( ) < 0；当 1 < < 2时， ′( ) > 0，
因此函数 ( )在 = 1处取得极小值，在 = 2处取得极大值，
所以函数 ( )的极值点个数为2．
(2)不等 ( ) > 1 + (1 ) 2 2 + > 1 + (1 ) 2 1 + 2 < 0，
1
依题意， 1
+ 2 < 0在(0, +∞)上恒成立，即 + 1 < 0在(0, +∞)上恒成立，
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因此 1 + 1 < 0在(0, +∞)上恒成立，令 = 1 = ( )，
1
求导得 ′( ) = 1 ，当0 < < 1时， ′( ) < 0；当 > 1时， ′( ) > 0，
函数 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增， ( ) = (1) = 0，即 ≥ 0，
不等式 + < 0 < 对 ≥ 0恒成立，令 ( ) =
， ≥ 0，
1
求导得 ′( ) = ，当0 ≤ < 1时， ′( ) < 0；当 > 1时， ′( ) > 0，
1 1
函数 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增， ( ) = (1) = ，则 < ，
1
所以实数 的取值范围为( ∞, )．
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